Відомості з курсу математики 5–6 класів

Подільність натуральних чисел

1. Будь-яке натуральне число а, на яке ділиться дане натуральне число n, називають дільником числа n.

2. Будь-яке натуральне число n, яке ділиться на дане натуральне число a, називають кратним числу a.

Число 12	дільники: 1; 2; 3; 4; 6; 12.
кратні: 12; 24; 36; 48;...

3. Натуральне число називають простим, якщо воно має тільки два різних дільники: одиницю і це саме число.

4. Число, яке має більше ніж два дільники, називають складеним.

5. Кожне складене число можна записати у вигляді добутку кількох простих чисел, тобто розкласти його на прості множники.

Наприклад: 120 = 2³ · 3 · 5.

6. На 10 діляться ті й тільки ті натуральні числа, запис яких закінчується цифрою 0.

7. На 5 діляться ті й тільки ті натуральні числа, запис яких закінчується цифрами 0 або 5.

8. На 2 діляться ті й тільки ті натуральні числа, запис яких закінчується парною цифрою.

9. На 3 діляться ті й тільки ті натуральні числа, сума цифр яких ділиться на 3.

10. На 9 діляться ті й тільки ті натуральні числа, сума цифр яких ділиться на 9.

Найбільший спільний дільник

11. Найбільше натуральне число, на яке ділиться кожне з даних чисел, називають найбільшим спільним дільником цих чисел.

Для знаходження найбільшого спільного дільника двох чисел можна розкласти ці числа на прості множники і знайти добуток спільних множників.

Наприклад: 144 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3; 60 = 2 · 2 · 3 · 5;

НСД(144; 66) = 2 · 2 · 3 = 12.

Найменше спільне кратне

12. Найменшим спільним кратним натуральних чисел називають найменше натуральне число, яке ділиться на кожне з даних чисел.

Щоб знайти найменше спільне кратне двох чисел, кожне з них можна розкласти на прості множники, до розкладу одного з чисел дописати з розкладу іншого числа ті множники, яких немає у розкладі першого, і перемножити записані числа.

Наприклад: 144 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3; 60 = 2 · 2 · 3 · 5;

НСК(144; 60) = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 = 720.

Десяткові дроби

13. Додавання і віднімання десяткових дробів виконують порозрядно. Для цього дроби записують так, щоб відповідні розрядні одиниці й коми були одні під одними.

Наприклад: ; .

14. Щоб помножити один десятковий дріб на інший, потрібно виконати множення, не зважаючи на коми, а потім у добутку відокремити комою стільки десяткових знаків, скільки їх є в обох множниках разом.

Щоб поділити десятковий дріб на десятковий дріб, потрібно в діленому і дільнику перенести коми праворуч на стільки цифр, скільки десяткових знаків має дільник, а потім виконати ділення на натуральне число.

Наприклад: ; = 3,6.

Окремі випадки множення і ділення десяткових дробів:

Звичайні дроби

15. Основна властивість дробу. Якщо чисельник і знаменник звичайного дробу помножити або поділити на одне й те ж натуральне число, то отримаємо дріб, який дорівнює даному.

Наприклад: .

16. Щоб звести дроби до найменшого спільного знаменника, потрібно:

1) знайти найменше спільне кратне знаменників;

2) знайти додаткові множники, поділивши найменше спільне кратне на кожний знаменник;

3) чисельник і знаменник кожного дробу помножити на відповідний додатковий множник.

Наприклад: зведемо до найменшого спільного знаменника дроби , і :

1) НСК(4; 12; 16) = 48;

2) додаткові множники: 48: 4 = 12; 48: 12 = 4; 48: 16 = 3;

3) ; ; .

17. Щоб додати дроби з однаковими знаменниками, потрібно до чисельника першого дробу додати чисельник другого й записати в чисельнику, а знаменник записати той самий.

Щоб відняти дроби з однаковими знаменниками, потрібно від чисельника першого дробу відняти чисельник другого й записати в чисельнику, а знаменник записати той самий.

Наприклад: ; ; .

Щоб додати або відняти дроби з різними знаменниками, потрібно їх спочатку звести до спільного знаменника.

18. Щоб перемножити два звичайні дроби, потрібно перемножити їх чисельники і добуток записати в чисельнику, перемножити їх знаменники і добуток записати в знаменнику.

Щоб поділити один дріб на інший, досить ділене помножити на число, обернене дільнику.

