Основні поняття та аксіоми статики

Передмова

Технічна механіка є фундаментальною загальнотехнічною дисципліною, не­від’ємною складовою системи підготовки інженерно-технічних працівників. Під час ви­вчення курсу студенти оволодівають знаннями законів рівноваги та руху матеріальних тіл, методів розрахунку елементів конструкцій, машин та споруд на міцність, жорст­кість, стійкість, основами проектування деталей, вузлів машин. Знання дисципліни не­обхідні спеціалістам, які повинні організовувати належну експлуатацію й обслугову­вання сучасної залізничної техніки, удосконалювати її конструкцію та технології засто­сування.

Навчальна дисципліна “Технічна механіка” складається з трьох розділів: теорети­чна механіка, опір матеріалів, деталі машин.

ТЕОРЕТИЧНА МЕХАНІКА

Теоретична механіка є науковою основою багатьох сучасних технічних дисциплін.

Теоретична механіка – наука про механічний рух матеріальних твердих тіл та їх взаємодії. Механічний рух розуміється як переміщення тіла в просторі та в часі по відношенню до інших тіл, зокрема до Землі. Частковим випадком руху є стан спо­кою.

Під дією навантажень матеріальні тіла змінюють свою форму (деформуються). Однак для наочності та спрощення розв’язування задач теоретичної механіки корис­туються доволі простими моделями матеріальних тіл такими як матеріальна точка та абсолютно тверде тіло.

Матеріальна точка - це умовно прийняте тіло, розмірами якого можна знехту­вати в порівнянні з відстанню, на якому воно перебуває.

Абсолютно тверде тіло - це умовно прийняте тіло, що не деформується під дією зовнішніх сил.

Теоретичну механіку поділяють на статику, кінематику та динаміку.

СТАТИКА

Основні поняття та аксіоми статики

Основним завданням статики є вивчення загальних законів рівноваги матеріальних точок і твердих тіл під дією сил.

Для вивчення законів рівноваги статики необхідно знати наступні поняття.

Сила — це векторна величина, що характеризує взаємодію між тілами.

Дія сили характеризується трьома факторами: точкою прикладення, напрямом, мо­дулем (численним значенням) (рис. 1.1).

За одиницю сили приймається 1 Н (Ньютон).

1 кН = 10³ Н; 1 МН = 10^б Н.

Рис. 1.1

 

Сили поділяються на зовнішні на внутрішні. Зовнішні сили бувають активні та реактивні. Активні сили викликають переміщення тіла, реактивні прагнуть протистояти переміщенню тіла під дією зовнішніх сил.

Позначення різних типів сил:

— зовнішня сила;

F_х, F_у — проекція сили на ось х та у відповідно;

R — реактивна сила;

F _∑ - рівнодійна сила.

Система сил - це сукупність всіх сил, що діють на тіло (дві або більше сил, які діють на одне тіло).

Дві сили або дві системи сили називаються еквівалентними, якщо вони чинять на тіло однакову дію.

Рівнодійною називається сила, що чинить таку ж дію на тіло, як і кілька сил, разом взятих. Рівнодійна сила дорівнює геометричній сумі всіх сил, що діють на тіло:

 

 

де i = 1,2,3,..., n – черговий номер сили.

Зрівноважуючою називається така сила, що дорівнює по величині рівнодійній силі, але направлена в протилежну сторону вона зрівноважує дану систему сил.

Основні аксіоми статики

 

На основі спореження явищ природи були встановлені загальні твердження, що приймаються без доведення – аксіоми статики.

В основу статики покладено п'ять аксіом.

Перша аксіома (принцип інерції). Система сил, пркладених до матеріальної то­чки, є зрівноваженою, якшо під дією сил даної системи точка перебуває в стані спокою або рівномірного прямолінійного руху.

Матеріальна точка знаходиться в рівновазі, якщо рівнодійна всіх сил, що діють на неї, дорівнює нулю, тобто

Друга аксіома (Принцип рівноваги двох сил). Дві сили, що діють на одне тіло,

 

 

Рис.1.2

взаємно зрівноважені, якщо вони рівні по модулю, протилежні по напряму та ле­жать на однієї прямій (рис. 1.2).

Третя аксіома (принцип приєднання чи виключення взаїмноврівноважених сил) механічний стан тіла не зміниться, якщо до нього чи приєднати чи виключити взаїмно­врівноважену систему сил (рис. 1.3).

 

Четверта аксіома (принцип паралелограма). Рівнодійна двох сил, прикладених до тіла в одній точці та спрямованих одна до одної під кутом, дорівнює геометричній сумі цих сил і зображується діагоналлю паралелограма, побудованого на цих силах як на сторонах (рис. 1.4).

