Отриманий вираз перевірити або за допомогою таблиці істинності або за допомогою кнф.

 

ТЕМА: ЧИСЛЕННЯ ЛОГІКИ ПРЕДИКАТІВ.

Лекція 14. Аксіоматичне числення логіки предикатів (2 год.)

Загальна характеристика числення логіки предикатів. Аксіоматичне числення логіки предикатів як своєрідна формально-логічна теорія. Список аксіом системи S⁵. Поняття "правильної підстановки".

Правила введення і усунення кванторів: правило усунення квантора загальності, правило введення квантора загальності, правило введення квантора існування, правило усунення квантора існування.

Дефініція доведення. Дефініція доказової формули Структура доведення. Дефініція висновку.

 

Семінарське заняття 14. (2 год.).

1. Особливості побудови логічних числень.

2. Характеристика аксіоматичного числення логіки висловлювань.

3. Поняття "правильної підстановки".

4. Побудова довведення формул логіки предикатів.

Контрольні запитання та вправи.

1. Яку мету переслідує побудова логічних числень?

2. Скільки аксіом входять до списку аксіом у системі S⁵?

3. Що таке правильна підстановка?

4. Які вимоги висуваються до здійснення правильної підстановки?

5. Як формулюється правило перейменування вільних змінних?

6. Як формулюється правило перейменування зв'язаних змінних?

7. Яка формула називається доказовою у системі S⁵?

8. Дефініція висновку у системі S⁵.

9. Побудувати доведення формул логіки предикатів

|− $х "у А(х,у) É "у $х А (х,у)

 

РЕКОМЕНДОВАНА ЛІТЕРАТУРА:

[4: с.405-413; 5: с.334-338; 6: с.120-124; 18: с.176-181; 40: с.133-138; 45:с. 54-55, 96-108; 46: с.65-66, 107-119.]

ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ

(5 год.)

Побудувати висновок формули В É "x Р(х) із формули " у (В É Р(у)).

 

 

Методичні вказівки

Вивчення цієї теми передбачає запам’ятовування студентами того, що побудова логічних числень переслідує дві мети:

По-перше, власне теоретичну для самої логіки, оскільки в процесі і в результаті побудови числень виявляються зв’язки між самими законами, правилами висновку. Із множини тих і інших виділяється множина вихідних, які є достатніми для доведення всіх формул (тавтологій), для вітворення всіх можливих відношень слідування, для обґрунтування правил міркувань.

По-друге, побудова логічних числень може бути використана як логічний апарат для здійснення висновків і доведень в нелогічних теоріях, побудованих на базі відповідної прикладної формалізованої мови.

Аксіоматичне числення логіки предикатів – це така формально-логічна теорія, яка є розширенням числення висловлювань. Тобто, аксіоми S² і правила висновку аксіоматичного числення логіки висловлювань зберігаються в аксіоматичному численні логіки предикатів. Позначається аксіоматичне числення логіки предикатів, як своєрідна формально-логічна теорія символом S⁵.

Під «правильною підстановкою» розуміють таку підстановку в результаті якої із істинних формул отримують тільки істинні формули.

 

 

Лекція 15. Теорема про дедукцію. Металогічні принципи аксіоматичного

числення логіки предикатів (2 год.).

Формулювання теореми про декукцію та її доведення.

Металогічні принципи аксіоматичного числення логіки предикатів: принцип несуперечливості аксіом та властивості процесу логічного виведння, які він описує; принцип незалежності аксіом та властивості процесу логічного виведння, які він описує; принцип повноти та властивості процесу логічного виведння, які він описує.

 

Семінарське заняття 15. (2 год.)

1. Теорема про дедукцію, побудова її доведення.

2. Металогічні принципи системи S⁵:

- несуперечливість аксіом;

- незалежність аксіом;

- принцип повноти.

 

Контрольні запитання

1. Що таке інтерпретованість формальної системи?

2. Що таке неінтерпретованість формальної системи?

3. Визначення поняття "зовнішньої незалежності".

4. Визначення поняття "внутрішньої незалежності".

5. Що таке повнота в численні предикатів у вузькому смислі?

6. Що таке повнота в численні предикатів у широкому смислі?

 

РЕКОМЕНДОВАНА ЛІТЕРАТУРА:

[1: с.140-147; 2: с.152-157; 4: с.413-421; 5: с.162-178; 10: с.80-92; 18: с.132-148; 38; 40:с. 54-55, 96-108; 41: с.65-66, 107-119.]

ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ (5 год.)

У зазначених висловлюваннях виділити предикати, які до них входять і записати ці висловлювання за допомогою символіки числення предикатів

1) Сніг білий;

2) Яживу у місті Києві;

3) 2 < 3;

4) Деякі рибтилії ядовиті;

5) Не всі вміють грати в шахи;

6) Не існує найбільшого натурального числа.