Наприклад: ; .

19. Щоб звичайний дріб записати десятковим, досить чисельник дробу поділити на його знаменник.

Наприклад: .

20. Щоб знайти дріб від числа, потрібно число помножити на цей дріб.

Наприклад: знайдемо від 45: ;

30% від 140 — це 0,3 від 140: 140 · 0,3 = 42.

Щоб знайти число за даним значенням його дробу, потрібно це значення поділити на дріб.

Наприклад: знайдемо число, якого дорівнює 40:

;

знайдемо число, 17% якого дорівнює 51: 17% = 0,17; 51: 0,17 = 300.

21. Щоб знайти відсоткове відношення двох чисел, потрібно знайти їх відношення і записати у відсотках.

Наприклад: знайдемо відсоткове відношення чисел 12 і 28:

.

Додатні та від’ємні числа

22. Модулем додатного числа і нуля є це ж число; модулем від’ємного числа є протилежне йому число:

Наприклад: |5,3| = 5,3; |0| = 0; |–1,8| = 1,8.

23. Щоб додати два від’ємних числа, потрібно додати їх модулі й поставити перед отриманим числом знак «–».

Щоб додати два числа з різними знаками, потрібно знайти модулі чисел, від більшого модуля відняти менший модуль і поставити перед отриманим числом знак того доданка, модуль якого більший.

Наприклад:

–1,6 + (–2,3) = –3,9; –0,7 + 0,7 = 0; 3,2 + (–4,7) = –(4,7 – 3,2) = –1,5.

24. Щоб від одного числа відняти інше, досить до зменшуваного додати число, протилежне від’ємнику.

Наприклад: –15 – (–9) = –15 + 9 = –6.

25. Щоб знайти добуток двох від’ємних чисел, досить перемножити модулі цих чисел.

Щоб знайти добуток двох чисел з різними знаками, досить перемножити їх модулі і поставити перед одержаним числом знак «–».

Наприклад: (–1,1) · (–0,9) = 1,1 · 0,9 = 0,99;

26. Щоб знайти частку двох від’ємних чисел, досить поділити модуль діленого на модуль дільника.

Щоб знайти частку чисел з різними знаками, досить поділити модуль діленого на модуль дільника і поставити перед одержаним числом знак «–».

Наприклад: –105: (–21) = 105: 21 = 5;

27. Щоб розкрити дужки, перед якими стоїть знак «+», потрібно опустити дужки і знак «+», що стоїть перед ними, і записати всі доданки, які були в дужках, зі своїми знаками:

a + (– b + c) = a – b + c.

Щоб розкрити дужки, перед якими стоїть знак «–», потрібно опустити дужки і знак «–», що стоїть перед ними, і записати всі доданки, які були в дужках, з протилежними знаками:

a – (b – c) = a – (+ b – c) = a – b + c.

28. Щоб звести подібні доданки, потрібно додати їх коефіцієнти і результат помножити на спільну буквену частину.

Наприклад: 7 a – 9 a + 4 a = (7 – 9 + 4) a = 2 a.

