Розв’язування задач за допомогою систем рівнянь

Ви вже розв’язували задачі за допомогою рівнянь з однією змінною. Розв’яжемо задачу, склавши систему рівнянь.

Задача.Швидкість моторного човна за течією річки дорівнює 24 км/год, а проти течії ¾ 19 км/год. Яка швидкість човна у стоячій воді та яка швидкість течії річки?

● Нехай швидкість човна у стоячій воді дорівнює х км/год, а швидкість течії річки — у км/год. Швидкість човна за течією річки (24 км/год) дорівнює сумі його швидкості у стоячій воді та швидкості течії річки, тому маємо рівняння

х + у = 24.

Швидкість човна проти течії річки (19 км/год) дорівнює різниці швидкості човна у стоячій воді та швидкості течії річки, тому

х - у = 19.

Щоб відповісти на запитання задачі, потрібно знайти такі значення х та у, які задовольняли б і перше, і друге рівняння, тобто які задовольняли б систему цих рівнянь:

Розв’язавши систему, одержимо: х = 21,5; у = 2,5.

Відповідь. Швидкість човна у стоячій воді дорівнює 21,5 км/год; швидкість течії річки — 2,5 км/год. ●

Цю задачу можна було б розв’язати, склавши рівняння з однією змінною. Однак для складання такого рівняння довелося б провести складніші міркування.

Щоб розв’язати задачу за допомогою систем рівнянь, поступають так: 1) позначають деякі дві невідомі величини буквами; 2) використовуючи умову задачі, складають два рівняння з вибраними невідомими; 3) записують систему цих рівнянь і розв’язують її; 4) відповідають на поставлені в задачі запитання.

Приклади розв’язання вправ

Приклад 1.Якщо відкрити кран теплої води на 7 хв, а потім кран холодної ¾ на 3 хв, то у ванну наллється 54 л води. Якщо ж відкрити кран теплої води на 8 хв, а потім кран холодної ¾ на 6 хв, то у ванну наллється 72 л води. Скільки літрів води наливається у ванну через кожний кран за хвилину?

● Нехай за 1 хв через перший кран (теплої води) наливається х л води, а через другий кран (холодної води) ¾ у л. Тоді за 7 хв через перший кран наллється 7 х л води, а через другий кран за 3 хв ¾ 3 у л. У результаті, за умовою задачі, у ванні буде 54 л води. Маємо рівняння:

7 х + 3 у = 54.

У другому випадку за 8 хв через перший кран наллється 8 х л води, а через другий кран за 6 хв ¾ 6 у л, що, за умовою задачі, дорівнює 72 л води. Маємо друге рівняння:

8 х + 6 у = 72.

Одержали систему рівнянь

Розв’яжемо цю систему способом додавання:

3 х = 18; х = 6.

З першого рівняння системи знаходимо у:

7 × 6 + 3 у = 54; 3 у = 12; у = 4.

Відповідь. 6 л; 4 л. ●

Рівень А

993. Мама за 2 кг помідорів і 1 кг огірків заплатила 8 грн. Якби вона купувала 1 кг помідорів і 2 кг огірків, то їй потрібно було б заплатити 7 грн. Скільки коштує 1 кг помідорів і скільки 1 кг огірків?

994.За 2 альбоми і 5 зошитів Марійка заплатила 9 грн. Скільки коштує 1 альбом і скільки 1 зошит, якщо 3 зошити дорожчі від 1 альбому на 1 грн.?

995. До магазину завезли 5 ящиків слив і 7 ящиків винограду, загальна маса яких дорівнює 89 кг. Знайдіть масу одного ящика слив і масу одного ящика винограду, якщо 1 ящик слив легший від 2 ящиків винограду на 6 кг.

996.Два автомобілі різної вантажності вивезли за перший день 50 т зерна, до того ж, перший автомобіль зробив 5 рейсів, а другий ¾ 6. За другий день автомобілі вивезли 75 т зерна, до того ж, перший зробив 10 рейсів, а другий ¾ 7. Яка вантажність кожного автомобіля?

