Застосування рівнянь та їх систем до розв’язування текстових задач.

5. Досить часто розв’язати задачу арифметичним способом досить складно, а от методом складання рівнянь це зробити набагато простіше. При розв’язуванні задач методом складання рівнянь потрібно: 1) провести розбір задачі з метою вибору основного невідомого та виявлення залежності між величинами, а також вираження цих залежностей на математичній мові у формі двох алгебраїчних виразів (одне із них може бути заданим); 2) знайти основу для сполучення цих виразів знаком “=” та скласти рівняння; 3) знайти розв’язок одержаного рівняння; 4) з’ясувати чи немає серед розв’язків цього рівняння таких, які сторонні для задачі; 5) встановити чи вичерпують розв’язки рівняння всі розв’язки задачі. Всі ці етапи задачі логічно пов’язані між собою. Наприклад, при пошуку основи для сполучення двох виразів знаком рівності говориться як про особливий етап, але ж цілком зрозуміло, що на попередньому етапі вказані вирази утворюються не довільно, а із врахуванням можливості сполучити їх знаком рівності. В силу неподільності аналізу та синтезу, як методів дослідження, інакше і бути не може. Виявлення залежностей між величинами, переклад цих залежностей на математичну мову вимагає напруженої аналітико-синтетичної діяльності. Успіх в цій роботі залежить від того як учні знають в яких залежностях можуть знаходитися величини, а також як вони розуміють смисл відношень. Наприклад, смисл відношень, які виражені термінами: “пізніше на...”, “старший в... разів” тощо. Крім цього потрібне розуміння якою саме математичною дією чи властивістю дії чи якою залежністю між компонентами та результатом дії тощо може бути описане те чи інше конкретне відношення.

 

МОДУЛЬ 6.: «ВИРАЗИ. РІВНЯННЯ. НЕРІВНОСТІ. ФУНКЦІЇ».

Змістовний модуль 6.3. «Нерівності, їх системи і сукупності.».

ПЛАН.

1. Поняття нерівності з однієї змінною як предиката виду f(x)>g(x), де хєХ.

2. Рівносильні нерівності. Теореми про рівносильність нерівностей.

3. Системи та сукупності нерівностей з однією змінною та способи їх розв’язування. Нерівності та системи нерівностей з двома змінними, графічний спосіб їх розв’язування.

ЛІТЕРАТУРА: [1] – с. 238-293, 317-384; [2] – с. 53-59, 110-115, 294-355; [3] – с. 118-127.

1. Поняття нерівності з однієї змінною як предиката виду f(x)>g(x), де хєХ.

1. Одним із завдань курсу математики середньої школи є формування уявлень про рівняння, нерівності, їх системи і сукупності та формування умінь їх розв’язувати. Нерівності з однією змінною зустрічаються вже в курсі математики початкових класів. Саме тому вчитель повинен знати теоретичні основи питань, пов’язаних із нерівностями. Враховуючи сказане, розглянемо принципові питання. які відносяться до теорії нерівностей з однією та двома змінними з точки зору теорії предикатів. Відзначимо, що майже всі питання. які будуть розглядатися, є справедливими для будь-якого із знаків нерівностей: >, <, ≥, ≤.

Оскільки як в самій математиці, так і в її застосуваннях із нерівностями зі змінними доводиться мати справу не рідше, ніж із рівняннями, то, починаючи з першого класу на уроках математики розпочинають формувати уявлення дітей про числові нерівності та нерівності, що містять змінну. У початкових класах не ставиться завдання навчити учнів розв’язувати нерівності. У підручниках з математики для 1-4-х класів не знайдемо завдань типу „розв’язати нерівність”, „знайти множину розв’язків нерівності”, бо ці терміни в початкових класах не вводяться. Завдання вказаного виду формулюють так: „із заданих значень вибрати те, при якому нерівність правильна”, „підберіть два чи три таких значення, щоб нерівність була правильною” тощо.