ВІДПОВІДІ

§ 1

15. a = -3. 16. a = 23. 17. Вказівка. Обґрунтуйте, що для х = 2 значення лівої частини рівняння є непарним числом. 20. 375 грн. 21. 148 т. 32. а) 16; б) 1,125; в) г) 33. а) 0,2; б) 34. а) –1; б) 35. а) б) 6. 36. а) –3; –2; –1; б) 0; 1; 2; 3; 39. а) 54 080 жителів; б) 50 000 жителів. 48. а) 2; б) -35; в) -10,2; г) 4. 49. а) 2; б) 0,7; в) -0,1; г) 6. 50. а) 5; б) 2,5; в) 2,5; г) 3,5; д) -4; е) коренів немає. 51. 0. 52. 4. 53. 3. 54. а) 1; б) 5; в) -2; г) коренем рівняння є будь-яке число. 55. а) б) в) г) 0. 56. а) 10; б) -1; в) -8; г) 57. г) –2; 9; д) 2,5; 5; е) . 58. а) –4; 4; б) –2; 2; в) коренів немає. 59. а) –4; 4; б) –5; 11; в) коренів немає; г) 7; д) –3; 3; е) –16; 16. 60. а) 1; б) 61. а) 8; 12; б) -6; -2; в) -1; 1; г) -0,5; 1,5. 62. а) 5; б) –3; 2; в) 4; г) коренів немає; д) коренем рівняння є будь-яке недодатне число; е) коренем рівняння є будь-яке невід’ємне число. 63. а) 0; б) коренів немає; в) коренів немає. 64. 19. 69. 30 яблук. 70. 40 кг; 28 кг. 71. 18 і 15 комп’ютерів. 72. 784 га; 224 га. 73. 36 і 12 років. 74. 16 і 20 деталей. 75. 300 сторінок. 76. 90 км. 77. а) 9 см; 6 см; 10 см; б) 10,5 см; 5,5 см; 9 см. 78. Олег — 2 грн.; Сергій — 6 грн.; Віталій — 4 грн. 79. 130 кг; 150 кг; 180 кг. 80. 52,5 кг; 45 кг; 37,5 кг. 81. 20 км/год; 16 км/год; 12 км. 82. 66 і 54 яблук. 83. 400 км. 84. 200 км. 85. 30 км. 86. 21 км/год. 87. 40 км. 88. 56 км/год; 60 км/год. 89. 56, 14 і 11 років. 90. 60 і 35 книжок. 91. 80 семи-
класників. 92. 90 деталей. 93. 350 грн. 94. 10 хв; 40 хв. 95. 28 учнів. 96. 8 ц, 2 ц. 97. 40 л; 30 л. 98. 500 г. 99. 38 т. 102. 34. 105. 30 способами. 109. в) 2; г) 5; д) -2,6; е) 4. 110. а) 5; б) -1. 111. а) коренів немає; б) -2; 2. 112. а) 0; 4; б) -2; 1. 113. а) 7;
б) –0,6. 114. а = 0. 115. Не існує. 116. 108 см². 117. 8 см; 12 см; 10 см. 118. 70 га. 119. 15 км. 120. 1,2 год. 121. 3 кг; 7 кг. 122. 40 л.

Завдання для самоперевірки № 1

1-й рівень. 1. в). 2. б). 3. а); г). 4. б). 5. в). 2-й рівень. 2. а) Один; б) коренів немає; в) один; г) безліч. 3. а) 1; б) 4. 5 км/год. 3-й рівень. 1. Ні. 2. а) б) 14. 3. 51 м; 30 м. 4. 5 год. 4-й рівень. 2. а) б) –2; 2. 3. 300 м. 4. 1,5 кг.

§ 2

138. 2400 кг. 139. 160 деталей. 142. а) 22,45; б) 530. 143. а) б) 4,6. 146. х = 2,5. 147. х = –7. 148. х = 2. 161. 120; 5040; 2 нулями; 24 нулями. 164. 23 числа. 166. а) 17,6 кг; б) 25 кг. 179. а) 44 а + 40; б) 8,5 b - 4 a; в) -6 у + 4; г) -2 х - 23 у - 6. 180. а) 2 х - 11 z; б) -14 а + 15 b - 3. 181. а) -6,9; б) -11; в) 28. 182. а) -4; б) 27. 192. а) 28 с + 26; б) х - 4,5; в) -6 х + 2 у + 3 z; г) 4 а - b; д) -6 х + 18; е) 15 n - 20. 193. а) 6 а + 12; б) 1,5 а - 5,4 b; в) 12 n + 18; г) х - у + 196. а) 1; б) 2. 197. а) –3; б) 0,5. 209. а) –5; 5; б) –7; –3; в) –3. 210. -15; 5; 20. 211. 60 км/год. 212. 218. а) 35 - 54 а; б) 5 х - 10; в) х - 4 у - 9; г) 7 b + 5; д) -0,1 х + 2 у -1,2; е) 2,5 а + 15. 219. а) -47; б) 0,1. 220. 13. 221. х = 1,8.

Завдання для самоперевірки № 2

1-й рівень. 1. г). 2. б). 3. б). 4. в). 5. в). 2-й рівень. 1. 2 а – b. 2. 13 а + 8,2.
3. –2,5 х + 2,75; 0,75. 3-й рівень. 1. 6 а – 2. 2. 8,24. 3. 4 а – 3 b. 4-й рівень. 1.
2. 8 а – 17.

