A знаходиться в області дії квантора який входить до цієї формули.

Якщо умови, які зазначені у цих пунктах не виконуються, тоді входження a до формули Аназивається вільним.

Наприклад, у формулі Р(х,у) ® "х Р(х) перше входження х є вільним, друге і третє зв’язаним.

У формулі "х (Р(х,у)® "х Р(х)) перше третє і четверте входження х є зв’язаним, а інші входження змінних х і у є вільними.

Змінна називається вільною (зв’язаною) змінною у формулі А, якщо існують вільні (зв’язані) її входження у цю формулу.

Відповідно до цього визначення змінна може бути одночасно вільною і зв’язаною в одній і тій самій формулі.

Наприклад, у формулі $у `Р(х,у) ® Q(у,х).

Якщо жодна предметна змінна не є вільною у формулі А, то формула називається замкненою.

Справжніми є тільки вільні змінні. Зв’язані змінні називаються фіктивними. У загальному розумінні змінна – це те, замість чого можна підставити одне із його значень і отримати осмислене висловлювання.

Наприклад, якщо а є одним із значень змінної х і Р(х) має смисл, то Р(а) також матиме смисл. Відповідно до цього і "х Р(х) має смисл, а от вираз - "х Р(а) смислу не має. Цим самим підкреслюється фіктивний характер входження х до формули "х Р(х) і "у Р(у) вони означають одне і те саме «Всі х мають властивість Р», різняться вони лише фіктивними змінними.

Система S⁴ є мовою перешопорядкової логіки предикатів. Це означає, що в даній мові дозволяється зв’язувати кванторами тільки предметні змінні, тобто такі змінні, можливими значеннями яких є предмети (індивіди).

Мову логіки предикатів можна збагатити, якщо дозволити квантифікувати, тобто зв’язувати кванторами інші типи змінних: предметно-функціональні, які пробігають множиною предметніх функцій, і предикатні, які приймають значення на множині властивостей і відношень.

Зв цих умов можна отримати розширену мову логіки предикатів. За допомогою теорій подібного типу стає можливим проводити більш досконалий аналіз контекстів природної мови виявляти такі логічні форми висловлювань, які в першопорядковій мові були невиражальними.

Наприклад, висловлювання «Деякі властивості Землі притаманні Марсу» другопорядковою мовою логіки предикатів можна записати так:

$Р (Р(а) Ù Р(b)), де

$ - знак квантора існування;

Р – предикатна змінна, яка пробігає областю властивостей;

а – предметна константа, яка відповідає імені «Земля»;

b – предметна константа, яка відповідає імені «Марс».

Тобто, у цій формулі проводиться вже квантифікація не за предметними, а за предикатними змінними.

Стосовно семантики S⁴ у логіці предикатів процедурі інтерпретації нелогічних термінів передує вибір деякої не порожньої множини, яка називається областю інтерпретації або універсумом розгляду.

Єдина умова, яка ставиться до області інтерпретації (позначається символом U) – це непорожність U (тобто наявність хоча б одного елемента).

Приписування значень нелогічним константам у S⁴ відбувається за допомогою спеціальної семантичної функції, яка називається інтерпретаційна функція і позначається символом І.

Роль функції І полягає у співставленні кожній нелогічній константі деякого об’єкта, який заданий на області інтерпретації U. Причому константам різного виду повинні співставлятися об’єкти різних типів.

Функція І задається так, що значення предметних констант виявляється однотипним із значенням імен, значення предметно-функціональних констант – зі значеннями предметних функторів, значення предикат орних констант – зі значеннями предикаторів.

Наприклад, якщо U – множина космічних об’єктів, то функція І може приписати в якості значення предметній константі а такий індивід, як «Марс», а константі в – «Венера» або який- небудь інший індивід.

Пару <U,I>, яка задає припустиму в S⁴ інтерпретацію нелогічних констант називають моделлю.

