Або приєднання В до системи аксіом робить її суперечливою.

Термін “ незалежність ” вживається у логіці для характеристики відношення між структурними утвореннями формалізованої мови:

1) стосовно окремих аксіом;

2) стосовно системи аксіом;

Стосовно правил висновку.

МТ₉: “ Аксіома, яка не є вивідною із прийнятої в S² системи аксіом вважається незалежною ”.

 

 

Лекція 9. Натуральне числення логіки висловлювань (2 год.)

Засоби натурального числення логіки висловлювань: алфавіт, правила утворення, правила інтерпретації нелогічних і логічних термінів, 14 правил висновку.

Особливості логічного числення у вигляді натурального висновку. Правила введення і усунення пропозиційних зв'язок ("генценівські числення"). Властивості знака «|-» в системі S³.

Дефініція доведення в S³. Прямий та непрямий висновок. Дефініція поняття вивідності із припущень. Поняття «гіпотеза». Побудова доведення теорем в системі S³.

 

Семінарське заняття 8.(2 год.)

1. Визначення натурального числення логіки висловлювань та його структура.

2. Особливості натурального висновку.

3. Характеристика правил введення і усунення пропозиційних зв'язок.

4. Структура доведення у системі S³.

Контрольні запитання та вправи

 

1. У чому полягає схожість та відмінність системи S² і системи S³?

2. Кому належить систематизація правил введення і усунення пропозиційних зв'язок?

3. Який вираз у натуральному численні називається доведеним?

4. Яку гіпотезу називають усуненою в ході доведення?

5. Доведіть вивідність формул:

• (АÉ С) É ((В É С) É (А Ú В) É С));

• (А Ù (В Ú С)) É ((А Ù В)Ú (А Ù С));

• (А É (ВÉ С)) É ((А Ù В)É С);

• (А É В)É ((А Ù С)É (В Ù С));

• ((АÉ С) É ((ВÉ Д)É ((А Ú В)É (СÚ Д)));

• (АÉ В) É ((АÚ С)É (В Ú С))

 

РЕКОМЕНДОВАНА ЛІТЕРАТУРА:

(1: c.138-140; 2: c. 121-131; 4: c. 359-365; 5: c.66-77,80-87; 15: c.158- 173; 16; 17; 20; 21; 32; 41; 42; 46: c. 267-281,287-291)

ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ

(4 год.)

Підготувати реферат із запропонованих тем.

Теми рефератів

 

1. Історичні етапи розвитку сучасної логіки.

2. Готфрід Лейбніць як засновкик сучасної логіки.

3. Основні ідеї "алгебри логіки" Дж. Буля.

4. Основні концепції розвитку класичної логіки.

Вимоги до реферату.

Обсяг реферату повинен складати 8-10 рукописних аркушів (формат А-4).

Структура реферату, план реферату, вступ, основна частина, висновки, та список використаної літератури.

Захист реферату проходить у формі співбесіди у години зазначені розкладом індивідуальних консультацій, протягом двох тижнів з моменту отримання завдання.

 

Методичні вказівки

Опановуючи цю тему студенти повинні запам’ятати, що натуральне числення логіки висловлювань має такі особливості:

а) назва “ натуральне ” походить від того, що у цьому численні процес виведення висновку більш наближений до звичайних міркувань людини. Тобто, “ натуральне ” вживається не у смислі “ неформальне ” (або таке, що не регламентоване суворими правилами), а у смислі отримання наслідку із довільних припущень (гіпотез), а не із аксіом;

б) перевагою S³ над S³ вважається те, що тут процес виведення наслідку коротший. Якщо у системі S² одна і та сама формула у структурі доведення може зустрічатися декілька разів, то у системі S³ це трапляється дуже рідко;

в) у системі S³ відбувається певна систематизація правил висновку. З кожною пропозиційною зв’язкою співставляється одна правило введення і усунення конкретної зв’язки як головного логічного знаку формули.