§ 3

249. 11; 1; 1; 5; 31. 250. -5; 0; 22. 254. а) 0; 100; 0; б) 0; 99; -1; в) 0; 1; 1; г) 0; 1; 1. 258. в) 2; г) -35. 259. 7 матчів виграла, 2 зіграла внічию. 260. -5; -10; -9. 278. а) 10 000; б) 1 000 000; в) 1; г) 100 000; д) е) 1; є) 1; ж) 279. а) 1000; б) 1 000 000; в) 1; д) 81; е) 282. а) а^{m + 2}. 283. а) а ³⁵; б) а ¹⁸; г) а ¹⁵. 284. б) а ¹⁵; г) а ¹². 290. г) 33. 291. 20 виразів. 292. 117 км. 293. 250 м³. 306. а) -1,25 а ⁷ b ⁵; б) 0,27 а ⁶ b ⁵; в) - x ⁵ y ⁸; г) 16 а ⁶ b ¹²; д) -0,5 m ¹⁰ n ⁸; е) 1,1 а ⁷ b ⁷ с ⁷. 307. а) -25 m ⁴ n ³; б) -0,1 p ⁵ q ³; в) -9 а ¹² b ⁵; г) -1,5 x ⁹ y ⁵ z ⁶. 312. а) 12; б) 4; в) 64; г) -24. 313. а) 400 000; б) 1; в) -32. 314. а) -10; б) 256. 315. а) 16 x ⁴⁸; б) 2 x ^{22 n} ; в) 8 а ^{4 n + 2} b ^{4 n + 2}; г) - х ^{8 n + 5}. 316. а) 1; б) 0,16. 317. У 8 разів. 318. а) 2; б) –1. 320. 1000 грн. 321. 855 км. 331. а) -2 а ⁵ b; б) a ³ b ³; в) - x ⁴ y ²; г) -112 a ⁷ b ⁴; д) -10 х ⁶ z ⁵; е) 81 a ¹² b ¹⁶ с ²⁰ d ⁴; є) -0,2 a ⁵ b ⁵; ж) -10 х ³ у ⁵; з) -256 m ⁸ n ²¹. 333. а) 27; б) -320. 334. в) 1; г) 256. 337. а) 0; б) коренів немає; в) 0.

Завдання для самоперевірки № 3

1-й рівень. 1. в). 2. б). 3. г). 4. в). 5. г). 2-й рівень. 1. а) х ⁸; б) х ⁵; в) х ¹⁵; г) х ²⁴. 2. а) 44; б) 80; в) 1000. 3. а) 6 а ⁵; б) -1,5 а ⁵ b ⁵; в) 16 а ⁴ с ¹². 4. а) 1; б) 20 000. 3-й рівень. 1. а) 6³⁶; б) 3⁴⁶; в) 2²⁴. 2. а) 36 х ⁸ у ⁸; б) 63 a ⁸ b ¹² с ¹²; в) –0,0016 m ⁴⁷ n ⁶⁰; г) 6,25 a ¹¹ х ¹¹. 3. а) Наприклад, 2 a ² b ² × 4 a ¹⁰ b ¹⁰ × 8 b ⁶; б) (–4 a ⁵ b ⁸) × (–16 a ⁷ b ¹⁰); в) (4 a ⁴ b ⁶)³. 4. а) 256; б) 32. 4-й рівень. 1. а) 2^{4 n + 10}; б) 2^{9 n + 22}. 2. а) 1; б) 9. 3. 4. 4. а) 0; б) Коренів немає.

