Множення степенів з однаковими основами.

Розглянемо добутки двох степенів з основою а. Врахувавши, що а ¹ = а, матимемо:

а ¹ а ¹ = аa = а ² = а ^{1 + 1}; а ² а ¹ = (аа) a = ааа = а ³ = а ^{2 + 1}.

Отже, а ¹ а ¹ = а ^{1 + 1}, а ² а ¹ = а ^{2 + 1}. У цих прикладах добуток степенів з однаковими основами дорівнює степеню з тією ж основою і показником, який дорівнює сумі показників степенів. Таку властивість має добуток будь-яких степенів з однаковими основами.

Властивість 1

Для будь-якого числа а й довільних натуральних чисел m і n справджується рівність

a^mаⁿ = а^{m + n} .

● Доведення. Врахувавши означення степеня, матимемо:

a^mаⁿ = = = а^{m + n} . ●

Із властивості 1, яку ще називають основною властивістю степеня, випливає правило множення степенів:

Щоб перемножити степені з однаковими основами, потрібно основу залишити ту саму, а показники степенів додати.

Наприклад:

3² × 3³ = 3^{2 + 3} = 3⁵; 2⁴ × 2 = 2⁴ × 2¹ = 2^{4 + 1} = 2⁵; b ⁷ × b ⁸ = b ^{7 + 8} = b ¹⁵.

Правило множення степенів поширюється на добуток трьох і більше степенів. Наприклад:

5² × 5⁴ × 5⁶ = 5^{2 + 4 + 6} = 5¹²; b ⁵ × b ³ × b ⁷ × b = b ^{5 + 3 + 7 + 1} = b ¹⁶.

Ділення степенів з однаковими основами.

Розглянемо рівність а ² а ³= а ⁵, де а ¹ 0. Із цієї рівності за означенням
частки маємо: а ⁵ : а ³ = а ². Рівність а ⁵ : а ³ = а ² можна переписати так:

а ⁵ : а ³ = а ^{5 - 3}.

У цьому прикладі частка степенів з однаковими основами дорівнює степеню з тією ж основою й показником, який дорівнює різниці показника степеня діленого й показника степеня дільника. Сформулюємо й доведемо відповідну властивість у загальному випадку.

Властивість 2

Для будь-якого числа а ¹ 0 та довільних натуральних чисел m і n, де m > n, справджується рівність

а^m : аⁿ = а^{m - n} .

● Доведення. Оскільки a^{m - n} × аⁿ = а^{m - n + n} = а^m, тобто a^{m - n} × аⁿ = а^m, то за означенням частки маємо: а^m : аⁿ = а^{m - n} . ●

З доведеної властивості випливає правило ділення степенів:

Щоб поділити степені з однаковими основами, потрібно основу залишити ту саму, а від показника степеня діленого відняти показник степеня дільника.

Наприклад: 3⁷: 3² = 3^{7 - 2} = 3⁵; х ⁴: х = х ⁴: х ¹ = х ^{4 - 1} = х ³.

Піднесення степеня до степеня.

Піднесемо степінь а ² до куба:

(а ²)³ = а ² × а ² × а ² = а ^{2 + 2 + 2} = а ^2×3.

Отже, (а ²)³ = а ^2×3. Із прикладу видно: щоб піднести квадрат числа до куба, потрібно залишити ту ж основу й узяти показник, який дорівнює добутку показників. Сформулюємо й доведемо відповідну властивість у загальному випадку.

Властивість 3

Для будь-якого числа а та довільних натуральних чисел m і n справджується рівність

(a^m) ⁿ = а^mn.

● Доведення.

(a^m) ⁿ = = = а^mn. ●

Із властивості 3 випливає правило піднесення степеня до степеня:

Щоб піднести степінь до степеня, потрібно основу залишити ту саму, а показники степенів перемножити.

Наприклад: (4³)⁵ = 4^{3 × 5} = 4¹⁵; (b ⁶)⁴ = b ^{6 × 4} = b ²⁴.

Піднесення добутку до степеня.

Піднесемо добуток аb до куба:

(аb)³ = аb × аb × аb = (аaa) × (bbb) = а ³ b ³.

Отже, (аb)³ = а ³ b ³. Із прикладу видно: щоб піднести до куба добуток, потрібно піднести до куба кожний множник і результати перемножити.
Сформулюємо й доведемо відповідну властивість у загальному випадку.

Властивість 4

Для будь-яких чисел а та b і довільного натурального числа n справджується рівність

(ab) ⁿ = аⁿbⁿ.