Нерівності зі змінними в початкових класах розв’язуються або методом підбору, або методом зведення до рівняння. Наприклад, для нерівності 12·k<96 при використанні першого способу діти міркують приблизно так: якщо k=7, то12·7=84, 84<96. Отже, k=7 підходить. При використанні другого способу учні міркують так: замінимо нерівність 12·k<96 рівнянням 12·k=96. Розв’язавши його, маємо k=8. Оскільки добуток 12·k повинен бути меншим, ніж 96, то замість k слід підставляти числа менші за 8, тобто числа 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0.

Відносно нерівностей в математиці становляться наступні завдання: 1) довести нерівність, тобто показати, що нерівність правильна при будь-яких значеннях змінних, що входять у цю нерівність. У цьому випадку говорять, що потрібно довести нерівність; 2) розв’язати нерівність, тобто знайти всі ті значення змінних, при підставці яких у нерівність, ми отримуємо правильну числову нерівність. У цьому випадку говорять, що потрібно розв’язати нерівність.

Перейдемо до визначення сутності основних понять, пов’язаних із нерівностями. Розглянемо два предикати f(x) і g(х), які задані на множині X, По аналогії з рівняннями з однією змінною введемо означення нерівності.

Означення: предикат виду f(x)>g(x) (або f(x)<g(x), або f(x)≤g(x), або f(x)≥g(x)), заданий на множині X, називається нерівністю з однією змінною.

Аналогічно можна дати означення для нерівностей з будь-якою скінченною кількістю змінних. Так, по аналогії з попереднім можна ввести означення нерівності з двома змінними.

Означення: предикат виду f(x.y)>g(x.y) (або f(x.y)<g(x,y), або f(x,y)≤g(x,y), або f(x,y)≥g(x,y)), заданий на множині X, називається нерівністю з двома змінними.

Із теорії предикатів відомо, що кожен предикат пов’язаний із множиною, з якої можна вибирати значення змінної. Тоді кожна нерівність також пов’язана з множиною, яку прийнято називати областю допустимих значень або областю визначення.

Означення: множиною допустимих значень змінної або областю визначення нерівності називається така множина значень хєX, при яких нерівність має зміст.

Як відомо, область визначення предиката поділяється на дві підмножини: 1) множина істинності предиката, яка складається з таких хєХ, при підстановці яких у предикат отримуємо істинне висловлення; 2) множина хибності предиката, яка складається з таких хєХ, при підстановці яких у предикат отримуємо хибне висловлення. Оскільки нерівність є предикатом, то її область визначення також будемо поділяти на дві підмножини. Саме тому множину істинності нерівності будемо називати множиною розв’язків нерівності.

 

Рівносильні нерівності. Теореми про рівносильність нерівностей.

2. Основним загальним методом розв’язування нерівностей, як і рівнянь, є метод перетворень. Такі перетворення повинні бути тотожними або рівносильними, бо в противному випадку ми можемо втратити або одержати сторонні корені. Для того, щоб щоразу не перевіряти чи рівносильними були перетворення, в математиці доводять відповідні теореми. Спочатку введемо означення понять „розв’язок нерівності”, „множина розв’язків нерівності”, а потім доведемо теореми про рівносильність нерівностей.

Означення: розв’язком нерівності f(x)>g(x) називається таке значення х₀єX, яке перетворює нерівність із змінною в істинну числову нерівність f(х₀)>g(х₀).

Означення: сукупність усіх розв’язків нерівності прийнято називати множиною розв’язків нерівності або множиною розв’язків нерівності із змінною називається множина істинності відповідного предикату.

Означення: дві нерівності із змінними, називаються рівносильними, якщо вони задані на одній і тій самій множині і множини їх розв’язків співпадають.

Означення: дві нерівності із змінною, які задані на одній і тій самій множні, називаються рівносильними, якщо всі розв’язки однієї нерівності є розв’язками другої нерівності і навпаки.