 

 

Методичні вказівки

Металогічні принципи S⁵ описують основні властивості процесу логічного виведення. До металогічних принципів у S⁵ відносять:

а) несуперечливість;

б) незалежність;

в) повноту.

Студентам необхідно засвоїти, що «Система аксіом називається змістовно несуперечливою, або інтерпретованою, якщо для неї існує інтерпретація».

У протилежному випадку система аксіом називається змістовно суперечливою або неінтерпретованою. Існує й таке визначення несуперечливості «Система аксіом називається несуперечливою, якщо із неї неможливо вивести одночасно істинність і хибність одного й того ж твердження». Несуперечливість у цьому смислі називають внутрішньою.

Так само як і несуперечливість незалежність також представлена двома дефініціями. «Зовнішня незалежність».

Отже, маємо систему аксіом: А₁, А₂,…, А_n-1.

Тоді, «Аксіома А_і називається незалежною від решти аксіом цієї системи, якщо існує область М с предикатами Fg, яка задовольняє систему аксіом А₁, …, А_і-1, А_і+1, A_n, але не задовольняє систему (І)».

Внутрішню незалежність визначають так: «Аксіома А_і внутрішньо незалежна від решти аксіом, якщо вона не може бути виведеною із інших аксіом системи».

Повнота в численні предикатів розглядається в двох аспектах:

1) повнота в вузькому смислі;

Повнота в широкому смислі.

«Логічна система називається повною в вузькому смислі, якщо не можна без суперечності приєднати її до аксіом, в якості нової аксіоми, ніяку не вивідну в ній формулу так, щоб отримана при цьому система була несуперечливою». Якщо аксіоматичне числення висловлювань повне у вузькому смислі, то цього не можна сказати про аксіоматичне числення предикатів.

Коли приєднати до системи аксіом S⁵ формулу, яка не доказується в ній, то суперечності не отримаємо.

При розв’язанні повноти числення предикатів у широкому смислі не обмежуються лише засобами міркуваннями фінітної металогіки. Оскільки в саму постановку проблеми входить поняття «тотожно-істинної формули», яке включає в себе розгляд усіх інтерпретацій.

Із дедуктивної еквівалентності випливає така залежність: «якщо дві формули дедуктивно еквівалентні, то із того, що одна із них тотожно-істинна слідує, що й друга теж тотожно-істинна».

 

Лекція 16. Натуральне числення логіки предикатів (2 год.).

Загальна характеристика натурального числення логіки предикатів. Правила висновку: прямі правила та непрямі правила. Правило усунення квантора загальності. Правило введення квантора існування. Непрямі правила висновку в S⁶: правило введення імплікації, правило введення заперечення або правило спростування «шляхом зведення до абсурду», правило доведення від супротивного.

Дефініція висновку. Дефініція доведення. Дефініція завершеного висновку. Дефініція завершеного доведення. Методика відбору засновків. Перша методика відбору засновків. Друга методика відбору засновків. Третя методика відбору засновків. Четверта методика відбору засновків.

 

Семінарське заняття 16. (2 год.)

1. Особливості натурального числення логіки предикатів.

2. Типологія правил висновку в S⁶.

- характеристика кванторних правил;

- поняття умовної інтерпретації змінної;

- поняття інтерпретації все загальності для змінної;

- поняття «абсолютно обмежена змінна» і «обмежена змінна».

3. Дефініція висновку в S⁶.

4. Дефініція доведення в S⁶.

5. Дефініція завершеного висновку в S⁶.

6. Дефініція завершеного доведення в S⁶.

7. Поняття відбору засновків.

 

 

Контрольні запитання та вправи

 

1. В чому полягає відмінність між аксіоматичним численням предикатів та натуральним численням предикатів?

2. На які види поділяються правила висновку в натуральному численні предикатів?

3. Як формулюється дефініція висновку в S⁶?

4. Як формулюється дефініція доведення в S⁶?

5. Як формулюється дефініція завершеного висновку в S⁶?

6. Як формулюється дефініція завершеного доведення в S⁶?

7. Що таке методика відбору засновків?

8. Побудуйте обґрунтування виразів у S⁶:

а) "a (А(a) Ù В(a)) |− "a А(a) Ù "a В(a);

б) $х (S(x) É P(x)) |− "х (S(x) É $x P(x));

в) "x (M(x) É P(x)), "x (S(x) É M(x)) |− "x (S(x) É P(x)).

 

 

РЕКОМЕНДОВАНА ЛІТЕРАТУРА:

[1: с.140-147; 2: с.152-157; 4: с.421-435; 5: с.162-178; 10: с.80-92; 18: с.132-148; 38; 40:с. 54-55, 96-108; 45: с.65-66, 107-119.]

ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ (5 год.)

Побудуйте обґрунтування виразу в натуральному численні предикатів:

"x (M(x) É`P(x)), (S(x) É M(x)) |− "x (S(x) É`P(x)).

 

Семінарське заняття 17. (2 год.)

Модульна контрольна робота.