997. Сума двох чисел дорівнює 104. Одне з них на 11 більше від іншого. Знайдіть ці числа.

998.Різниця двох чисел дорівнює 48, до того ж, одне з них у 5 разів більше від іншого. Знайдіть ці числа.

999. Група туристів вирушила в похід на 14 човнах. Частина човнів були двомісними, а частина — тримісними. Скільки було двомісних і скільки тримісних човнів, якщо група складалася із 37 туристів, й усі місця були зайняті?

1000. На теплоході є двомісні та чотиримісні каюти, в яких можна перевезти 78 пасажирів. Скільки тих та інших кают на теплоході, якщо усього їх є 25?

1001. Із двох міст, відстань між якими дорівнює 280 км, одночасно назустріч один одному виїхали два автомобілі і зустрілися через 2 год. Відомо, що до моменту зустрічі один з автомобілів проїхав на 40 км більше, ніж інший. Знайдіть швидкості автомобілів.

1002. Два робітники за 4 год виготовили 80 деталей, до того ж, другий робітник виготовив на 16 деталей більше, ніж перший. Скільки деталей виготовляв за годину кожен робітник?

Рівень Б

1003. На двох полицях стоїть 60 книжок. Коли четверту частину книжок першої полиці переставили на другу, то на другій полиці книжок стало утричі більше, ніж на першій. Скільки книжок стояло на кожній полиці спочатку?

Вказівка. Розв’язуючи задачу, використайте таблицю:

	І полиця	ІІ полиця
Було книжок	х	у	Разом 60
Стало книжок			На другій утричі більше, ніж на першій

1004.На двох гілках сиділо 25 горобців. Коли з першої гілки на другу перелетіло 5 горобців, а з другої полетіло 7 горобців, то на першій гілці їх стало удвічі більше, ніж на другій. Скільки горобців було на кожній гілці спочатку?

1005. За 3 год за течією річки і 5 год проти течії теплохід проходить 338 км,
а за 1 год проти течії і 30 хв за течією ¾ 63 км. Знайдіть швидкість теплохода у стоячій воді і швидкість течії річки.

1006. Теплохід проходить за 2 год за течією річки і 3 год проти течії 222 км. Він же за 3 год за течією річки проходить на 60 км більше, ніж за 2 год проти течії. Знайдіть швидкість теплохода у стоячій воді і швидкість течії річки.

1007. Летіли галки і побачили палки. Якщо на кожну палку сяде по дві галки, то одна палка залишиться без галок. Якщо на кожну палку сяде одна галка, то одна галка залишиться без палки. Скільки було палок і скільки летіло галок?

1008. Кінь і мул йшли поруч з важкими ношами на спинах. Кінь скаржився, що його ноша дуже важка. «Чого ти скаржишся?», — відповів йому мул. — «Адже якщо я візьму у тебе один мішок, то моя ноша стане вдвічі важчою від твоєї. А ось якби ти забрав з моєї спини один мішок, то твоя ноша стала б однаковою з моєю». Скільки мішків ніс кінь і скільки мул?

1009. Мале підприємство має на двох рахунках у банку 24 тис. грн. Скільки грошей є на кожному рахунку, якщо 35% грошей на одному з них дорівнює 85% на іншому?

1010. На двох складах було 102 т цукру. Коли з першого складу забрали 15% цукру, то на ньому все ж залишилося на 9 т цукру більше, ніж на другому. Скільки цукру було на кожному складі спочатку?

1011. Сума цифр двоцифрового числа дорівнює 8. Якщо цифри числа переставити місцями, то одержимо число, яке менше від даного на 18. Знайдіть це число.

1012. З пункту А в пункт В, відстань між якими дорівнює 41 км, вийшов турист. Через 1 год назустріч йому з пункту В вийшов інший турист. Через 2 год після виходу другого туриста відстань між ними була 18 км, а ще через 2 год вони зустрілися. Знайдіть швидкості туристів.

