Теорема про існування та єдиність площі многокутника

Нехай ми маємо многокутник, у якого к-сторін. Його вершини ми можемо певним чином упорядкувати. АВСD…- многокутник, сторони якого лежать на відповідних прямих, кожна із сторін многокутника має єдину довжину. Позначимо їх довжини через _i (i=1,..., к). На сторонах многокутника виберемо довільні точки М₁, М₂,..., М_к і при точках М_і побудуємо зовнішні перпендикуляри і орти променів [M_i X_i). Позначимо їх через _i і назвемо _i ортами зовнішньої нормалі відповідних сторін многокутника.

 

 

 

Визначимо площу многокутника, таким чином:

S= _i (, _i). (1.2.7)

де O-будь-яка точка в площині многокутника.

Теорема 1.2.6. (Про існування і єдиність площі многокутника)

Для множини многокутників М і множини дійсних додатних R+ чисел існує єдине відображення S:M®R+, за допомогою якого будь-якому многокутнику можна поставити у відповідність число

S=1/2 × ,

яке задовольнятиме аксіомам вимірювання площ.

Доведення.

І.Покажемо, що коли ми задамо відображення S множини многокутників на множину дійсних додатних чисел, задане формулою (1.2.7), то воно буде задовольняти трьом метричним аксіомам вимірювання площ.

1. Нехай маємо два конгруентні многокутники М₁ і М₂:

М₁ М₂, М₁ S(M₁), M₂ S(M₂), S(M₁)=S(M₂).

Завжди існує рух, за допомогою якого ми можемо відобразити многокутник М₁ на многокутник М₂ d(M₁)=M₂, = , тобто відповідні Їх сторони конгруентні:. Рух евклідового простору завжди супроводжується векторним простором. При цьому ортогональному перетворенні образом будь-якого буде , тобто d()= i d()= . Ортогональне перетворення володіє властивістю, що скалярний добуток зберігається: (, )=(, ). Точка М_i лежить на стороні многокутника М₁, точка М_i' лежить на стороні многокутника М₂.

В силу збереження скалярних добутків маємо право стверджувати, що буде виконуватись рівність: S(M₁)=S(M₂).

2. Доведемо, що також буде виконуватись аксіома 2. Якщо многокутник розбити ламаною на складові частини,то S(M)=S(M₁)+S(M₂). В правій частині цієї рівності деякі доданки будуть повторювати доданки з суми S(M), але з'являться нові доданки за допомогою ортів ламаної поділу. Суми S(M₁) i S(M₂) будуть повторювати доданки з суми S(M) i до них додаються доданки: добутки відрізків ламаної на відповідні орти. Орти зовнішніх нормалей для ланок ламаної будуть взаємно протилежними векторами, отже числа, що представляють собою добутки відрізків ламаної на відповідні орти, в сумі дорівнюють нулю. Таким чином, S(M)=S(M₁)+S(M₂).

3. Нехай візьмемо квадрат із стороною, рівною 1. Точка О співпадає з центром квадрата, точки М_і - середини сторін. Позначимо через S_i= , де =1, ()=1/2,

.

Отже, S_i=1/2

 

В

С

А

D

Mi

 

Таких чисел S_i буде 4. Значить, число S=1/2×4×1/2=1. Таким чином, аксіома 3 виконується. Відображення S задовольняє метричним аксіомам вимірювання площ многокутників.

ІІ. Покажемо, що це відображення єдине. Доведення проведемо методом від супротивного. Припустимо, що таких відображень існує два: нехай це S i K. Коли задано будь-який многокутник М, ми можемо розбити його на скінченну кількість трикутників:

S(M)= , .

Оскільки раніше було доведено, що при існуванні відображення S площа будь-якого трикутника дорівнює 1/2 добутку основи на висоту, то користуючись цим і порівнюючи дві рівності (1.2.8), можна стверджувати, що праві частини рівні. Отже, рівні і ліві частини, тобто S(M)=K(M). Звідси випливає, що відображення S єдине.

 

Означення та властивості рівновеликих і рівноскладених многокутників.

Означення.

Два многокутники, які мають рівні площі, називаються рівновеликими.

Означення.

Два многокутники називаються рівноскладеними, якщо їх можна розкласти на однакову кількість попарно конгруентних многокутників.

Твердження 2.1.1.

Поняття рівновеликості многокутників є відношенням еквівалентності.

1. S(M)=S(M).

2. S(M₁)=S(M₂) => S(M₂)=S(M₁).

3. S(M₁)=S(M₂), S(M₂)=S(M₃) => S(M₁)=S(M₃).

Всі аксіоми виконуються, оскільки вони мають місце для дійсних додатніх чисел.

Наслідок.

Якщо маємо два многокутники М₁ і М₂, які розбиті на однакову кількість попарно конгруентних трикутників, то площі многокутників рівні. S(M₁)=S(M₂).

Твердження 2.1.2.

Поняття рівноскладеності многокутників є відношенням еквівалентності.

Доведення.

Повинно виконуватись три умови. Позначимо через w-відношення рівноскладеності.

1. М w M - рефлексивність випливає з означення.

2. М₁ w M₂ => M₂ w M₁- симетричність слідує з означення.

3. M₁ w M₂, M₂ w M₃ => M₁ w M₃ -транзитивність.

Доведення (транзитивності відношення рівноскладеності).

Нехай М₁ w М₂. Це означає, що існує скінченна система многокутників m₁, m₂,..., m_n, на які або відповідно їм конгруентні можна розкласти як многокутник М₁, так і многокутник М₂, тобто

(2.1.1)

Маємо, що М₂ w M₃. Це означає, що існує деяка відмінна від попередньої скінченна система многокутників р₁, р₂,..., р_n, на які або відповідно їм конгруентні можна розкласти многокутники М₂ і М₃.

. (2.1.2)

Щоб довести рівноскладеність многокутників М₁wM₃, нам потрібно довести існування спільної системи многокутників розкладу для многокутників М₁ і М₃.

Нехай на многокутнику М₂ нанесені обидві вище розглянуті системи розкладу:

. (2.1.3)

Розглянемо перетин многокутників у різних системах. Це або порожня множина, або точка, або відрізок, або система відрізків, або многокутник. Розглянемо загальний випадок, коли в перетині ми отримали многокутник, тобто . При зміні індекса j многокутники М_ij утворюють многокутник m'_i, тобто

(2.1.4)

При зміні індекса і многокутники М утворюють многокутник р_j

. (2.1.5)

Отримали, що М₁ і М₃ розбиваються на однакову кількість конгруентних многокутників. Комбінуючи розклад на многокутники одним чином, отримаємо многокутник М₁, а іншим - многокутник М₃. Звідси випливає, що М₁ w М₃.