Аксіоматичний метод у математиці та суть аксіоматичної побудови теорії.

1. Існують різні підходи до побудови математичних теорій. Що вивчає кожна математична теорія? – деяку математичну структуру, тобто деяку множину, елементи якої можуть перебувати в певних відношеннях і мати певні властивості. В чому полягає зміст теорії? – а) в означенні понять і відношень; б) у доведенні властивостей об’єктів даної теорії; в) у доведенні відношень, визначених в цій теорії. Чи можна дати означення всіх понять? – ні, бо кожне означення зводить одне поняття до іншого, вже відомого. А чому не можна довести всі властивості? – бо кожне доведення полягає у виведенні нових властивостей з вже відомих. Отже, ми маємо протиріччя.

Як же в науці розв’язують ці протиріччя? – по-перше, вибирають основні неозначувані об’єкти і відношення; по-друге, формулюють деякі їхні властивості (аксіоми), які приймаються без доведення; по-третє, на основі неозначуваних понять і відношень та аксіом формулюють означення всіх понять і доводять на основі означень та аксіом всі інші твердження теорії. Такий метод побудови теорії одержав назву аксіоматичного.

У чому ж суть аксіоматичного методу побудови математичної теорії? – 1) задається деяка множина М основних об’єктів теорії, що будується; 2) вибирають первісні, неозначувані поняття; 3) вибирають первісні, неозначувані відношення між ними; 4) формулюють твердження, які приймаються без доведення та які називають аксіомами, бо їхня істинність перевірена багатовіковим досвідом людства; 5) формулюють означення всіх нових понять теорії, що будується, використовуючи первісні поняття; 6) формулюють і доводять твердження теорії, що будується, спираючись на означення та аксіоми. Такий метод побудови теорії вважається в математиці одним із найбільш поширених і строгих.

Цей метод з’явився ще до нашої ери, а його відкриття приписують Піфагору (ІІІ ст. до н. е.). Одним із найвідоміших застосувань аксіоматичного методу до побудови математичної теорії є “Начала” Евкліда (ІІІ ст. до н.е.), в яких він здійснив спробу аксіоматичної побудови геометрії. Поворотним етапом у розвитку цього методу стала побудова М.І.Лобачевським (1826 р.) неевклідової геометрії. Подальший розвиток аксіоматичного методу до побудови строгих наукових теорій знайшов своє застосування при побудові як математичних, так і інших наукових теорій різноманітних галузей природознавства. Таким чином, поступово сформувався сучасний підхід до аксіоматичної побудови теорії.

У своєму розвитку аксіоматичний метод пройшов три етапи: на першому етапі, який завершився у 3-4ст. до н.е. першими спробами аксіоматичної побудови геометрії Евклідом; другий етап завершився наприкінці 19 століття створенням Д.Гілбертом, Дж.Пеано та іншими аксіоматичних побудов математичних теорій; на третьому етапі Д.Гілберт та його учні створили формальні системи та формалізовану аксіоматичну теорію. Спочатку аксіоматичний метод був застосований для побудови геометрії, потім знайшов своє застосування в арифметиці, теорії ймовірностей, теорії множин тощо. Він також застосовувався в деяких розділах фізики (механіка, термодинаміка, електродинаміка тощо). Наявні спроби його застосування для побудови таких дисциплін як етика, соціологія, економічні теорії, біологія тощо, але поки що задовільних результатів це не дало.

 

2. Властивості аксіоматики (несуперечливість, повнота, незалежність) цілих невід’ємних чисел. Система аксіом Дж.Пеано. Поняття натурального числа і нуля в аксіоматичній теорії.

2. Що ж таке аксіома? – висловлення деякої теорії, що приймається при дедуктивній побудові цієї теорії без доведення. У середині століття, під впливом філософії Аристотеля, під аксіомою розуміли очевидні твердження, які не потребують доведення. Вчення І.Канта закріпило погляд на аксіоми, як на апріорні істини. Істотного удару по таким поглядам на аксіоми було нанесено російським математиком М.І.Лобачевским, який, замінивши лише одну аксіому, зумів побудувати нову геометрію. Таким чином аксіома – це твердження, яке перевірене багатовіковим досвідом людства і яке приймається без доведення.

