Аксіоматичний метод побудови наукової теорії. Вимоги до системи аксіом, їх сутність і способи доведення.

Строга наукова побудова будь-якої математичної дисципліни повинна задовольняти таким вимогам:

1.Будь-яке твердження повинно бути серед списку аксіом або строго доведене на основі аксіом та раніше сформульованих і доведених теорем.

2.Будь-яке поняття повинно бути або в числі основних або визначене за допомогою основних та раніш визначених понять.

Метод викладання науки на основі цих вимог називається дедуктивним або аксіоматичним.

Д. Гільберт: "Геометрія як і арифметика, потребує тільки не багатьох простих основних положень. Ці основні положення називаються аксіомами геометрії. Встановлення їх взаємовідношень-це задача, яка з часів Евкліда являлась темою багаточисленних праць математичної літератури. Задача ця зводилась до логічного аналізу нашого просторового уявлення". ("Основи геометрії", 1948p.). Отже, аксіоматична побудова наукової теорії - це метод побудови теорії, при якому в основній теорії покладають деякі початкові (вихідні) поняття, формулюють певні закони, в яких висловлюються властивості цих основних понять, а всі інші поняття і закони отримують як логічні наслідки. Твердження, які приймаються без доведень, називаються аксіомами. Твердження, які ми отримали з аксіом та раніше доведених тверджень шляхом логічного висновку, називаються теоремами. Визначення, що встановлюють зміст нового терміну, виходячи з відомих понять, називаються означеннями. Ті поняття, які при побудові геометрії або будь-якого іншого розділу математики не визначаються, називаються основними. Крім основних неозначуваних понять, є ще відношення між ними, що називаються основними відношеннями.

У своєму розвитку аксіоматичний метод пройшов три етапи: на першому етапі, який завершився у 3-4ст. до н.е. першими спробами аксіоматичної побудови геометрії Евклідом; другий етап завершився наприкінці 19 століття створенням Д.Гілбертом, Дж.Пеано та іншими аксіоматичних побудов математичних теорій; на третьому етапі Д.Гілберт та його учні створили формальні системи та формалізовану аксіоматичну теорію. Спочатку аксіоматичний метод був застосований для побудови геометрії, потім знайшов своє застосування в арифметиці, теорії ймовірностей, теорії множин тощо. Він також застосовувався в деяких розділах фізики (механіка, термодинаміка, електродинаміка тощо). Наявні спроби його застосування для побудови таких дисциплін як етика, соціологія, економічні теорії, біологія тощо, але поки що задовільних результатів це не дало.

Аксіоматичний метод полягає в тому, що:

1.Перераховуються і називаються основні поняття.

2.Формулюються певні закони, в яких висловлюються властивості цих основних понять (аксіоми).

3.Формулюється ряд понять, які в список основних понять не ввійшли, які ми означаємо, користуючись основними поняттями і аксіомами (означення).

4.Формулюється ряд тверджень, які ми доводимо, користуючись правилами логіки і раніше доведеними твердженнями (теореми).

Інтерпретацією основних понять є надання їм певного змісту, побудова моделей певної теорії. Для того, щоб система аксіом служила науковим обґрунтуванням певної теорії, необхідно, щоб виконувались три вимоги:

1. Несуперечливість (сумісність) системи аксіом.

2. Незалежність системи аксіом.

3. Повнота (категоричність) системи аксіом.

Система аксіом називається несуперечливою, якщо як серед списку її аксіом, так і серед списку її наслідків (теорем) не існує двох заперечливих тверджень.

Доводиться вимога несуперечливості, шляхом побудови її моделі на базі тієї наукової теорії, несуперечливість якої раніше нами встановлена.

Вимога незалежності полягає в тому, щоб у список аксіом не ввійшло таке твердження, яке є наслідком інших. Нехай маємо систему аксіом . Виберемо а_і аксіому і доведемо, що вона не є наслідком всіх інших аксіом. Цю аксіому а_і відкинемо і введемо твердження, протилежне за змістом до а_і. Отримаємо нову систему: , і доведемо що вона несуперечлива. Якщо в результаті ми отримали, що система аксіом несуперечлива, то це значить, що а_і не є наслідком всіх інших аксіом, бо якби а_і була наслідком, тоді б в теорії, яка була побудована на системі аксіом , виконувались би два суперечливих твердження. Тоді б система аксіом була не науковою.

Вимога повноти полягає в тому, що маючи певну систему аксіом , ми повинні точно сказати про будь-яке твердження, істинне воно чи хибне. Доводиться вимога повноти шляхом встановлення ізоморфізму між двома різними моделями відповідної системи аксіом.

 

Що ж таке аксіома? – висловлення деякої теорії, що приймається при дедуктивній побудові цієї теорії без доведення. У середині століття, під впливом філософії Аристотеля, під аксіомою розуміли очевидні твердження, які не потребують доведення. Вчення І.Канта закріпило погляд на аксіоми, як на апріорні істини. Істотного удару по таким поглядам на аксіоми було нанесено російським математиком М.І.Лобачевским, який, замінивши лише одну аксіому, зумів побудувати нову геометрію. Таким чином аксіома – це твердження, яке перевірене багатовіковим досвідом людства і яке приймається без доведення.