Дві нерівності можуть бути рівносильними в одній числовій області і нерівносильними в інший числовій області.

Теорема 1: якщо вираз j(x) визначений для всіх хÎХ, то нерівність f(x)>g(x) (І) рівносильна нерівності f(x)+j(x)>g(x)+j(x) (II).

Доведення.

Для доведення теореми використаємо означення рівносильних нерівностей. Саме тому доведення складатиметься з двох частин. У першій слід показати, що кожен розв’язок нерівності (І) є розв’язком нерівності (ІІ), а в другій – що кожен розв’язок нерівності (ІІ) є розв’язком нерівності (І). Нехай Т₁ÌХ є множиною розв’язків нерівності (І), а Т₂ÌХ є множиною істинності нерівності (ІІ). Виберемо довільне х₀, яке належить множині Т₁ і підставимо його у нерівність (І). Тоді вона перетвориться в істинну числову нерівність f(х₀)>g(х₀).

За умовою теореми вираз j(x) визначений при всіх хÎХ, а оскільки х₀ÎТ₁ÌХ, то підставивши його у вираз j(x), ми одержимо числовий вираз j(х₀). Виконавши у цьому виразі відповідні дії, ми одержимо число. Оскільки f(х₀)>g(х₀) ‑ істинна числова нерівність, а j(х₀) - числовий вираз, визначений для всіх хÎХ, то на основі властивостей істинних числових нерівностей нерівність f(х₀)+j(х₀)>g(х₀)+j(х₀) - буде істинною числовою нерівністю. Отже, х₀ – розв’язок нерівності (ІІ).

Значення х₀ в множині Т₁ ми вибирали довільно, а тому наші міркування можна повторити відносно будь-якого хєТ₁. Істинну числову нерівність f(х₀)+j(х₀)>g(х₀)+j(х₀) ми можемо одержати із нерівності (ІІ), замінивши в ній х на х₀, а це означає, що х₀ є розв’язком нерівності (ІІ). Отже, наші міркування можна повторити для будь-якого х₀єТ₁. Це означає, що кожен розв’язок нерівності (І) є розв’язком нерівності (ІІ), тобто Т₁ÌТ₂. Таким чином, першу частину теореми доведено.

У другій частині доведемо, що кожен розв’язок нерівності (ІІ) є розв’язком нерівності (І). Нехай Т₁ÌХ є множиною розв’язків нерівності (І), а Т₂ÌХ є множиною істинності нерівності (ІІ). Виберемо довільне у₀, яке належить множині Т₂ і підставимо його у нерівність (ІІ). Тоді вона перетвориться в істинну числову нерівність f(у₀)+j(у₀)>g(у₀)+j(у₀). За умовою теореми вираз j(x) визначений при всіх хÎХ, а оскільки у₀ÎТ₂ÌХ, то підставивши його у вираз j(x), ми одержимо числовий вираз j(у₀). Виконавши у цьому виразі відповідні дії, ми одержимо число. Оскільки f(у₀)+j(у₀)>g(у₀)+j(у₀) ‑ істинна числова нерівність, а j(у₀) - числовий вираз, визначений для всіх хÎХ, то на основі властивостей істинних числових нерівностей нерівність f(у₀)>g(у₀) буде істинною числовою нерівністю.

Значення у₀ в множині Т₂ ми вибирали довільно, а тому наші міркування можна повторити відносно будь-якого хєТ₂. Істинну числову нерівність f(у₀)>g(у₀) ми можемо одержати із нерівності (І), замінивши в ній х на у₀, а це означає, що у₀ є розв’язком нерівності (І). Отже, наші міркування можна повторити для будь-якого у₀єТ₂. Це означає, що кожен розв’язок нерівності (ІІ) є розв’язком нерівності (І), тобто Т₂ÌТ₁. Таким чином, другу частину теореми доведено. У першій частині ми довели, що Т₁ÌТ₂, а другій, що Т₂ÌТ₁. Тоді на основі означення рівності множин Т₁=Т₂. Це означає, що кожен розв’язок нерівності (І) є розв’язком нерівності (ІІ). Таким чином, теорему доведено повністю, тобто нерівності (І) і (ІІ) рівносильні.

