Розв’язування систем лінійних рівнянь способом додавання

Розглянемо дві правильні рівності:

7 + 5 = 12;

8 + 6 = 14.

Додамо почленно ці рівності: ліву частину до лівої й праву до правої:

(7 + 5) + (8 + 6) = 12 + 14.

Знову одержали правильну рівність. Ця властивість правильних числових рівностей лежить в основі способу розв’язування систем рівнянь, який називають способом додавання. Розглянемо приклад.

Нехай треба розв’язати систему рівнянь

(1)

Додамо почленно ліві й праві частини рівнянь:

(3 х + 2 у) + (5 х – 2 у) = 21 + 19; 8 х = 40.

Замінимо одне з рівнянь системи (1), наприклад, перше, рівнянням 8 х = 40. Одержимо систему

(2)

Системи (1) і (2) мають одні й ті ж розв’язки (доведення подане в рубриці «Для тих, хто хоче знати більше»). Розв’яжемо систему (2). З першого
рівняння знаходимо: х = 5. Підставивши це значення у друге рівняння, матимемо:

5 × 5- 2 у = 19; 25- 2 у = 19; -2 у = -6; у = 3.

Пара чисел (5; 3) ¾ розв’язок системи (2), а також і системи (1).

Розв’язуючи систему (1), ми скористалися тим, що в рівняннях коефіцієнти біля змінної у є протилежними числами і після почленного додавання рівнянь одержали рівняння з однією змінною х.

Розв’яжемо ще одну систему рівнянь

(3)

У цій системі рівнянь коефіцієнти біля змінної х і коефіцієнти біля змінної у не є протилежними числами. Однак, помноживши обидві частини першого рівняння на 2, а другого ¾ на -3, одержимо систему

у якій коефіцієнти біля х ¾ протилежні числа. Додавши почленно рівняння останньої системи, матимемо:

17 у = 102; у = 6.

Підставивши значення y в перше рівняння системи (3), знаходимо:

3 х + 4 × 6 = 12; 3 х = -12; х = -4.

Отже, розв’язком системи (3) є пара чисел (-4; 6).

Щоб розв’язати систему лінійних рівнянь способом додавання, потрібно: 1) помножити обидві частини рівнянь системи на такі числа, щоб коефіцієнти біля однієї зі змінних в обох рівняннях системи стали протилежними числами; 2) додати почленно ліві й праві частини рівнянь; 3) розв’язати одержане рівняння з однією змінною; 4) знайти відповідне значення іншої змінної.

Для тих, хто хоче знати більше

Доведемо, що системи (1) і (2) мають одні й ті ж розв’язки.

Нехай пара чисел (a; b) ¾ довільний розв’язок системи (1), тоді правильними є числові рівності 3 а + 2 b = 21 і 5 а - 2 b = 19. Додавши ці рівності, одержимо правильну рівність 8 а = 40. Оскільки рівності 8 а = 40 і 5 а - 2 b = 19 правильні, то пара чисел (a; b) є розв’язком системи (2). Ми показали, що довільний розв’язок системи (1) є розв’язком системи (2).

Навпаки, нехай пара чисел (с; d) ¾ довільний розв’язок системи (2), тоді правильними є числові рівності 8 c = 40 і 5 c - 2 d = 19. Віднімемо від першої із цих рівностей другу. Одержимо правильну рівність 3 c + 2 d = 21. Оскільки рівності 3 c + 2 d = 21 і 5 c - 2 d = 19 правильні, то пара чисел (c; d) є розв’язком системи (1). Ми показали, що довільний розв’язок системи (2) є розв’язком системи (1).

Отже, системи (1) і (2) мають одні й ті ж розв’язки.

Приклади розв’язання вправ

Приклад 1. Розв’язати способом додавання систему рівнянь

● Помножимо обидві частини першого рівняння системи на -2. Отримаємо систему

Почленно додавши рівняння останньої системи, матимемо:

-3 у = -9; у = 3.

Підставимо у перше рівняння системи замість у число 3 і розв’яжемо одержане рівняння:

3 х + 15 = 9; 3 х = -6; х = -2.

Відповідь. (-2; 3). ●

Рівень А

Розв’яжіть систему рівнянь способом додавання:

973. а) б) в)

974. а) б) в)

975. а) б) в)

976. а) б) в)

г) д) е)

977. а) б)

в) г)

Рівень Б

Знайдіть розв’язки системи рівнянь:

978. а) б)

в) г)

979. а) б)

980. а) б)

в) г)

981. а) б)

982. Чи має розв’язок система рівнянь:

а) б)

Рівень В

983. Чи має розв’язок система рівнянь:

а) б)

984. Доведіть, що графіки рівнянь 6 х + 5 у = -7, 2 х - 3 у = 7 і 4 х + у = 0 проходять через одну й ту ж точку.

985. Розв’яжіть систему рівнянь:

а) б)

в) г)

986. Скільки розв’язків має система рівнянь залежно від значень коефіцієнта а?

987. Знайдіть такі числа a, b, c і d, для яких є правильною кожна з рівностей:

а = bcd; a + b = cd; a + b + c = d; a + b + c + d = 1.

Вправи для повторення

988. Запишіть відповідні рівності:

а) сума чисел x та у у 5 разів більша від їх різниці;

б) добуток чисел а і b на 12 більший від їх частки;

в) сума чисел x та у становить третину їх добутку.

989. Одне число більше від іншого втричі, а їхня сума дорівнює 36. Знайдіть ці числа.

990. Знайдіть два числа, сума яких дорівнює 49, а різниця ¾ 17.

991. Брат старший від сестри удвічі. А 5 років тому він був старший від сестри на 7 років. Скільки років кожному?

992. Вкладник зняв з рахунку в банку 20% усіх грошей, а через годину ¾ 30% залишку. Після цього на його рахунку залишилося 280 грн. Який був початковий вклад?