Моделлю називається будь яка пара<U,I>, така, що U – не порожня множина, а I- функція, що задовольняє таким умовам:

1. I (k) Î U.

2. I (Пⁿ) Í Uⁿ.

3. I (Фⁿ) є n – містка операція, яка задана на U (де k – довільна предметна константа), П – довільна n – містка предикат орна константа, Ф – довільна n – містка предметно-функціональна константа.

 

 

Лекція 11. Процедури встановлення значень формулам в S⁴.

Види формул за семантичними ознаками (2 год.)

Елементарні формули, дефініція умов істинності і хибності елементарних формул.

Дефініція умов істинності і хибності формул, головним знаком яких є пропозиційна зв'язка. Дефініція істинності і хибності формул, головним знаком яких є квантор.

Розрізнення формул у S⁴ за семантичними ознаками (закони класичної логіки предикатів, виконувані формули класичної логіки предикатів, невиконувані формули класичної логіки предикатів). Дефініція логічного закону. Дефініція незагальнозначимої формули. Дефініція виконуваної формули. Дефініція невиконуваної формули.

 

Семінарське заняття 11. (2 год.)

 

1. Процедури встановлення значень формулам у S⁴.

2. Розрізнення формул у алгебраїчній системі логіки предикатів за семантичними ознаками.

- дефініція логічного закону;

- дефініція незагальнозначимої формули;

- дефініція виконуваної формули;

- дефініція невиконуваної формули.

Контрольні запитання

1. Як встановлюється значення формули Пⁿ (t₁, t₂, … t_n) в моделі <U, I> при приписуванні φ?

2. Назвіть умови істинності і хибності формул, де головним знаком є пропозиційна змінна?

3. Назвіть умови істинності і хибності формул, де головним знаком є квантор?

4. Як розріняють формули в S⁴ за семантичними ознаками?

5. Що таке логічний закон в S⁴?

6. Як визначається в S⁴ незагальнозначима формула?

7. Яка формула в S⁴ називається виконуваною?

8. Що таке не виконувана формула в S⁴?

РЕКОМЕНДОВАНА ЛІТЕРАТУРА:

[1: с.93-124; 2: с.138-151; 4: с. 377-382; 5: сЛ32-137,152-161,325-328; 6: с. 104-116; 18: с.104-132; 26: с. 127-152; 29: с. 132-135.]

ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ

(5 год.)

Придумати два висловлювання, які мали б таку форму

"x $у (R(x,y)) і $у "x (R (х,у))

так щоб:

1) обидва вони були істинними;

2) обидва вони були хибними;

3) перше було хибним, а друге - істинним.

Методичні вказівки

Опановуючи цю тему студентам необхідно, знати визначення умов істинності і хибності елементарних формул, дефініцію умов істинності і хибності формул, де головним знаком є пропозиційна зв’язка, дефініцію умов істинності та хибності формул, де головним знаком є квантор.

Також необхідно запам’ятати, що всю множину формул в S⁴ за семантичними ознаками поділяють на:

а) закони класичної логіки предикатів;

б) виконувані формули класичної логіки предикатів;

в) невиконувані формули класичної логіки предикатів.

У логіці предикатів інтерпретація нелогічних символів відбувається вибором деякої моделі <U, I> і приписуванням значень предметним змінним φ.

Закони логіки предикатів ще називають загальнозначими формулами. Позначають їх символом |= А.

Наприклад.

Доведемо що формула "x P(x) É $x P (x) є загальнозначимою.

Для цього застосуємо метод від супротивного.

Припустимо, що "x P(x) É $x P (x) не є загальноначимою формулою. А це означає, що існує модель <U, I> і приписування φ, при яких

| "x P(x) É $x P (x)| = х

Це означає, що |"x P(x) | = і та | $x P (x) | = х при φ.