П’ята аксіома Принцип дії та протидії: сили, з якими два тіла діють одине на одне, дорівнюють по значенню, протилежні по напрямку та лежать на однієї прямій (однак не врівноважені, тому що прикладені до різних тіл) (рис. 1.5).

Пара сил

 

Парою сил називається система двох сил, які дорівнюють по модулю (значенню), протилежні по напрямку та з паралельними лініями дії (не лежачих на однієй прямій) (рис. 1.17).

Пара сил робить на тіло обертаючу дію, що характеризується обертаючим момен­том М.

Обертаючий момент пари сил дорівнює добутку однієї із сил пари на плече:

де h – плече пари сил (перпендикуляр, проведений між лінією дії сил)

Пари сил на схемах зображуються дугоподібною стрілкою (рис. 1.18).

Пари сил н е м о ж н а замінити однією рівнодій­ною силою. Пари сил н е м а є проекцій на вісі координат(проекція пари сил на ось - нуль). Якщо на тіло діє декілька пар сил, то їх можна замінити однією рівнодійною парою, момент якої дорівнює алгебраїчній сумі моментів доданків пар сил, що діють на тіло (рис. 1.19):

 

 

 

 

 

Рис. 1.19

Дві парі сил називаються еквівалентними, якщо вони виконують на тіло о д н а к о в у дію. У еквівалентних пар сил обертаючі моменти повинні бути однаковими як за величиною, так і за напрямком.

Умова рівноваги плоскої системи пар сил: алгебраїчна сума моментів доданків пар сил повинна дорівнювати нулю, тобто

 

Тертя

Тертям називається опір руху тіла. Сила, з якою тіло чинить опір руху називається силою тертя.

Сила тертя завжди напрямлена убік, п р о т и л е ж н у руху. Сила тертя залежить від матеріалу тертьові тіла, чистоти обробки й наявності змащення, й не залежить від величини тертьових поверхонь.

Тертя буває: сухе, напіврідке, рідке.

Розрізняють тертя спокою, руху, ковзання й качання. Сила тертя спокою більше, ніж сила тертя руху.

Сила тертя дорівнює добутку сили нормального тиску на коефіцієнт тертя ковзання (рис. 1.25):

 

 

де - сила нормального тиску;

f - коефіцієнт тертя ковзання.

Коефіцієнтом тертя ковзання називається відношення сили тертя до сили нор­мального тиску:

 

Матеріали, що володіють дуже малим тертям, називаються антифрикційними (ба­біт, бронза, графіт). Застосовуються для виготовлення підшипників і ін.

Матеріали, що володіють великим тертям, називаються фрикційними (спеціальні пластмаси із застосуванням азбесту й міді). Застосовуються для накладок гальмових колодок, для накладок дисків зчеплення.

При змащенні поверхні ковзання тіло починає рухатися з меншим тертям.

Розкладемо силу ваги G на складені та (рис. 1.26):

Коефіцієнт тертя ковзання

 

Тертя катання викликано деформацією поверхні котіння. Поверхня, по якій кається ковзанка, деформується на величину δ (рис. 1.27). Деформується й саме тіло, що ко­титься (наприклад, колесо автомобіля).

 

 

 

Рис.1.27

 

Складемо рівняння рівноваги:

 

де h - відстань від поверхні до лінії дії сили;

k - коефіцієнт тертя катання. Він дорівнює відрізку ОС (див. рис. 1.27). Тому що

Так як

 

То

 

Якщо h = d

 

Якщо h = r

 

Тема 6. Центри ваги

Сила ваги - це сила, з якої тіло притягається до землі.

Центр ваги - це точка прикладання сили ваги (рис. 1.32). Положення центра ваги простих геометричних фігур:

1) у прямокутнику, квадраті, ромбі, паралелограмі – на перетині

діагоналей (рис. 1.33);

 

 

 

 

Рис. 1,32 Рис. 1,33

2) у трикутнику – на перетині медіан (рис.1.34)

 

 

3) У коловому секторі чи на півколі – у точці з координатами:

 

 

 

4) У конусі чи повній піраміді – на 1/3 висоти від основи (рис. 1.36)

 

 

Рис. 1.36

 

 

 

Рис. 1.37

 

 

Положення центра ваги плоских фігур прокатних профілів:

1) у балці двотаврової (рис.1.37) у точці з координа­тами

 

h - висота двута­вра.