Теорема 2: якщо вираз j(х) визначений і набуває додатних значень при всіх хÎХ, то нерівність f(x)>g(x) (I) рівносильна нерівності f(x)·j(x)>g(x)·j(x) (III).

Доведення теореми 2 складатиметься з двох частин і проводиться аналогічно до доведення теореми 1 або теореми 3. Саме тому пропонуємо студентам довести цю теорему самостійно.

Теорема 3: Якщо вираз j(х) визначений і набуває від’ємних значень при всіх хÎХ, то нерівність f(x)>g(x) (I) рівносильна нерівності f(x)·j(x)<g(x)·j(x) (IV).

Доведення.

Доведення теореми складатиметься з двох частин. У першій частині доведемо, що кожен розв’язок нерівності (І) є розв’язком нерівності (IV). Нехай Т₁ÌХ - це множина розв’язків нерівності (І), а Т₄ÌХ - це множина розв’язків нерівності (IV). Виберемо в множині Т₁ довільне х₀ÎТ₁ і підставимо у нерівність (І). Після цього одержимо істинну числову нерівність f(х₀)>g(х₀). Підставивши х₀ у вираз j(х), ми одержимо числовий вираз j(х₀), який набуває від’ємних значень. Помножимо обидві частини істинної числової нерівності f(х₀)>g(х₀) на вираз j(х₀), що приймає лише від’ємних значень. Тоді, згідно властивостей істинних числових нерівностей, нерівність f(х₀)·j(х₀)<g(х₀)·j(х₀) буде істинною числовою нерівністю. Ми можемо одержати її з нерівності (IV), замінивши в ній х на х₀. Це означає, що х₀ є розв’язком нерівності (IV), тобто х₀ÎТ₄. Оскільки значення х₀ÎТ₁ ми вибирали довільно, то наші міркування можна повторити відносно будь-якого елемента цієї множини. А це означає, що кожен елемент множини Т₁, тобто кожен розв’язок нерівності (І), є елементом множини Т₄, тобто є розв’язком нерівності (ІУ). Отже, на основі означення підмножини маємо: Т₁ÌТ₄. Першу частину теореми доведено.

У другій частині доведемо, що кожен розв’язок нерівності (IV) є розв’язком нерівності (І). Виберемо довільне y₀єТ₄ÌХ і підставимо його у нерівність (IV). Тоді одержимо істинну числову нерівність f(y₀)·j(y₀)<g(y₀)·j(y₀). Оскільки j(y₀) - це числовий вираз, що приймає від’ємних значень для всіх у₀ÎХ. Поділивши на нього обидві частини нерівності f(y₀)·j(y₀)<g(y₀)·j(y₀), ми одержимо істинну числову нерівність f(y₀)>g(y₀) (Чому?). Цю нерівність f(y₀)>g(y₀) можна одержати з нерівності (І), замінивши х на y₀. Отже, y₀ є розв’язком нерівності (І). Оскільки y₀єТ₄ ми вибирали довільно, то наші міркування можна повторити відносно будь-якого елементу y₀єТ₄. Це означає, що кожен елемент множини Т₄ є елементом множини Т₁, тобто Т₄ÌТ₁.

Таким чином, у першій частині ми довели, що Т₁ÌТ₄., а в другій – що Т₄ÌТ₁. На основі означення рівності множин це означає, що Т₁=Т₄. Отже, ми показали, що множини розв’язків нерівностей (І) і (ІV) співпадають. Оскільки вони задані на одній множині Х, то ці нерівності рівносильні. Теорему доведено повністю.