Система аксіом будь-якої теорії повинна точно відображати властивості реального світу, задовольняючи при цьому певні вимоги логічного характеру. Такими вимогами є наступні:

а) несуперечливість, тобто із даної системи аксіом не можливо вивести хибне твердження, або довести два твердження, які б суперечили одне одному;

б) незалежність, тобто кожна з аксіом системи не може бути наслідком будь-якої іншої аксіоми системи;

в) повнота, тобто система аксіом повинна бути достатньою для побудови даної математичної теорії.

Слід відзначити, що аксіоматичний метод побудови теорії з'являється на певному етапі розвитку цієї теорії, як результат узагальнення її розвитку, хоча існують аксіоматичні теорії, які з'являються раніше за саму теорію. Систему аксіом цілих невід’ємних чисел систематизував італійський математик Дж.Пеано (1891 р.). В основу своєї аксіоматичної побудови він поклав ідеї видатного німецького математика Р.Дедекінда, висунуті ним у 1888 році. Основними поняттями цієї теорії є поняття унарної алгебраїчної операції або операції слідування. У математиці розглядають математичні структури, під якими розуміють певну непорожню множину М, на якій визначено певну сукупність алгебраїчних операцій з фіксованими їх основними властивостями (М; 0; '), де М - основна множина або носій цієї структури; 0 – це елемент цієї множини М і «'» - це унарна алгебраїчна операція слідування. Існують різні варіанти системи аксіом цілих невід’ємних чисел. Ми будемо дотримуватися наступної, зазначивши, що для всіх їх можна довести їхню рівносильність. Таким чином, можна прийняти таке означення цілих невід’ємних чисел.

Означення 1: невід’ємними цілими числами називаються елементи будь-якої структури (Z _o; 0; '), де Z _o – основна множина, 0 - нульовий елемент, ' (штрих) – символ унарної операції слідування (“безпосередньо слідує за”), в якій виконуються такі аксіоми:

Аксіома 1: нуль не йде ні за яким елементом множини цілих невід’ємних чисел Z₀ (символічно цю аксіому можна записати так: (VхєZ_o)[х'¹0, де х'=х+1]).

Аксіома 2: за кожним цілим невід’ємним числом безпосередньо йде одне ціле невід’ємне число – безпосередньо наступне число для даного числа (символічно ця аксіома запишеться так: (V х є Z_o)($!уєZ_o)[у = х']).

Аксіома 3: кожне ціле невід’ємне число, крім нуля, безпосередньо йде не більш як за одним цілим невід’ємним числом (символічно ця аксіома запишеться так: (Vх,уєZ_o)[х'=у'=>х=у]).

Аксіома 4 (аксіома індукції): якщо для будь-якої підмножини МÌZ_o виконуються умови: а) нуль належить множині М (символічно: 0єМ); б) із того, що х належить множині М випливає, що х¢ належить множині Z_o, тоді множина М співпадає з множиною цілих невід’ємних чисел Z_o (символічно це можна записати так: (0єМ)Ù[ VхєZ_o)[хєМ→х'єМ]→М=Z_o]).

Наведена система аксіом Дж.Пеано є формально-логічною основою для аксіоматичної побудови теорії цілих невід’ємних чисел. Розтлумачимо сутність і призначення аксіом системи. Майже у всіх аксіомах системи зустрічається символ х', який позначає число, яке безпосередньо слідує за числом х (наприклад, символ 0' слід розуміти як число, яке безпосередньо йде за числом 0, тобто 0'=0+1=1). Аксіома 1 стверджує, що найменшим цілим невід’ємним числом є число 0. Із аксіоми 2 випливає, що в множині цілих невід’ємних чисел не існує найбільшого числа. На основі аксіоми 3 можна твердити, що кожному цілому невід’ємному числу, крім 0, передує єдине ціле невід’ємне число.