2) у швелері (рис.1.38) – у точці з координатами

 

де h - висота швелера

- відстань від центра ваги та до зовнішньої грані стінки

3) у рівнополочному кутку (рис.1.39) – у точці з координатами

 

 

 

 

Рис. 1.39

 

Якщо плоска фігура має неправильну геометричну форму, то центр ваги такої фі­гури можна визначити двома способами:

1) методом підвішування фігури;

2) теоретичним методом.

У цьому випадку плоска фігура розбивається на певну кількість елементарних фігур, що мають правильну геометричну форму. Потім ви­значається положення центра ваги й площі кожної елементарної фігури. Для того щоб знайти координати цен­тра ваги заданої складної фігури, використовуються на­ступні формули:

 

де A_i - площі елементарних фігур, на які розбита складна фігура;

х_i, у_i - координати центра ваги кожної елементарної фігури відносно випадко­вих вісей х та у.

 

 

КІНЕМАТИКА

 

Тема 3. Складний рух точки

У деяких випадках рухомі тіла, які приймаються за матеріальні точки, можуть чи­нити складний рух (наприклад, рух людиною у вагоні рухаючого потягу).

Складний рух точки – це рух точки відносно нерухомої системи координат.

Швидкість складного руху називається абсолютною швидкістю.

Складний рух точки складається з переносного поперечного руху, тобто рух ру­хомої системи координат відносно нерухомої (наприклад, рух потягу відносно Зе­млі), та відносного руху, тобто рух точки відносно рухомої системи координат.

Таким чином швидкість абсолютного руху точки дорівнює геометричній сумі швидкостей переносного та відносного руху:

(теорема складання швидкостей)

Динаміка

Рівняння кінетостатики

 

Задача 2. Вантаж масою 900 кг, підвішений на тросі, опускається вертикально вниз із прискоренням 2 м/с². Знайти натяг троса, зневажаючи його власною масою.

 

Розв’язання. 1 Будуємо розрахунково-силову схему (рис. 1.61), тобто показуємо всі сили, що діють на тіло, що рухається. Потім указуємо вісь координат, уздовж якого відбувається рух тіла.

2 Складаємо рівняння кінетостатики та розв’язуємо його відносно

невідомої величины F_H:

 

де

 

 

Маємо

 

 

звідки

 

Відповідь: F_H = 7200 Н.

Задача 3. Автомобіль масою 1600 кг рухається по мосту з постійною швидкістю 90 км/ч. Визначити силу тиску автомобіля на міст, якщо r = 500 м.

 

Рішення. 1. Будуємо розрахунково-силову схему (рис. 1.62).

2. Складаємо рівняння кінетостатики:

 

 

де

 

 

маємо

 

звідки

Відповідь F_Д= 14 кН.

 

Та обертальному русі

Потужність - це величина, чисельно рівна роботі, зробленої за одиницю часу:

Потужність при поступальному русі

Якщо α = 0, то

Потужність при обер­тальному русі

 

Коефіцієнт корисної дії (ККД) машин і механізмів -це величина, що показує, яка частина від усієї виконаної роботи витрачається корисно:

де W_пол, W_затр — корисна і витрачена робота;

Р_пол, Р_затр —корисна і витрачена потужність.

 

За одиницю потужності приймається 1 Вт:

1 Вт = 1 Дж/с.

 

Тема 4. Теореми динаміки

При поступальному русі теореми динаміки мають наступний вид.

Теорема про зміну кількості руху: зміна кількості руху матеріальної точки до­рівнює імпульсу деякої сили, прикладеної до цієї точки, тобто

Де Ft - імпульс сили;

mv - кількість руху.

Доказ:

звідки

.

Теорема про зміну кінетичної енергії: зміна кінетичної енергії матеріаль­ної точки дорівнює роботі деякої сили по переміщенню цієї точки, тобто

 

 

Де: W = FS —ро­бота;

— кінетична енергія.

 

Доказ:

 

Звідки

 

 

При обертальному русі теореми динаміки мають наступний вигляд.

Теорема про зміну кількості руху: зміна кількості руху твердого тіла дорівнює добутку обертаючого моменту на час його дії, тобто

 

де І - момент інерції тіла;

ω - кутова швидкість.

 

Теорема про зміну кінетичної енергії: зміна кінетичної енергії твердого тіла дорівнює роботі цього тіла при обертальному русі, тобто

 

 

 

Де W = M φ

Передмова

Технічна механіка є фундаментальною загальнотехнічною дисципліною, не­від’ємною складовою системи підготовки інженерно-технічних працівників. Під час ви­вчення курсу студенти оволодівають знаннями законів рівноваги та руху матеріальних тіл, методів розрахунку елементів конструкцій, машин та споруд на міцність, жорст­кість, стійкість, основами проектування деталей, вузлів машин. Знання дисципліни не­обхідні спеціалістам, які повинні організовувати належну експлуатацію й обслугову­вання сучасної залізничної техніки, удосконалювати її конструкцію та технології засто­сування.

