Доведення теорем евклідової геометрії в системі аксіом Г.Вейля.

Доведено такі теореми, що безпосередньо випливають з аксіом 1 - 5.

Теорема 1: Будь-який з векторів ( Є ) є нульовим вектором

простору .

Доведення: Дійсно для точок , є справедлива рівність

+ = .

Оскільки є може бути довільним вектором прос-

тору , то вектор = .

 

Теорема 2: = - .

Доведення: Дійсно, припускаючи в аксіомі трикутника (5.2), що

= одержимо: + = = , тобто вектори

і протилежні.

 

Теорема 3: Якщо = , то точки , співпадають.

Доведення: Згідно з аксіомою трикутника 5.2 маємо: + = .

Далі за умовою нам треба згадати, що дано вектор =

і, отже, = . Звідси випливає, що = і за

першою аксіомою 5.1 точки і співпадають.

10. Абсолютна геометрія.

Абсолютна геометрія — частина класичної геометрії, незалежна від п'ятого постулату евклідової аксіоматики. Іншими словами, це спільна частина евклідової і неевклідової геометрії. Цей термін був запропонований угорським математиком Яношем Бойяї в 1832 р. Правда, сам Бойяї вкладав у нього дещо інший сенс: він називав абсолютною геометрією спеціально розроблену ним символіку, яка дозволяла об'єднувати однією формулою теореми як евклідової геометрії, так і геометрії Лобачевського.

Перші 28 теорем «Начал» Евкліда належать до абсолютної геометрії. Приведемо декілька прикладів таких теорем:

· У рівнобедрених трикутників кути при основі рівні.

· При перетині двох прямих протилежні кути рівні.

· Проти більшої сторони трикутника лежить більший кут, і навпаки, більшому куту протистоїть більша сторона.

Оскільки п'ятий постулат визначає метричні властивості однорідного простору, відсутність його у абсолютній геометрії означає, що метрика простору не визначена, і більшість теорем, пов'язаних з вимірами (наприклад, теорема Піфагора) не можуть бути доведені у абсолютній геометрії. Перші 28 теорем «Почав» Евкліда відносяться до абсолютної геометрії. Прикладами інших теорем, недовідних в абсолютній геометрії, є численні еквіваленти V постулату.

 

Аксіоми вимірювання довжин відрізків.

Теорія вимірювання є наслідком п'ятої групи аксіом Гільберта і п'ятої групи аксіом Вейля. Нехай маємо множину відрізків L i множину дійсних додатних чисел R+. Встановимо відображення L R+, таке що кожному відрізку відповідало б певне дійсне додатне число, так щоб задовольняло певним властивостям, які називаються метричними аксіомами.

Аксіома 1.

Конгруентним відрізкам відповідають рівні числа.

Аксіома 2.

Якщо точка В лежить між точками A і C, тобто виконується порядок точок A C, то:

(AB)+ (BC)= (AC)

Аксіома 3.

Завжди існує такий відрізок [KP], якому можна поставити у відповідність l одиницю. (KP)=1. [KP] - одиничний відрізок.

Означення. Число 1 називається мірою відрізка, а числа, які ставляться у відповідність довільним відрізкам називаються довжинами відрізків.

В силу V-ї групи аксіом Вейля, маючи точку A, ми завжди можемо прикласти ненульовий вектор ¹ до точки A. Отримаємо . В силу поняття рівності векторів, оскільки в нас встановлена норма вектора , то . За допомогою двох різних точок A і B ми завжди можемо визначити відрізок [AB] i, задавши відношення норми, ми певному відрізку можемо поставити у відповідність певне дійсне число, тобто f([AB])=|AB|. Доведемо, що f задовольняє трьом метричним аксіомам.

Нехай маємо два різних відрізки AB i CD, які конгруентні між собою: [AB] @ [CD]. Тоді, в евклідовому просторі завжди існує рух d, за допомогою якого відрізку [AB] можна поставити у відповідність відрізок [CD], конгруентний до [AB]. Але рух у евклідовому просторі породжується ортогональним перетворенням вектора векторного простору, який супроводжує відповідний евклідовий простір. Ортогональне перетворення векторів володіє властивістю збереження скалярного добутку двох векторів. Отже, якщо ми мали вектор , то в силу ортогонального перетворення j:

, ² = ² => | |=| |. (1.1.1)

Розглядаючи відображення f, ми маємо право говорити, що відрізку [AB] ми поставили у відповідність довжину вектора . f([AB])=| |, f([CD])=| |. Але | |=| | за (1.1.1) => аксіома А.1 виконується для відображення f.