Вказівка. Розв’язуючи задачу, використайте схеми:

1013. З пунктів A і B, відстань між якими дорівнює 240 км, вирушають одночасно два автомобілі. Якщо автомобілі рухатимуться назустріч один одному, то зустрінуться через 2 год. Якщо ж вони їхатимуть в одному напрямку, то автомобіль, що виїхав з пункту B, наздожене автомобіль, який виїхав з пункту A, через 12 год. Знайдіть швидкість кожного автомобіля.

Рівень В

1014. Різниця першого числа і другого дорівнює 4. Перше число, зменшене на його частину, у сумі з другим числом, збільшеним на його частину, дає 102. Знайдіть ці числа.

1015. У першій посудині є 25 л води, а в другій ¾ 45 л. Якщо першу посудину долити доверху водою із другої посудини, то друга посудина буде наповнена лише на третину. Якщо ж другу посудину долити доверху водою з першої, то перша посудина буде наповнена водою лише на одну п’яту. Знайдіть місткість кожної посудини.

1016. Банк купив 100 акцій підприємства А і 200 акцій підприємства В на загальну суму 50 000 грн. Коли ціна акцій підприємства А зросла на 25%, а ціна акцій підприємства В упала на 10%, то банк продав усі акції за 52 000 грн. Яка початкова ціна акції кожного підприємства?

1017. Антикварний магазин купив два предмети на загальну суму 360 грн. Продавши їх, магазин одержав 25% прибутку. За скільки був проданий кожний предмет, якщо на перший була націнка 50%, а на другий ¾ 12,5%?

1018. Сума цифр двоцифрового числа дорівнює 12. Якщо до цього числа додати 36, то отримаємо число, записане тими самими цифрами, але у зворотному порядку. Знайдіть це число.

1019. З пункту А в пункт В одночасно виїхали два мотоциклісти. Коли через 1,5 год перший мотоцикліст прибув у пункт В, другому до пункту В залишалося проїхати ще 9 км. Не затримуючись у пункті В, перший мотоцикліст вирушив у зворотний шлях і через 5 хв зустрів другого мотоцикліста. Знайдіть швидкості мотоциклістів і відстань між пунктами.

1020. Шлях між пунктами А і В пролягає спочатку по шосе, а потім — ґрунтовою дорогою. Рухаючись по шосе зі швидкістю 60 км/год, а ґрунтовою дорогою — зі швидкістю 45 км/год, автомобіль проїхав шлях від А до В за 1,5 год. На зворотному шляху автомобіль підвищив швидкість на ґрунтовій дорозі на 3 км/год, а на шосе знизив швидкість на 4 км/год і проїхав шлях від В до А знову ж таки за 1,5 год. Знайдіть довжину шосе і довжину ґрунтової дороги.

1021. Моторний човен пройшов за течією річки від пристані А до пристані В, а потім проти течії від В повз А до пристані С і затратив на весь цей шлях 9 год 20 хв. Після цього човен за 9 год пройшов шлях від С до В і від В до А. Знайдіть відстань між пристанями А і С, якщо швидкість човна у стоячій воді дорівнює 10 км/год, а швидкість течії річки — 2 км/год.

Вправи для повторення

1022. Спростіть вираз:

а) (m + 2 n)(2 m - n)+ 2 n ²; б) a ²(b + 5 a) + (a - 2 b)(2 b - 5 a ²).

1023. Розкладіть на множники:

а) a + 3 ab - с - 3 bс; б) x ² - y ² + 2( x + y);

в) а ² - 4 b ² + а - 2 b; г) c ² - 3 ac + 2 a ².

1024. Доведіть, що значення виразу ділиться на дане число:

а) 725³ - 375³ на 350; б) 72³ + 88³ на 80.

1025. Доведіть, що сума квадратів трьох послідовних цілих чисел при діленні на 3 дає в остачі 2.

1026*. Доведіть, що не існує чисел х та у, для яких виконувалася б рівність: х ² - 4 х + у ² - 4 у + 9 = 0.

1027. Побудуйте графік функції та знайдіть координати точок його перетину з осями координат.