§ 4

346. а) 12; б) 2,21; в) -18. 347. а) 28; б) 0. 350. а) -0,44; б) -10. 351. а) 168; б) 2. 356. Вказівка. Припустимо, що коли x = n, де n — ціле число, то значення многочлена дорівнює нулю. Тоді правильною є рівність n ⁵ – 6 n ² + 1 = 0. Обґрунтуйте, виходячи з цієї рівності, що 1 має ділитися на n, звідки n = 1 або n = –1. Однак, якщо n = 1 або n = –1, то дана рівність є неправильною. 359. а) -2; б) -0,6; в) 0,5; г) 0,75. 360. 18,4 км/год. 372. а) 0,8; б) -2. 373. а) 0,5; б) -0,8. 374. а) а ² b ³; б) - х ⁴ - 2 х - 11; в) 2 xy - 2 х ²; г) -5 a ² - 5 b - 3. 375. а) - х ² - 5 х; б) 8 ab + 4 b ²; в) - n ² + 7 n. 376. а) P = -3 х ² - х + 3; б) Р = х ² + 2; в) Р = 3 х ². 377. -2 х ² + 2 х + 6. 378. а) 2; б) -1,75. 379. а) -1,2; б) 2. 382. Порівну. 383. а = –1, b = 1. 387. 400 г. 391. б) -10 а ² - 8 а; в) 2 а ⁵- а ³; г) -12 х ³ - 2 х. 392. а) -3 а ³; б) 4 b ³ - 4 b + 1. 393. а) 2 а ²; б) -2 у ²; в) -3 m - 6; г) 0. 394. а) с ³; б) -5 х ³ - 15 х ²; в) 4 а ²; г) 0. 395. а) -1; б) 2,5; в) -0,75; г) 6. 396. а) 1; б) 2,4. 397. а) -2 а ² - 8 а + 8; б) 15 х ⁶ - 18 х ⁴; в) -8 m ⁴ n ³ + 8 m ⁴ n ²; г) -2 х ² + x; д) 11 аbc; е) -18 х ⁵ у ². 398. а) 2 а ³; б) -4 ху ² + 2 х; в) -8 m ³ n ⁵; г) а ² b ² - 4 а ⁴. 405. а) 5; б) 0,7; в) 3; г) 2. 406. а) -15; б) 2; в) 1; г) 1,5. 407. а) -1; б) 4. 408. а) 0; б) 3. 409. 1,5; 8,5. 410. 60 см². 411. 200 м². 412. а) 0; б) - аⁿ; в) х ^{3 n + 4} + х ^{3 n + 2}. 415. Хлопців на 5 більше, ніж дівчат. 416. л. Вказівка. Після першого відливання і доливання води в 1 л суміші міститься л спирту. 417. 90 км. 418. 180 км. 419. 60 піратів. 427. а) 6 а ² - 4; б) -12; в) -15; г) а ³ + а; д) а ² - 3 b ²; е) -4 y ². 428. а) 7 х + 6; б) 3 а ²; в) 5 ab - 8 b ²; г) 2 m ² -15 n ². 429. а) 5; б) 0,6. 430. а) 4; б) 1. 435. а) 12 а ² - 10; б) 45 х – 4; в) 5 а; г) 7 b ³; д) 14 х ⁴ у ². 436. а) 18 х ² - 15; б) -35 b + 10; в) х ³ + 9 у ³; г) 2 ab. 437. а) 1,8; б) 2; в) -1; г) 2. 438. а) б) 4; в) коренем є будь-яке число. 446. 3; 4; 5. 447. 9 см; 5 см. 448. 8 см; 4 см. 449. 0. 450. а) аⁿ + bⁿ; б) 2 ^{n + 3} + 5. 455. 223. 456. 50 коп. 457. 3 км/год. 458. 25,2 км. 474. а) 6,25; б) 103. 475. а) 1,96; б) 28. 476. а) 0; 5; б) 0; -3. 477. а) 0; -2; б) 0; 2. 