Нехай маємо три точки A, B, C, для яких виконується порядок точок A C. Отже, точки A, B, C лежать на одній прямій, =>

=t , 0<t<1. (1.1.2)

За аксіомою ІV.3 системи аксіом Вейля маємо, що + = => = - , = -t ,

=(1-t) => 0<1-t<1.

Якщо ми маємо , то ми можемо визначити його скалярний квадрат:

,

.

Аналогічно розглянемо | |:

² =(1-t) ^{2 2},

| |² =(1-t)²| |²,

| |=(1-t)| |.

За допомогою трьох точок A, B, C i відрізків [AB], [BC], [AC] ми можемо задати відображення f:

f([AB])=| |=t| |,

f([BC])=| |=(1-t)| |, (1.1.3)

f([AC])=| |.

Додамо рівності (1.1.3):

f([AB])+f([BC])=t| |+(1-t)| |=| |=f([AC]).

Отже, аксіома А.2 виконується.

Серед множини векторів можемо визначити такий вектор ₀, що | ₀|=1. Цей вектор ₀ завжди можемо прикласти до точки A: = ₀, | |=1. Але точки A i B визначають відрізок [AB], можна задати відображення f([AB])=| |=1. Отже, виконується аксіома А3.

 

12. Теорема про вимірювання довжин відрізків. Одиниці вимірювання довжин відрізків.

Означення. Число 1 називається мірою відрізка, а числа, які ставляться у відповідність довільним відрізкам називаються довжинами відрізків.

 

Теорема 1.1.1. Відображення i f еквівалентні.

Доведення.

І. Доведемо, що відображення i f є еквівалентними, тобто довжина будь-якого відрізка може бути виражена дійсним додатнім числом.

1. Нехай ₀ - орт, прикладений до точки A. Тоді отримаємо вектор = ₀, | |=1. Оскільки для відображення аксіома А.3 теж виконується, то звідси випливає, що завжди існує відрізок [AB], якому ставиться у відповідність 1. Отже, f i - еквівалентні.

2. Нехай маємо вектор , такий, що

| |=1/n, для будь-якого . (1.1.4)

Покажемо, що коли норма вектора виражається числом, то f i еквівалентні. Візьмемо довільну пряму, до якої належить точка A i на цій прямій визначимо послідовність точок A₁, A₂,..., A_n таким чином, щоб ₁ = =…= =

 

 

A

A1

A2

An

 

 

Тоді довжини співпадають: .

Отже, _n=n , тоді . f([AA_n])=| _n|=1, ([AA_n])=1, бо відрізок [AA_n] маємо право розглядати як n відрізків [AB]. Отже, при відображенні ([AA_n ])=n× ([AB]) в силу метричної аксіоми A.2, n× ([AB])=1 => ([AB])=1/n. Таким чином, ми встановили еквівалентність відображень f і , а отже, довжина відрізка [AB] може бути виражена будь-яким правильним дробом.

3. Нехай маємо вектор і нехай | |=p/k. Доведемо, що і в цьому випадку f і еквівалентні. Нехай маємо деяку пряму і точку A на ній. В силу попередньої частини доведення можемо стверджувати, що норма кожного вектора дорівнює 1/k, де kєN. Тоді на цій прямій ми можемо визначити послідовність точок В₁, B₂,..., B_p таких, що довжини цих векторів . Тоді, | _p|=p×| ₁|=p/k=| |. Тобто | _p|=| |. Задамо відображення f: f([AB])=| |, але відрізок [AB]=p[AB₁], f([AB₁]=| ₁|=1/k => f([AB]=p×f([AB₁]=p/k. Розглянемo відображення : ([AB₁])=1/k => ([AB])=p× ([AB₁])=p/k. Отже, ми показали, що і при такому заданні норми f і еквівалентні, тобто довжину відрізка в цьому випадку можна виразити будь-яким раціональним числом.

4. Нехай довжина вектора виражається ірраціональним числом: | |= a. Тоді можемо написати послідовність деяких наближень a_k=n, n ₁ n ₂... n _k з недостачею, a^'_k= n, n₁ n₂... n _k+1 з надлишком. Отже, a_k < a < a^'_k.