Цікаво знати

У книзі «Геометрія», виданій 1637 року, відомий французький математик Рене Декарт (1596-1650) запропонував новий метод математичних
досліджень — метод координат. Суть цього методу полягає в тому, що кожній геометричній фігурі на координатній площині ставиться у відповідність рівняння чи нерівність, які задовольняють координати кожної точки фігури і тільки вони. Так, кожній прямій ставиться у відповідність рівняння цієї прямої виду aх + by = c. Якщо, наприклад, потрібно довести, що деякі дві прямі є паралельними, то досить записати рівняння обох прямих і довести, що система цих рівнянь не має розв’язку. Як бачимо, геометрична задача завдяки методу координат зводиться до алгебраїчної задачі. Таке нововведення Декарта дало початок новій геометрії, яку зараз називають аналітичною геометрією.

Рене Декарт народився в департаменті Турень (Франція) в сім’ї дворян. Після здобуття освіти служив офіцером в армії Моріса Оранського, брав участь у Тридцятирічній війні. Завершивши військову службу, Декарт поїхав у Голландію, де написав більшу частину своїх наукових робіт і завоював славу великого вченого. Декарт зробив ряд відкриттів, які стали поворотними пунктами в усій математиці. Він увів поняття змінної величини і функції, прямокутної системи координат, яку ми на його честь називаємо ще прямокутною декартовою системою координат.

Рене Декарт (1596-1650), французький філософ і математик. Розробив метод координат, створив основи аналітичної геометрії

З рівняннями з кількома змінними пов’язана одна з найвідоміших математичних теорем, про яку тривалий час точаться розмови й у середовищі, далекому від математики. Йдеться про Велику теорему Ферма. Ця теорема стверджує, що рівняння із трьома змінними виду хⁿ + yⁿ = zⁿ не має розв’язків у цілих числах, якщо показник степеня n > 2.

Як виявилося, у цьому простому, на перший погляд, математичному твердженні криється надзвичайна складність. Причина ж величезного ажіотажу, що розгорівся довкола теореми П’єра Ферма, така.

1636 року в книзі Діофанта Олександрійського (III ст.) «Арифметика», яку Ферма частенько студіював, роблячи помітки на її широких полях, і яку зберіг для потомків його син, був зроблений запис, що він, Ферма, має доведення теореми, але воно доволі велике, щоб його можна було розмістити на полях. Відтоді розпочався пошук доведення, адже в інших матеріалах Ферма його так і не виявили. Хто тільки не намагався довести теорему. Кожний свіжо спечений математик вважав своїм обов’язком докластися до Великої теореми, але зусилля виявлялися марними. За доведення бралися й найвідоміші математики XVII–XX століть. Ейлер довів теорему для степенів n = 3 і n = 4, Лежандр — для n = 5, Діріхле — для n = 7. У загальному ж вигляді теорема залишалась недоведеною.

П’єр Ферма (1601–1665), французький математик, зробив значний внесок у розвиток теорії чисел. Разом з Рене Декартом є основоположником аналітичної геометрії

На початку XX ст. (1907) заможний німецький любитель математики Вольфскель заповідав сто тисяч марок тому, хто запропонує повне доведення теореми Ферма. Через деякий час з’явилися доведення для показника степеня n < 100, потім для n < 619. Багатьом математикам здавалося, що вони знайшли доведення, але згодом в цих «доведеннях» знаходили помилки.

Були й спроби заперечити Велику теорему шляхом пошуку хоча б одного розв’язку рівняння хⁿ + yⁿ = zⁿ для n > 2. Проте навіть перебір цілих чисел з використанням комп’ютерів не давав результату — для яких би значень n теорему не перевіряли, вона завжди виявлялась правильною.

Лише у 1995 році англійському професорові математики з Прінстонского університету (США) Ендрю Вайлзу вдалося довести Велику теорему.
Доведення було надруковане в одному з провідних математичних журналів і зайняло увесь номер — понад сто аркушів.