478. а) ab ³(a + b - ab); б) 12 x ⁴ y ³(3 - 4 х ² y); в) 8 а ² b ²(3 b - 2 ab - 5 a); г) -0,6 m ⁴ n ⁵(5 n - 2 m + 7 mn); д) x ² y ³ z ²(xy - 2 z + 7 xz ²); е) аbc (c + 2 b - 4 a). 479. а) 2 x ⁴ z ³(1 + 2 z - 2 z ²); б) 15 a ² b ²(3 a ² - 4 ab + 5 b ²); в) -1,8 m ² n ⁴(2 n - 3 m + 5); г) x ³ y ³ z ⁴(2 x ² - y ²+ 4 z). 480. а) (m + k)(a - b); г) (a - b)(m - 3); е) (x - 2)(x + 2); є) (a - b)(2 х - a + b); ж) 2 х (a + b)(2 + a + b). 481. а) (x - k)(m - n); в) (s - t)(a - b); г) (a - b)(2 + x); д) (m - 4)(m - 9); е) (m - n)(х + 2 m - 2 n). 482. а) 0,5; б) 483. а) 5; б) 0. 484. а) 0; -20; б) 0; 0,4; в) 0; . 485. а) 0; 0,2; б) 0; -0,2; в) 0; 492. 12 см; 10 см; 5 см. 493. 350 км. 496. а) 26,3; б) 1; в) 498. є) (1- 2 n)(a - b); ж) (у - 1)(4 а - 3). 499. г) (с + b)(6 - a); д) (х + у)(1- b); е) (a - 1)(7 m + 5 x). 500. а) (a + 1)(a ² + 1); б) (x – 4)(x ²+ 2); в) (b - a)(b - 2); г) (х + у)(10 + х); д) (3 - х)(а + х); е) (а - 1)(ху + 5). 501. а) (х + 2)(х ² + 1); б) (а ² + 5)(а ⁴+ 5); в) (а + 2 b)(a + 3); г) (х + 3 a)(х - 2). 502. а) (a ²+ b ²)(1 - ay); б) (b - y)(bn - y); в) (c + 2)(3 a ²- 5 bc); г) (2 x ² + 3 у)(6 + 5 х); д) (3 y - 4 х)(0,3 а + 0,4 y); е) 503. а) (y ²- a)(x ² + 2 y); б) (a - 2 c)(2 ab - 1); в) (2 x ³+ 3 y ²)(3 y + 4 z ²); г) (n ²+ 3 m ²)(0,2 mn - 0,5). 504. а) (a - b + c)(x + 3); б) (x ² - y ² + 4 z)(a - 4 b); в) (a + b)(-5 + 3 n - m); г) (b + c)(n ² + p ² - p). 505. а) (a + b + 2)(ab + 1); б) (a - b + 1)(с + d); в) (a + b)(2 a ² + 2 b - 1). 506. а) 2,5; б) 37; в) 0. 507. а) 38; б) 508. (а + b - 1)(a ² + b ²). 510. Якщо х > 3, то значення многочлена додатні; якщо х < 3, ¾ від’ємні. 511. 1; 5. 512. а) (а - 2)(а - 5); б) (х + 1)(х + 4); в) (x + y)(x + 2 y); г) (a - 3 b)(a - 4 b). 513. а) 1; 2; б) -5; -3. 514. а) -2; 0; б) 1; 2; 3; 4. 516. 1 грн. 20 коп. 517. 60 і 35 книжок. 518. 26,5 т; 28 т. 525. а) 12 b ² - 14 b; б) 4 x + 8; в) - ab ² + 2 a - 1; г) 0; д) 4 bc; е) 0. 527. а) -1; б) -1,5; в) 16; г) -31. 530. 7 см; 5 см. 531. а) 0,6; б) коренів немає; в) -1. 533. а) (а + b)(2 + х); б) (х - y)(3 - а); в) (х + 2)(х ²+ 1); г) (1 - 2 y)(0,1 x + 0,2 y); д) 5(b + 2)(a ²- 2 bc); е) (4 z - 5 y)(x ²- 5 y ²). 534. а) (x - 7)(х - 2); б) (х + 2)(x + 6). 535. а) 0; 3; б) 0; -2; в) 0; -2,5; г) 0; . 536. а) 2; 3; б) -3; -1. 537. а) -18; б) 85; в) 42. 541. 0,5.