● Доведення.

(ab) ⁿ = = × = аⁿbⁿ. ●

Маємо таке правило:

Щоб піднести до степеня добуток, досить піднести до цього степеня кожний множник і результати перемножити.

Це правило поширюється на добуток трьох і більше множників. Наприклад:

(5 ab)³ = 5³ a ³ b ³ = 125 a ³ b ³; (abху) ⁿ = aⁿbⁿхⁿуⁿ.

Зауваження. Доведені тотожності a^mаⁿ = а^{m + n} , а^m : аⁿ = а^{m - n} , (a^m) ⁿ = а^mn, (ab) ⁿ = аⁿbⁿ, які виражають властивості степеня, дозволяють не тільки замінювати вирази, що стоять у їхніх лівих частинах, виразами, що стоять у правих частинах, а й навпаки:

a^{m + n} = а^mаⁿ; a^{m - n} = а^m: аⁿ; а^mn = (a^m) ⁿ = (aⁿ) ^m; аⁿbⁿ = (ab) ⁿ.

Приклади розв’язання вправ

Приклад 1. Спростити вираз (a ² а)³ × (a ³ а ²)².

● (a ² а)³ × (a ³ а ²)² = (a ³)³ × (a ⁵)² = а ⁹ a ¹⁰ = a ¹⁹. ●

Приклад 2. Обчислити:

а) 0,3⁶ : 0,3⁴ + 0,1⁴: 0,1; б) 2,5⁵× 2⁶× 0,4⁵.

● а) 0,3⁶ : 0,3⁴ + 0,1⁴: 0,1 = 0,3² + 0,1³ = 0,09 + 0,001 = 0,091;

б) 2,5⁵× 2⁶× 0,4⁵ = (2,5⁵× 0,4⁵) × 2⁶ = (2,5× 0,4)⁵× 2⁶ = 1⁵× 2⁶ = 64. ●

Приклад 3. Подати 4¹⁸ у вигляді степеня з основою 4²; 4³; 4⁶; 4⁹.

● 4¹⁸ = 4^{2 × 9} = (4²)⁹; 4¹⁸ = (4³)⁶; 4¹⁸ = (4⁶)³; 4¹⁸ = (4⁹)². ●

Приклад 4. Подати у вигляді степеня добуток а ⁶ b ⁶.

● а ⁶ b ⁶ = (аb)⁶. ●

Усно

261. Подайте у вигляді степеня добуток:

a) b ⁴ b ³; c ³ c; 7² × 7⁵; 3¹⁰ × 3; б) a ² а ³ а ⁴; 2 × 2³ × 2⁴.

262. Подайте у вигляді степеня частку:

a) а ⁶: а ²; b ⁸: b ³; б) 7²⁰: 7¹⁷; 11⁸: 11.

263. Піднесіть до степеня:

a) (m ³)⁴; (n ¹⁰)²; (b ¹⁵)⁴; б) (pq)²; (2 b)³; (abc)⁴.

Рівень А

Подайте у вигляді степеня добуток:

264. a) a ⁵ а ²; б) b ⁴ b ⁶; в) yy ⁷;

г) x ²⁵ x ⁷³; д) 2⁸ × 2¹²; е) 0,3¹⁵ × 0,3;

є) 5³ × 5 × 5⁴; ж) 3⁴ × 3 × 3⁶ × 3; з) b ⁵ bb ² b ⁴.

265. a) m ³ m ⁶; б) y ⁷ y ⁵; в) c ⁵ c; г) b ¹⁵ b ²⁵;

д) 10⁵ × 10¹⁰; е) 2,5 × 2,5³; є) 2 × 2² × 2⁷; ж) a ² a ⁴ aa ².

Подайте у вигляді степеня частку:

266.a) х ¹⁰: х ³; б) а ¹⁵: а ⁵; в) 5²⁸: 5²¹; г) 0,1⁸: 0,1².

267. a) с ¹²: с ⁹; б) b ²⁶: b ⁸; в) 4¹⁷: 4¹⁵; г) 0,7¹⁰: 0,7⁴.

268. Подайте степінь b ¹⁵ у вигляді добутку двох степенів з основою b чотирма способами.

269.Подайте степінь х ¹² у вигляді добутку двох степенів, одним з яких є: х; х ²; х ⁴; х ⁷; х ⁹.

270. а) Подайте у вигляді степеня з основою b:(b ³)³;(b ⁴)⁵; (b ⁵)⁷; (b ²⁵)⁴.