Таким чином, лише у конці ХХ ст. увесь світ визнав, що на 360 році свого життя Велика теорема Ферма, яка насправді весь цей час була гіпотезою, стала-таки доведеною теоремою.

До свого тріумфу Вайлз ішов понад тридцять років. Про теорему Ферма випадково дізнався у десятирічному віці й відтоді заповітна мрія довести її не залишала Ендрю на жодну мить. На щастя, у нього вистачило здорового глузду, аби не піти шляхом тисяч упертих ентузіастів, які настирливо намагалися розв’язати проблему елементарними засобами. Лише через двадцять років, уже маючи докторський ступінь і обійнявши посаду професора математики в Прінстоні, Вайлз вирішив відкласти всі справи й узятися за втілення своєї мрії. Йому вдалося довести Велику теорему Ферма і тим самим розв’язати чи не найпопулярнішу математичну головоломку останніх століть.

Запитання і вправи для повторення § 7

1. Яке рівняння називають лінійним рівнянням із двома змінними? Наведіть приклад такого рівняння.

2. Що називають розв’язком рівняння із двома змінними? Чи є пара чисел (4; 1) розв’язком рівняння х - 2 у = 2?

3. Що є графіком рівняння aх + by = c, у якому хоча б один з коефіцієнтів а або b відмінний від нуля?

4. Що називають розв’язком системи рівнянь із двома змінними?

5. Що означає розв’язати систему рівнянь?

6. Скільки розв’язків може мати система двох лінійних рівнянь із двома змінними?

7. Як розв’язують систему двох лінійних рівнянь із двома змінними графічним способом?

8. Як розв’язують систему двох лінійних рівнянь із двома змінними способом підстановки?

9. Як розв’язують систему двох лінійних рівнянь із двома змінними способом додавання?

1028. Які з пар чисел (3; 3), (-1; -2), (7; 6), (1; 0,5) є розв’язками рівняння
5 x - 4 y = 3?

1029. Знайдіть два які-небудь розв’язки рівняння:

а) -2 x + 4 y = 8; б) x + 3 y = -2.

1030. Складіть лінійне рівняння, розв’язком якого є пара чисел:

а) х = 4, y = 3; б) (-2, 4).

1031. З рівняння 4 x - y = 6 виразіть:

а) змінну х через змінну y; б) змінну y через змінну x.

1032. Побудуйте графік рівняння:

а) x - 2 y = 4; б) 4 x + y = -4; в) 3 x - 2 y = 6.

1033. Чи є пара чисел (-2; 3) розв’язком системи рівнянь

1034. Розв’яжіть графічно систему рівнянь:

а) б)

1035. Розв’яжіть систему рівнянь способом підстановки:

а) б) в)

1036. Розв’яжіть систему рівнянь способом додавання:

а) б) в)

1037. Не виконуючи побудов, знайдіть координати точки перетину графіків рівнянь 2 х - 3 у = 1 і х + 3 у = 5.

1038. Розв’яжіть систему рівнянь:

а) б)

в) г)

д) е)

1039*. Розв’яжіть систему рівнянь:

1040. Відомо, що 5 тонких i 3 товстих зошити коштують 5 грн. 60 к., а 4 тонких i 2 товстих зошити ¾ 4 грн. Скільки коштує один тонкий зошит і скільки — товстий?

1041. В Андрія є 20 монет по 10 к. і 25 к., усього на суму 3 грн. 80 к. Скільки монет по 10 к. і скільки по 25 к. має Андрій?

1042. У пекарні було 18 мішків борошна першого ґатунку і 12 мішків борошна другого ґатунку, загальна маса яких дорівнює 1248 кг. Коли використали 4 мішки борошна першого ґатунку і 6 мішків борошна другого ґатунку, то залишилося 824 кг борошна. Яка маса мішка борошна кожного ґатунку?

1043. Сума двох чисел дорівнює 4,5. Знайдіть ці числа, якщо половина одного з них дорівнює 75% іншого.