Завдання для самоперевірки № 4

1-й рівень. 1. в). 2. в). 3. б). 4. г). 5. в). 6. б). 2-й рівень. 1. а) 2 а - 6; б) – х ² - 3 х – 1. 2. а) 6 х ⁴ - 2 х ³ + 2 х ²; б) 6 а ² - 19 ab + 10 b ². 3. а) 4 х (1 – 3 х); б) -10(2 + a);
в) 2 a ² b (1 + 2 a – a ²). 4. 75. 5. а) 0; 0,5; б) 0; –4. 3-й рівень. 1. 5 х ⁴ - 4 х ² + 3 х.
2. а) –3,2 х ⁷ y ⁵ + 6,8 х ⁵ y ³; б) 2 а ³ - 7 a ² b – 6 ab ² + 8 b ³. 3. а) 3; б) 0; 1. 4. а) (m – n)(m – 2 n + 3); б) (а - х)(аm – х). 4-й рівень. 1. а) б) x ³ + 6 x ² y + 11 xy ² + 6 y ³. 2. –9. 3. а) –6; б) 4. а) б) (х + 2)(х + а). 5. 20 см²; 14 см².

§ 5

551. а) 3; б) -5; в) -4 х ⁴; г) 64 с ⁸; д) 9 а ² b ²; е) 8 а ²; є) -6 b ³ + 24 b. 552. а) 7; б) 25 - 2 с; в) а ⁶; г) -4 z ⁴; д) 0. 553. а) z ² + 1; б) в) - х ² - г) 554. а) б) 6 b ²- 555. а) b ⁴ - 1; б) 16 х ⁴ - 1; в) 16 - у ⁴; г) 81 n ⁴ - 256; д) у ⁴ - 16 z ⁴; е) а ⁸ - 1. 556. а) 81 - с ⁴; б) z ⁴ - 625; в) 256 x ⁴ - у ⁴; г) 81 k ⁸ - 16. 559. а) 5; б) 0,5; в) 1; г) 0. 560. а) 0,5; б) 0,4. 561. а) 0; б) a ³² - b ³². 562. Вказівка. Врахувавши, що a - b = 1, ліву частину рівності можна записати у вигляді (a - b)(a + b)(a ² + b ²)(a ⁴ + b ⁴)(a ⁸ + b ⁸). 564. -1. 566. 5 км/год. 567. 10%. 568. 1,35 кг. 576. а) 2 а ² + 2; б) b ²; в) -20 x; г) 2 x - 2. 577. а) 16; б) 2 х ² + 8. 578. а) 1; б) -2. 579. а) -5; б) 1. 588. а) -8 a; б) 1; в) 12 n ² + 2; г) a ² + b ² + 2 ab. 589. а) 2 a ² + 8 b ²; б) х ⁴ + 25 x; в) a ² + b ² - 1. 590. а) -0,3; б) 2; в) 0,5; г) 0,25. 591. а) 1; б) -9; в) -1. 593. -4 а ²⁰ b ²⁰. 596. 2. 597. Вказівка. Розгляньте можливі випадки: 1) m = 5 k + 1; 2) m = 5 k + 2; 3) m = 5 k + 3; 4) m = 5 k + 4, де k ¾ ціле число.