Навчальна дисципліна “Технічна механіка” складається з трьох розділів: теорети­чна механіка, опір матеріалів, деталі машин.

ТЕОРЕТИЧНА МЕХАНІКА

Теоретична механіка є науковою основою багатьох сучасних технічних дисциплін.

Теоретична механіка – наука про механічний рух матеріальних твердих тіл та їх взаємодії. Механічний рух розуміється як переміщення тіла в просторі та в часі по відношенню до інших тіл, зокрема до Землі. Частковим випадком руху є стан спо­кою.

Під дією навантажень матеріальні тіла змінюють свою форму (деформуються). Однак для наочності та спрощення розв’язування задач теоретичної механіки корис­туються доволі простими моделями матеріальних тіл такими як матеріальна точка та абсолютно тверде тіло.

Матеріальна точка - це умовно прийняте тіло, розмірами якого можна знехту­вати в порівнянні з відстанню, на якому воно перебуває.

Абсолютно тверде тіло - це умовно прийняте тіло, що не деформується під дією зовнішніх сил.

Теоретичну механіку поділяють на статику, кінематику та динаміку.

СТАТИКА

Основні поняття та аксіоми статики

Основним завданням статики є вивчення загальних законів рівноваги матеріальних точок і твердих тіл під дією сил.

Для вивчення законів рівноваги статики необхідно знати наступні поняття.

Сила — це векторна величина, що характеризує взаємодію між тілами.

Дія сили характеризується трьома факторами: точкою прикладення, напрямом, мо­дулем (численним значенням) (рис. 1.1).

За одиницю сили приймається 1 Н (Ньютон).

1 кН = 10³ Н; 1 МН = 10^б Н.

Рис. 1.1

 

Сили поділяються на зовнішні на внутрішні. Зовнішні сили бувають активні та реактивні. Активні сили викликають переміщення тіла, реактивні прагнуть протистояти переміщенню тіла під дією зовнішніх сил.

Позначення різних типів сил:

— зовнішня сила;

F_х, F_у — проекція сили на ось х та у відповідно;

R — реактивна сила;

F _∑ - рівнодійна сила.

Система сил - це сукупність всіх сил, що діють на тіло (дві або більше сил, які діють на одне тіло).

Дві сили або дві системи сили називаються еквівалентними, якщо вони чинять на тіло однакову дію.

Рівнодійною називається сила, що чинить таку ж дію на тіло, як і кілька сил, разом взятих. Рівнодійна сила дорівнює геометричній сумі всіх сил, що діють на тіло:

 

 

де i = 1,2,3,..., n – черговий номер сили.

Зрівноважуючою називається така сила, що дорівнює по величині рівнодійній силі, але направлена в протилежну сторону вона зрівноважує дану систему сил.

Основні аксіоми статики

 

На основі спореження явищ природи були встановлені загальні твердження, що приймаються без доведення – аксіоми статики.

В основу статики покладено п'ять аксіом.

Перша аксіома (принцип інерції). Система сил, пркладених до матеріальної то­чки, є зрівноваженою, якшо під дією сил даної системи точка перебуває в стані спокою або рівномірного прямолінійного руху.

Матеріальна точка знаходиться в рівновазі, якщо рівнодійна всіх сил, що діють на неї, дорівнює нулю, тобто

Друга аксіома (Принцип рівноваги двох сил). Дві сили, що діють на одне тіло,

 

 

Рис.1.2

взаємно зрівноважені, якщо вони рівні по модулю, протилежні по напряму та ле­жать на однієї прямій (рис. 1.2).

Третя аксіома (принцип приєднання чи виключення взаїмноврівноважених сил) механічний стан тіла не зміниться, якщо до нього чи приєднати чи виключити взаїмно­врівноважену систему сил (рис. 1.3).

 

Четверта аксіома (принцип паралелограма). Рівнодійна двох сил, прикладених до тіла в одній точці та спрямованих одна до одної під кутом, дорівнює геометричній сумі цих сил і зображується діагоналлю паралелограма, побудованого на цих силах як на сторонах (рис. 1.4).

П’ята аксіома Принцип дії та протидії: сили, з якими два тіла діють одине на одне, дорівнюють по значенню, протилежні по напрямку та лежать на однієї прямій (однак не врівноважені, тому що прикладені до різних тіл) (рис. 1.5).