1044. З міст А і В, відстань між якими дорівнює 110 км, о 9 год 15 хв виїхали назустріч один одному два автобуси й рухалися з однаковою швидкістю. О 9 год 30 хв з міста А до міста В виїхав легковий автомобіль, який о 10 год зустрів автобус, що їхав до міста А, а о 10 год 30 хв наздогнав автобус, що їхав до міста В. Знайдіть швидкості автобусів і автомобіля.

1045*. З міста А до міста В о 10 год виїхав автобус, а з міста В до міста А о 10 год 25 хв ¾ автомобіль. До моменту зустрічі об 11 год 20 хв автомобіль проїхав на 8 км менше, ніж автобус. Знайдіть швидкості автобуса й автомобіля, якщо до міста А автомобіль приїхав о 12 год 20 хв.

Вказівка. Розв’язуючи задачу, використайте схему:

1046*. Володя за 3 товстих i 5 тонких зошитів заплатив 5 грн. 60 к., а Сергій за 2 товстих i 4 тонких зошити ¾ 4 грн. Олег купив тільки товсті зошити. Для розрахунку 5 грн. було замало, і він дав продавцеві 7 грн. Скільки грошей одержав Олег на здачу?

Вказівка. Встановіть, що ціна товстого зошита 1 грн. 20 к. Олег купив більше, ніж чотири таких зошити, бо заплатив більше, ніж 5 грн., однак менше, ніж шість зошитів, бо для розрахунку вистачило 7 грн. Отже, він купив 5 товстих зошитів.

Завдання для самоперевірки № 7

Рівень

1. Вкажіть розв’язки рівняння х - у = 2:

а) (3; 2); б) (3; 1); в) (5; 2); г) (-3; -2).

2. Яка з пар чисел є розв’язком системи рівнянь

а) (3; 3); б) (2; 2); в) (2; 1); г) (-1; 5).

3. Розв’яжіть систему рівнянь способом підстановки та вкажіть правильну відповідь:

а) (1; 1); б) (0; 2); в) (2; 0); г) (4; -2).

4. Розв’яжіть систему рівнянь способом додавання та вкажіть правильну відповідь:

а) (-2; 8); б) (-4; 10); в) (4; 2); г) (2; 4).

5. Сума двох чисел дорівнює 21, до того ж, одне з них на 5 більше від
іншого. Знайдіть ці числа.

Нехай більше число дорівнює х, а менше ¾ у. Яка система рівнянь відповідає умові задачі?

а) б) в) г)

Рівень

1. Доберіть замість зірочок такі числа, щоб пари (3; *) і (*; 2) були розв’язками рівняння5 х - 2 у = 9.

2. Розв’яжіть графічно систему рівнянь

3. Розв’яжіть систему рівнянь способом підстановки.

4. Розв’яжіть систему рівнянь способом додавання.

5. У магазині борошно продають у малій та великій упаковках. Загальна маса малої та великої упаковок борошна дорівнює 7 кг, а 2 малі й 3 великі упаковки мають загальну масу 19 кг. Яка маса малої упаковки борошна і яка великої?

Рівень

1. Знайдіть таке число а, щоб графік рівняння2 х - ау = 2 проходив через точку (-1; 2).

2. Розв’яжіть графічно систему рівнянь

3. Розв’яжіть систему рівнянь способом додавання.

4. Розв’яжіть систему рівнянь

5. За цукерки і печиво мама заплатила 15 грн. Відомо, що 25% вартості цукерок менші, ніж третина вартості печива, на 1 грн. 50 к. Скільки гривень мама заплатила за цукерки і скільки за печиво?

Рівень

1. Знайдіть такі числа а і b, щоб графік рівняння2 ах - (b + 2) у = 2 проходив через точки (-1; 4) і (2; 2).

2. Розв’яжіть графічно систему рівнянь

3. Розв’яжіть систему рівнянь

4. Для якого значення коефіцієнта а система рівнянь має безліч розв’язків?

5. Є сталь двох сортів із вмістом нікелю 5% і 40%. Скільки сталі кожного сорту потрібно взяти, щоб після переплавки одержати 70 т сталі, яка містила б 30% нікелю?