Систематизація правил введення і усунення пропозиційних зв’язок належить відомому німецькому математику і логіку Герхарду Генцену. Іноді натуральні числення називають “ генценівські числення ”.

правила висновку для S³.

Г, А |- В (ВІ) А, А É В (УІ)

Г |-А É В В

А, В (ВК) А Ù В, А Ù В (УК)

А Ù В А В

А., В. (ВД) Г, А |- С Г, В |- С (УД)

А Ú В А Ú В Г, А Ú В |- С

Г, А |- В Г, А |- ùВ (ВЗ)

Г |- ùА

ù ùА (УПЗ) А, ù А (Слабке УЗ)

А В

А É В, В É А (ВЕ) А «В, А «В (УЕ)

А «В А É В В É А

Над рискою у кожному правилі записані засновки, а під рискою результат застосування цих правил. Кожне правило має один висновок, у той час як засновків може бути декілька.

Усі правила введення вводять відповідну зв’язку у висновок застосування правила, а кожне правило усунення усуває відповідну зв’язку із засновків.

Вираз, який випливає за певним правилом із доведеного виразу тим самим є доведеним. Але якщо вираз випливає із недоведеного виразу, тоді він не є доведеним.

Оскільки в S³ немає аксіом, то доведення грунтується на правилі введення іпмлікації, або на правилі введення заперечення.

Якщо останнім застосовується правило введення імплікації, то висновок буде прямим,або іншими словами таке доведення називається прямим.

А якщо останнім застосовується правило введення заперечення – тоді висновок не буде прямим, або таке доведення називається непрямим.

Щоб побудувати доведення теореми в системі S³ необхідно виконати такі дії:

1) виписати всі можливі припущення, виходячи із структури даної формули (припущеннями вважаються атецеденти імплікацій);

2) застосувати до виписаних припущень відповідні правила висновку, що входять до системи S³;

Застосувати одне із правил ВІ або ВЗ для усунення припущень.

Наприклад, побудуємо доведення теореми:

(А É В) É ((В É С) É (А É С))

Доведення

1. А É В - припущення 1

2. В É С - припущення 2

А - припущення 3

В - УІ до 1,3

С - УІ до 2,4

6. А É С - ВІ до 3,5

7. (В É С)É (А É С) - ВІ до 2, 6

8. |- (А É В)É ((В É С)É (А É С)) – ВІ до 1,7

 

 

Семінарське заняття 9. (2 год.)

 

Модульна контрольна робота.

 

ЗМІСТОВНИЙ МОДУЛЬ 2.

ТЕМА: ЛОГІКА ПРЕДИКАТІВ.

АЛГЕБРАЇЧНА СИСТЕМА ЛОГІКИ ПРЕДИКАТІВ.

Лекцій 10. Мова алгебраїчної системи логіки предикатів.

Семантика системи S⁴ (2 год.)

Недостатність виразних можливостей логіки висловлювань. Логіка предикатів як розширення логіки висловлювань.

Мова алгебраїчної ситеми логіки предикатів. Синтаксис метамови S⁴: список вихідних символів, правила утворення термінів, правила утворення формул.

Вихідні символи (предметні змінні, предметні константи, предикатні символи, знаки предметних функцій, логічні терміни, технічні знаки).

Дефініція терму. Дефініція формули. Область дії квантора. Поняття "зв'язаної змінної" (фіктивної) і "вільної змінної". Конгруентні формули.

Правило перейменування зв'язаних змінних. "Замкнена формула", "замкнений терм".

Сутність першопорядкової логіки предикатів. Характерні ознаки першопорядкової логіки. Прикладна першопорядкова мова логіки предикатів.

Семантика алгебраїчної системи логіки предикатів. Область інтерпретації. Роль інтерпретаційної функції.

Дефініція інтерпретації предметної константи. Дефініція інтерпретації предикаторної константи. Дефініція інтерпретації предметно-функціональної константи. Поняття моделі. Процедура визначення значення терму в конкретній моделі і при конкретному приписуванні значень предметним змінним.

 

Семінарське заняття 10. (2 год.)