Нехай маємо AB_k=a_k, тоді оскільки a_k < a, то точка B_k знаходиться між точками A i B (A B). Розглянемо вектор ^`_k такий, що

| '|= a'_k, що a < a¢_k, (1.1.5),

так, що виконується порядок точок A B'_k. (1.1.6)

Задаючи відображення f:

f([AB])=f([AB_k])+f([B_kB]), f([AB_k])=| _k|=a_k,

задамо відображення :

([AB])= ([AB_k])+ ([B_kB]) (1.1.7)

Розглянемо три точки A, B, B'_k, для яких має місце порядок точок , тоді, в силу виконання метричної аксіоми А.2, отримаємо:

=> ([AB'_k])= ([AB])+ ([BB'_k]). (1.1.8).

Розглянемо рівності (1.1.7) i (1.1.8). Якщо у нас існує числова функція ([AB]), то із рівностей (1.1.7) i (1.1.8) випливає, що наближення цього числа a_k< ([AB])< a_k'. Оскільки за третьою частиною доведення для норм, виражених раціональними числами, відображення f i - еквівалентні і, оскільки наближення числа ([AB]) точно таке, як наближення числа a, то

a_k < ([AB])< a'_k, a_k < a< a'_k => ([AB])= a.

Ми довели, що довжина вектора існує і є дійсним числом або може бути виражена дійсним числом.

ІІ. Доведемо єдиність існування.

Оскільки у нас завжди існує певний орт ₀, який ми можемо поставити у відповідність відрізку [AB], тобто прикласти ₀ до точки A:

.

Це означає, що відображення f єдине, а оскільки f і еквівалентні, то і - теж єдине.

 

Одиниці вимірювання довжин відрізків.

Означення: довжиною відрізка називається невід’ємна скалярна величина, яка характеризує властивість лінійної протяжності та визначена для кожного відрізка так, що виконуються наступні аксіоми:

1. У множині S існує нульовий відрізок 0 такий, що m(0)=0 (символічно ця аксіома запишеться так: ([($0єS)(m(0)=0)]).

2. У множині S існує одиничний відрізок е такий, що m(е)=1, яким можна виміряти довжину будь-якого відрізка (символічно ця аксіома запишеться так: ([($еєS)(m(е)=1)]).

3. Рівні відрізки мають рівні довжини (символічно ця аксіома запишеться так: ([( " а,bєS)((a=b)↔ (m_е(a)=m_е(b))]).

4. Якщо відрізок а складається із скінченного числа відрізків b₁, b₂, b₃,...b_k, які прилягають один до одного кінцями, то довжина відрізка а дорівнює сумі довжин відрізків b₁+b₂+b₃+...+b_k (символічно: [( " а,b₁,b₂,b₃,...b_kєS)((a=b₁+b₂+b₃+...+b_k)↔ (m_е(a)=m_е(b₁)+m_е(b₂)+m_е(b₃)+...+m_е(b_k))]).

5. (аксіома Архімеда) яким би великим не був відрізок а із множини S і яким би малим не був відрізок b із цієї ж множини завжди знайдеться натуральне число n таке, що відрізок а менший за відрізок n×b (символічно: [("а,bєS)($nєN)((а<n×b)↔ (m_е(а)< n×m_е(b))]).

6. (аксіома Кантора): нехай на довільній прямій МК дано нескінченну послідовність відрізків А₁В₁, А₂В₂, А₃В₃,...А_nB_n,... таку, що: 1) кожний наступний відрізок є частиною попереднього; 2) для будь-якого наперед заданого відрізка CD знайдеться натуральне число n таке, що А_nВ_n<CD. Тоді на прямій МК існує єдина точка Р, що належить усім відрізкам послідовності.

Аксіоми Архімеда та Кантора дають змогу повністю обґрунтувати теорію вимірювання довжин відрізків. На основі аксіоми Архімеда кожному відрізку аєS при вибраній одиниці довжини е можна поставити у відповідність певне невід’ємне дійсне число, яке є його довжиною. Відповідно до аксіоми Кантора можна зробити висновок про те, що і у випадку нескінченного процесу вимірювання, існує невід’ємне дійсне число, яке є його довжиною.