Графік лінійного рівняння із двома змінними

Розглянемо рівняння

3 х - 2 y = 2.

Розв’язками цього рівняння є, наприклад, пари чисел (0; -1) і (2; 2). Цим розв’язкам на координатній площині відповідають точки з координатами (0; -1) і (2; 2). Якщо на координатній площині зобразимо всі точки, координати яких є розв’язками рівняння 3 х - 2 y = 2, то одержимо графік цього рівняння.

Графік рівняння із двома змінними утворюють усі точки координатної площини, координати яких є розв’язками даного рівняння.

Щоб з’ясувати, що є графіком рівняння 3 х - 2 y = 2, виразимо з нього змінну у через змінну х:

-2 y = –3 х + 2; y = 1,5 х – 1.

Формулою y = 1,5 х – 1 задається лінійна функція, графіком якої є пряма. Якщо x = 0, то y = 1,5 · 0 – 1 = –1; якщо x = 2, то y = 1,5 · 2 – 1 = 2. Тому ця пряма проходить через точки (0; –1) і (2; 2) (рис. 38). Одержана пряма є й графіком рівняння 3 х - 2 y = 2.

Рис. 38

Взагалі, графіком рівняння aх + by = c, у якому хоча б один з коефіцієнтів а або b відмінний від нуля, є пряма.

Щоб побудувати графік такого рівняння, можна: 1) виразити змінну y через змінну x (якщо це можливо) і побудувати графік відповідної лінійної функції або 2) знайти два розв’язки рівняння, позначити на координатній площині точки, що відповідають цим розв’язкам, і провести через них пряму.

На рисунках 39 і 40 зображені графіки лінійних рівнянь, у яких один з коефіцієнтів біля змінних дорівнює 0:

0 x + y = 2, або y = 2; 2 x + 0 y = 6, або x = 3.

Рис. 39 Рис. 40

Графіком рівняння y = 2 є графік функції y = 2, тобто пряма, паралельна осі х, що проходить через точку (0; 2).

Розв’язками рівняння 2 x + 0 y = 6 (або х = 3) є всі пари чисел (х; y), у яких х = 3, а у ¾ довільне число. Точки координатної площини, які відповідають таким розв’язкам, утворюють пряму, паралельну осі у, що проходить через точку (3; 0).

Для тих, хто хоче знати більше

Рівняння aх + by = c, у якому а = 0 і b = 0, має вигляд 0 х + 0 y = c. Якщо с = 0, то будь-яка пара чисел є розв’язком цього рівняння, а його графіком є вся координатна площина. Якщо с 0, то рівняння не має розв’язків і його графік не містить жодної точки.

Приклади розв’язання вправ

Приклад 1. Побудувати графік рівняння 5 х + 2 y = 4.

● Спочатку знайдемо два розв’язки рівняння.

Нехай х = 0, тоді: 2 y = 4; y = 2. (0; 2) ¾ розв’язок.

Нехай х = 2, тоді: 10 + 2 y = 4; 2 y = -6; y = -3. (2; -3) ¾ розв’язок.

Розв’язки рівняння можна подавати у вигляді таблиці.

х
y		-3

На координатній площині позначаємо точки (0; 2) та (2; -3) і проводимо через них пряму. Ця пряма є шуканим графіком.

●

Приклад 2. Побудувати графік рівняння -2 y = 3.

● У даному рівнянні маємо одну змінну у. Якщо потрібно побудувати графік такого рівняння, то вважають, що це є лінійне рівняння із двома змінними х та у, в якому коефіцієнт біля змінної х дорівнює 0, тобто 0 х - 2 y = 3. Графіком рівняння є пряма y = -1,5, яка паралельна осі х і проходить, наприклад, через точку (0; -1,5).●

Усно

914.Назвіть координати кількох точок, що належать графіку рівняння - x + y = 1 (рис. 41). 915.Які з даних точок належать графіку рівняння 2 x - y = 1: а) А (1; 1); б) В (2; 1); в) С (0; 1); г) D (0; -1)? 916.Вкажіть координати кількох точок, які належать графіку рівняння x - 2 y = 0. 917.Графік якого рівняння зображено на рисунку 42; рисунку 43?

Рис. 41

Рис. 42 Рис. 43

Рівень А

918. Які з точок K (-2; 0,5), L (0; 2), M (2; 4), N (3; 0,25) не належать графіку рівняння -3 x + 4 y = 8?

919.Які з точок А (2; 11), В (3; 12), С (0; 7), D (-1; 5) належать графіку рівняння -2 x + y = 7?

Побудуйте графік рівняння:

920. а) x - 3 y = 6; б) 3 x + y = -1; в) x - 2 y = 0;

г) 4 x + y = 0; д) 1,5 x = 6; е) -0,3 y = 0,6.

921. а) x + 2 y = 3; б) 3 x - y = 0;

в) 8 x = 24; г) 0,7 y = -2,8.

Рівень Б

922. В одній системі координат побудуйте графіки рівнянь:

а) x + y = 2; б) - x - y = -2; в) 2 x + 2 y = 4.

Що можна сказати прографіки цих рівнянь?

923. В одній системі координат побудуйте графіки рівнянь:

а) x - y = -2; б) x - y = 0; в) x - y = 2.

Що можна сказати прографіки цих рівнянь?

Побудуйте графік рівняння:

924. а) 5 x - 6 y = 4; б) 8 x + 16 y = 24.

925. а) 4 x + 7 y = 3; б) 12 x - 4 y = 8.

926. На прямій, яка є графіком рівняння 7 x - 5 y = 9, узято точку, абсциса якої дорівнює 2. Знайдіть ординату цієї точки.

927. На прямій, яка є графіком рівняння 4 x + 9 y = 1, узято точку, ордината якої дорівнює 1. Знайдіть абсцису цієї точки.

928. Знайдіть значення коефіцієнта а в рівнянні ах + 3 y = 4, коли відомо, що графік рівняння проходить через точку (1; 2). Побудуйте графік рівняння.

929. Знайдіть значення коефіцієнта с в рівнянні 5 х - 2 y = с, коли відомо, що графік рівняння проходить через точку (2; 4). Побудуйте графік рівняння.

Рівень В

930. Чи існує значення а, для якого графіки двох рівнянь а ² х + 4 y = 5 і (а + 1) х - y = 1 проходили б через точку (1; 1)?

Побудуйте графік рівняння:

931. а) | х | - y = 0; б) |2 х |+ y = 0;

в) 2| x | – | у | = 0; г) | х + y | = 2.

932. а) (у + 3 х)(у – 2 х) = 0; б) у ² – 10 х + 5 ху – 2 у = 0;

в) (у + 2)² + (у + х)² = 0.

Вправи для повторення

933. Розкладіть на множники:

a) 7 х + ау + 7 у + ах; б) (х - 2)² - 1;

в) 8 x ³ + 125 y ³; г) (a + b + c)² - (a + b)².

934. Знайдіть найменше значення функції у = х ² - 8 х + 1.

935. Одне число більше від іншого на 12, а їх сума дорівнює 44. Знайдіть ці числа.

936*. Розв’яжіть у цілих числах рівняння 3 х + 5 y = 7.