1. Загальна характеристика логіки предикатів.

2. Мова алгебраїчної системи логіки предикатів.

3. Область дії квантора. Зв'язані і вільні входження змінної до формули.

4. Семантика алгебраїчної системи логіки предикатів.

5. Процедури встановлення значення довільного терму t у деякій моделі <U, I> при деякому приписуванні значень предметним змінним φ.

 

Контрольні запитання та вправи

1. Які характерні ознаки має логіка предикатів?

2. З чого складається синтаксис метамови S⁴?

3. Що таке терм?

4. Яка індивідна змінна, що входить до області дії квантора називається зв'язаною?

5. Що таке інтерпретація предметної константи?

6. Що таке інтерпретація предикатної константи?

7. Що таке модель?

8. Перекладіть на мову логіки предикатів такі висловлюваня природної

мови:

• Максим - політолог.

• Батько Івана не є пенсіонером.

• Сашко вивчає логіку.

• Хтось є депутатом.

• Хтось не вивчає логіку.

• Хтось не любить нікого.

• Деякі політологи - аналітики.

• Усі політологи - аналітики.

• Жоден слон не літає.

• Деякі люди знають історію.

• Жодна людина не є безсмертною

• Будь-який юнак любить якусь дівчину.

9. Визначіть область дії кванторів і вказажіть вільні та зв'язані входження кожної змінної, що зустрічаються в таких формулах:

· "х Р (х) É Р(у);

· "х (Р (х) É Q (у)) Ú $у R(х, у);

· (Р (х) Ù Q (а)) É $х $у R(х, у, а).

РЕКОМЕНДОВАНА ЛІТЕРАТУРА:

[1: с.78-92; 2: с. 132-138; 4: с. 367-380; 5: с. 120-132, 322-325; 6: с. 104- 116; 18: с.170-175; 26: с. 127-135; 29: с.123-132; 44: с.228, 337;.]

ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ

(4 год.)

Конспект статей із словника

Філософський енциклопедичний словник. - К, 2002.

- "Змінна в логіці";

-"Логіка предикатів".

Методичні вказівки

Вивчаючи цю тему студентам необхідно зосередити свою увагу на тому, що логіка предикатів – це розділ сучасної (класичної) логіки, де описуються умовиводи, в яких враховується внутрішня структура простих висловлювань, що їх складають. Логіка предикатів – це розширений варіант логіки висловлювань. Позначається ця логічна теорія символом S⁴.

Засобами логіки предикатів або системи S⁴ здійснюється:

- розрізнення формул за синтаксичними і семантичними ознаками,

- систематизуються закони логіки предикатів,

- визначаються основні види логічних відношень між формулами,

- описується процедура розв’язання.

Мова логіки предикатів – це штучна мова, яка призначена для аналізу логічної структури простих висловлювань. Вона характеризується списком знакових засобів, які використовуються у цій логічній теорії (алфавітом) і визначенням правильно побудованих виразів (ППВ). У логіці предикатів такими виразами є терми і формули.

Визначення вихідного символу, терму і формули вважаються рекурсивними. Це означає, що існує чіткий спосіб, за допомогою якого завжди можна встановити, чи є даний символ вихідним, чи термом, чи формулою.

Студентам також необхідно розрізняти поняття «зв’язана змінна» та «вільна змінна».

У формулах виду "aА і $aА формула А називається областю дії квантора (відповідно $ або ") по змінній a.

Наприклад, у формулі "x (S(x) ® P(x)) областю дії квантора " по змінній х є формула (S(x) ® P(x)).

У формулі $x ($у Р(у) ® P(x)) областю дії квантора $ по змінній х є формула ($у Р(у) ® P(x)), а областю дії квантора по змінній у є формула Р(у).

Кожний випадок, коли у деякій формулі А зустрічається предметна змінна a, називається входженням змінної a до формули А.

Змінна може мати вільне або зв’язане входження до формули.

Входження змінної a до формули А називається зв’язаним якщо:

1. a є змінною квантора, який входить до цієї формули;