599. 48; 60. 600. 12,6; 7. 601. 51 і 30 деталей. 616. а) (a + 1)(a + 3); б) (3 b - 3)(3 b + 1); в) (2 - 3 b)(6 + 3 b); г) (2 a - 5 - 5 b)(2 a - 5 + 5 b); д) (x + 1)(7 х + 5); е) (-2 a - 8 b)(4 a + 2 b). 617. а) (2 х - 4)(2 х + 2); б) (-2 а - 3)(6 а + 3); в) (- х + у)(9 х - 3 у). 618. -34,4; 619. 44; 620. а) -2; -4; б) 1; -0,2; в) -5; -1; г) -6; 0. 621. а) 2; 3; б) 1; 3.
625. а) (a - b)(a + b)(a ² + b ²)(a ⁴ + b ⁴); б) (1 - х)(1 + х)(1 + х ²)(1 + х ⁴)(1 + х ⁸). 626. а) -2; 2; б) -1; 1; в) -4; 0. 629. а) 12 років; б) 6 років. 630. 80 км/год. 637. а) 100; 0,01; 400; б) 400; 10 000. 638. 100; 100. 641. а) 1; б) 100; 81. 642. 643. а) 4; б) -6. 644. а) 3; б) -5. 645. а) 25; б) 647. х = у = -2. 648. Коренем є будь-яке число. 649. а) 0,0081; б) 25. 650. 0; 0,25. 664. в) (3 а ² - 5)(9 а ⁴ + 15 а ² + 25); е) (10 - аb ³ c ⁴)(100 + 10 аb ³ c ⁴ + а ² b ⁶ c ⁸). 665. в) (0,4 x ³ y ² z - 3)(0,16 x ⁶ y ⁴ z ² + 1,2 x ³ y ² z + 9). 668. а) а ³; б) x ⁶; в) 0; г) 16. 669. а) x ³; б) 2 b ³. 670. а) -2; б) 4,5. 671. а) 1; б) 8. 675. 11,375. 676. а) 2 х ² + 2 у ²; б) 10 ab; в) - a ². 677. а) 9; б) 12. 678. 105 км. 679. а) 7; -0,6; б) 0; 1; -3. Вказівка. | а | = | b |, якщо a = b або a = - b. 680. г) 4 а (a - 1)(a + 1); д) х ²(х - 1)(х + 1); е) с (а - 3 b)(а + 3 b); ж) с (3 + b)(9 - 3 b + b ²). 681. г) 3 y ²(y - 1)(y + 1); д) 2 х (3 y - 1)(3 y + 1); є) 6 а (1 - b)(1 + b + b ²); ж) а ³(1 - а)(1 + а). 682. б) -(b - с)²; д) а (3 а + 1)²; е) m (1 - 5 m)². 683. в) -6(а – 2 b)²; г) х (х - 6)². 684. а) 800; б) 125. 685. а) 300; б) 26 000. 686. а) -3; 3; б) -0,5; 0,5. 687. а) -5; 5; б) -0,2; 0,2.
688. а) (a - n)(a + n)(a ² + n ²); б) (k - 2)(k + 2)(k ² + 4). 689. а) (х - 1)(х + 1)(х ² + 1);
б) (3 - b)(3 + b)(9 + b ²). 690. а) 3(m + 8)(n - 3); б) х ³(b - 1)(х + 1); в) -4 с (а + 8)(b + 3); г) 2 y ²(y - a)(y - b); д) 0,5 a (a + x)(3- x); е) xy (a - 1)(xy + 5). 691. а) 2 c (1+ x)(2 a + b); б) m (a - b)(m + 3); в) - ab (а + b)(a + 1); г) 0,2 x ²(x + 3 y)(x - 2). 692. а) (x - y - z)(x - y + z); б) в) (c - 3 - k)(c - 3 + k); г) (2 x - y - 2)(2 x + y + 2). 693. а) (m + n - k)(m + n + k); б) в) (a - 4 - b)(a - 4 + b); г) (p - q + 5)(p + q - 5). 695. 0. 696. а) (a + b)(a - b + 1); б) (x - a)(x + a + 1);
в) (2 x - y)(2 x + y - 1); г) (x - y)(3,5 x + 3,5 y - 1). 697. а) (c - b)(c + b + 1); б) (x + y)(1 + x - y); в) (a - x)(a + x + 4,8 b). 698. а) 66; б) 19 200. 699. а) 31; б) 20 400. 700. а) -1; 0; 1; б) -0,5; 0; 0,5; в) -2; 2; 4; г) -2; 0,5; 2; д) -1; 0; 1; е) 2. 701. а) -2; 0; 2; б) -0,5; 0; 0,5; в) -3; 1; 3; г) -1; 0,25; 1. 702. а) (х - 2)(х + 4); б) (а - 6)(а - 2);
в) (2 с - 3)(2 с + 1); г) (x - 5 y)(x - y); д) (а + b)(a + 11 b); е) (3 a - 4 b)(3 a + 2 b).
703. а) (a - b)(2 a - 2 b + 1); б) 3 ab (a - b). 704. а) 1; 7; б) -10; -2; в) 3; 5; г) -2; 1; 2; 3. 710. а) 36; б) -3. 712. 0,4 кг. 713. 2,2 кг. 714. 50%. 725. а) 0 (якщо х = 2); б) 3 (якщо х = 2). 726. а) 0 (якщо а = -3); б) 1 (якщо х = 3). 732. а) –7 (якщо х = 1); б) 7 (якщо а = -2); 734. а) 3; 4; б) -3; 4. 735. а) Коренів немає; б) 1. 737. а) Вказівка. Рівність можна записати у вигляді (x – 1)² + (y – 1)² + 1 = 0. 738. 2 + 2. 739. Так. 741. 3 км/год. 742. 124 га; 186 га; 258 га. 746. а) -27; б) 6 х ² - 2; в) 29 а ²; г) -2 ab -2 bc -2 ca; д) 2 а ⁸. 749. а) -5; б) -0,5; в) г) 752. в) х ² у ²(х - у)(х + у);
д) (с - 1)²(с + 1)²; е) (а - b - 1)(а - b + 1); є) (m + 4)(9 m - 4); ж) (х + у)(х – у – 1);
з) (а - b)(а + 3 b). 754. а) (a - 1)(a + 1)²(a ²- a + 1); б) (z - 2)(z + 1)(z ²+ 2 z + 4);
в) 2(x - 1)²(x ²+ х + 1). 755. а) (х ²+ ху + у ²)²(1 - х + у)(1 + х - у); б) (х ²- 2 х + 2)(х ²+ 2 х + 2). 756. а) -3; 0; 3; б) -1; 0; 1; в) -1; 1; 5; г) -1,5; -1; 1. 757. а) коренів немає; б) 0; в) 1. 762. а) 1; б) 16.

Завдання для самоперевірки № 5