б) Подайте у вигляді степеня з основою ab: a ³ b ³; a ⁵ b ⁵.

271. а) Подайте у вигляді степеня з основою m: (m ⁵)³; (m ²)⁷; (m ⁵)⁴.

б) Подайте у вигляді степеня з основою mn: m ² n ²; m ⁷ n ⁷.

Піднесіть до степеня:

272. а) (ab)⁵; б) (4 c)²; в) (-2 x)³; г) (-0,1 a)²;

д) (3 xy)³; е) (-2 mn)⁵; є) (mnk)⁸; ж) (4 abcd)⁴.

273. а) (st)⁷; б) (-3 b)³; в) (-2 mn)⁴; г) (5 klm)³.

Знайдіть значення виразу:

274. а) 5⁸ : 5⁵; б) 0,2⁹ : 0,2⁷; в) (-2)⁷ : (-2)⁴; г) (3²)³ : 3⁴;

д) 8⁷ : 8⁵ - 3² × 3; е) 1,5⁹ : 1,5⁸ - 0,5².

275. а) 4¹⁸ : 4¹⁵; б) 0,5⁸ : 0,5⁶; в) 3⁵ : 3² + 4⁶ : 4⁴; г) (10²)² - 5⁶ : 5³.

Рівень Б

Подайте у вигляді степеня:

276. а) 2⁴ × 16; б) 3⁷ : 27;

в) 0,5⁴ × 0,25; г) 0,001 × 0,1⁵.

277. а) 9³ × 81; б) 64 × 2³;
в) 3¹⁰ : 81; г) 1,21 × 1,1⁴.

Знайдіть значення виразу:

278. а) 2⁴ × 5⁴; б) 4³ × 25³; в) 0,5⁶ × 2⁶; г) 1,25⁵ × 2⁵ × 4⁵;

д) е) 16³: (4¹²: 8⁴);

є) (0,5¹⁸: 0,5⁶) × (2¹⁶: 2⁴); ж)

279. а) 5³ × 2³; б) 8² × 125²; в) 0,25⁹ × 2⁹ × 2⁹; г)

д) (27⁸: 9⁵) : (9⁴ × 3²); е)

280. а) Подайте z ²⁰ у вигляді степеня з основою z ²; z ⁴; z ⁵; z ¹⁰.

б) Подайте 2²⁰ у вигляді степеня з основою 4; 16; 32.

281. а) Подайте c ¹² у вигляді степеня з основою с ²; с ³; с ⁴; с ⁶.

б) Подайте 3¹² у вигляді степеня з основою 9; 27; 81.

282. Подайте у вигляді степеня з основою а:

a) a^ma ²; б) aa^k; в) (a^m)²; г) (a ³) ^k.

Спростіть вираз:

283. а) (а ³ a ⁴)⁵; б) (a ⁷ : а)³; в) (а ²)³ × (а ⁴)⁴; г) (а ⁵)⁵ : (аа ⁴)².

284. a) (a ⁵ a ⁶)²; б) (a ⁸ : a ⁵)⁵; в) (a ⁴)² × (a ²)⁴; г) (a ⁶)³ : (a ³)².

Рівень В

285. Подайте у вигляді степеня з основою а:

а) б)
в) г)

286. Доведіть, що куб натурального числа, кратного 3, ділиться на 27.

287. Що більше: 2³⁰⁰ чи 3²⁰⁰?

288. Обчисліть:

289. Доведіть, що значення виразу 43⁴³ × 42⁴³ – 33³³ × 37³³ ділиться на 5.

Вправи для повторення

290. Спростіть вираз:

а) 2 х - 3 – (3 х + 1); б) 6 а + 3 – 2(а – 2);

в) –2(b - 1) + 3(5 - 2 b) – 17; г) 5(-3 c + 5) + 4(3 – c) – 4 + 19 c.

291. Скільки одержимо числових виразів, якщо у виразі 2 х - 5 у змінній х надаватимемо значень 1, 3, 5, 7 або 9, а змінній у — значень 2, 4, 6 або 8?

292. Автомобіль проїхав деякий шлях за 1,5 год, рухаючись зі сталою швидкістю. Якби він їхав на 12 км/год швидше, то проїхав би цей шлях за 1,3 год. Який шлях проїхав автомобіль?

293. З басейну через дві труби випустили 450 м³ води за 50 хв. Щохвилини через першу трубу виливалося води в 1,25 разу більше, ніж через другу. Скільки води витекло через першу трубу?