Відповідно до вимог аксіоматичного методу побудови теорії, після того, як сформульовано систему аксіом, кожне нове твердження слід довести, спираючись на основні поняття, відношення між ними та аксіоми. На основі сформульованої системи аксіом Пеано доводяться всі теореми, які розглядаються в множині Zo чисел. Покажемо це на прикладі такої теореми «цілі невід’ємні числа, які слідують за різними цілими невід’ємними числами також різні» (символічно теорема запишеться так: (Vх, уєZo)[(х¹у)→(х'¹у')]). Доведення проведено методом від супротивного, тобто припустимо, що х'=у'. Тоді за аксіомою 3 (х'=у') → (х=у), а це суперечить тому, що х і у різні. Ця суперечність говорить, що наше припущення хибне, отже теорема справедлива.

 

3. Метод математичної індукції.

3. У свою чергу аксіома індукції, тобто аксіома 4, є теоретичною основою способу доведення тверджень, який одержав назву методу математичної індукції. Доведення методом математичної індукції ґрунтується на аксіомі 4 і складається з таких етапів: 1) перевіряємо істинність твердження при n=1 або n=2 (якщо маємо справу із сумою); 2) припускаємо, що наше твердження істинне при n=к, де к>1; 3) виходячи із припущення, пробуємо довести справедливість твердження при n=к'=к+1; 4) на основі аксіоми індукції робимо висновок про справедливість твердження для всіх цілих невід’ємних чисел. Сутність доведення тверджень цим методом розглянемо на конкретних прикладах.

Приклад 1: довести, що 1²+2²+3²+…+n²= .

Доведення:

1) перевіримо справедливість цього твердження при n=2, бо ліва частина рівності є сумою. Для цього знайдемо суму перших двох доданків лівої частини і порівняємо його із значенням правої частини рівності при n=2. Маємо: 1²+2²=1+4=5. . Отже, 5=5. Твердження при n=2 справедливе (якщо б воно було хибним, то далі проводити доведення не потрібно!);

2) припускаємо, що твердження справедливе при n=к, тобто 1²+2²+3²+…+к²= ;

3) виходячи із припущення, тобто із того, що сума квадратів перших к натуральних чисел дорівнює , спробуємо довести, що сума перших к+1 натуральних чисел дорівнює . Утворимо в лівій частині даної рівності суму квадратів перших к+1 натурального числа. Для цього до лівої частини припущення додамо квадрат ще одного числа, тобто маємо: 1²+2²+3²+…+к²+(к+1)². Суму перших к доданків, згідно припущення, можна замінити виразом . У других дужках маємо квадратний тричлен, який можна розкласти в добуток лінійних множників згідно формули: ах²+вх+с=а(х–х₁)(х–х₂), де х₁ і х₂ – корені квадратного тричлена. Щоб розкласти квадратний тричлен 2к²+7к+6 на лінійні множники, розв'яжемо квадратне рівняння: 2к²+7к+6=0. Оскільки D=49–48=1>0, то к₁=-2; к₂=-3/2. Отже, 2к²+7к+6=2(к+2)(к+3/2)=(к+2)(2к+3). Тоді маємо = . Таким чином, ми одержали той вираз, який було потрібно;

4) отже, на основі аксіоми індукції, ми можемо твердити, що рівність справедлива для будь-якого натурального числа. Справедливість рівності доведено.

Приклад 2. Довести, що для будь-якого натурального n справедлива рівність: .

Доведення:

1) перевіримо справедливість твердження при n=2: . Твердження, при n=2 справедливе;

2) припустимо, що наше твердження справедливе при n=к, тобто ;

3) виходячи із припущення, спробуємо довести, що сума к+1 доданку лівої частини дорівнює . Щоб записати в лівій частині суму к+1 доданка до лівої частини припущення додамо ще один доданок. = Суму перших к доданків, згідно припущення, замінимо виразом: = =. Щоб розкласти чисельник на множники, розв’яжемо рівняння: 3к²+4к+1=0. к₁=-1, к₂=-1/3. = те, що і треба було довести.