Істинність "x P(x) означає, що | Р(х) | = і при приписуванні х для будь-якого індивіду із U. Хибність $x P(x) означає, що | Р(х) | = х при приписуванні х будь-якого індивіду із U. Візьмемо довільний елемент v із U.

Відповідно до вищезазначеного | Р(х) | = і при приписуванні х індивіда v і одночасно | Р(х) | = х при цьому самому приписуванні. Отже, ми прийшли до протиріччя.

А це дає можливість стверджувати, що формула "x P(x) É $x P (x) є загально значимою.

 

Лекція 12. Види логічних відношень між формулами у класичній

логіці предикатів (2 год.).

Логічні відношення між формулами в класичній логіці предикатів (відношення сумісності за істинністю, відношення сумісності за хибністю, відношення логічного слідування).

Дефініція розв'язуваної логічної теорії. Сутність методу аналітичних таблиць у класичній логіці предикатів. Аналітичні правила для кванторів. Умови побудови аналітичних таблиць.

 

Семінарське заняття 12. (2 год.)

1. Логічні відношення між формулами в алгебраїчній системі логіки предикатів:

- відношення сумісності за істинністю;

- відношення сумісності за хибністю;

- відношення логічного слідування.

2. Поняття "розв'язуваної логічної теорії".

3. Метод аналітичних таблиць.

- аналітичні правила для кванторів;

- поняття загальнозначимої формули;

- встановлення відношення логічного слідування методом аналітичних таблиць.

 

Контрольні запитання та вправи

1. Які формули називаються сумісними за істинністю?

2. Які формули називаються сумісними за хибністю?

3. Що таке проблема розв'язання в алгебраїчній системі логіки предикатів?

4. Який алгоритм побудови аналітичних таблиць у системі S⁴?

5. Перевірити за допомогою методу аналітичних таблиць чи є загальнозначими ми формули.

$х ($у Р (у) É Р (х));

$х (Р (х) É Q (х)) É ("х Р (х) É $х Q (х));

"х (Р (х) É Q (х)) É ($х Р (х) É $х Q (х));

"х (`Р (а) É`Q (х)) É ($х Q (х) É Р (а)).

РЕКОМЕНДОВАНА ЛІТЕРАТУРА:

[1: с.93-124; 2: с.138-151; 4: с. 383-391; 5: с.331-333; 6: с. 16-121; 18: с.104-132; 26: с. 127-152; 29: с.132-136; 38: с.21-25.]

ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ (6 год.)

Вказати чи вільна змінна для у таких формулах:

1. $х (М (х) Ù F (х, с)); 3. $х (М (х) Ù `F (х, с)); 4. "х (М (х) É`W (х)).

2. "х (Р (х) É S (х, с));

Методичні вказівки

 

Опановуючи дану тему студентам необхідно засвоїти, що до фундаментальних логічних відношень у класичній логіці предикатів відносяться:

- логічні відношення сумісності за істинністю;

- логічні відношення сумісності за хибністю;

- відношення логічного слідування.

Дефініція відношення логічної сумісності за істинністю формулюється так: «Формули Г сумісні за істинністю, якщо і тільки якщо існує модель і приписування значень предметним змінним, при яких кожна формула із Г приймає значення «істина». У протилежному випадку ці формули не є сумісними за істинністю».

Дефініція відношення логічної сумісності за хибністю формулюється так: «Формули Г сумісні за хибністю, якщо і тільки якщо існує модель і приписування значень предметним змінним, при яких кожна формула із Г приймає значення «хиба». У протилежному випадку ці формули не є сумісними за хибністю».

Дефініція відношення логічного слідування формулюється так : «Із множини формул Г логічно слідує формула В (Г|= В), якщо і тільки якщо не існує моделі і приписування значень предметним змінним, при яких кожна із формул Г приймає значення «істина», а формула В – значення «хиба».

В класичній логіці предикатів так само як і у класичній логіці висловлювань існує проблема розв’язання, яка дає відповідь на такі питання: