Необхідна і достатня умова випуклості (увігнутості) графіка функції.

Якщо в усіх точках деякого проміжку друга похідна функції від'ємна, то графік функції на цьому проміжку випуклий; якщо друга похідна додатня, то графік функції на цьому проміжку увігнутий.

Рис. 3.16.

Доведення проведемо для випадку, коли на проміжку . Теорема буде доведена, якщо встановимо, що всі точки графіка функції на розглянутому проміжку лежать нижче дотичної, проведеної в деякій точці цього проміжку (рис. 3.16).

Рівняння кривої має вигляд . Нехай – ордината змінної точки дотичної. Рівняння дотичної до графіка функції в точці має вигляд .

Оцінимо різницю ординат точок кривої і дотичної для одного й того ж : .

Застосувавши до різниці теорему Лагранжа, одержимо , де точка лежить між точками і .Винесемо за дужки загальний множник і до виразу в дужках знову застосуємо теорему Лагранжа, одержимо

,

де точка лежить між і . Якщо то , , за умовою , звідки випливає, що або , тобто графік функції розташований під дотичною. Якщо , то , , за умовою , звідси випливає, що або , тобто графік розташований під дотичною.

Аналогічно можна довести теорему для випадку, якщо друга похідна функції на проміжку додатня.

Очевидно, що в точці перегину дотична, якщо вона існує, перетинає криву, оскільки з одного боку від цієї точки крива лежить під дотичною, а з іншого боку – над нею (рис. 3.17, а, б)

 

 

Рис. 3.17.

 

Необхідна умова точки перегину.

Якщо точка є точкою перегину графіка функції, то функція в точці визначена, а друга похідна дорівнює нулю або не існує.

Необхідна умова просто ілюструється графічно на рис. 3.17, а, б, але не є достатньою. Наприклад, для функції друга похідна при , але в цій точці графік не має перегину, оскільки крива увігнута на всій числовій вісі.

Достатні умови точки перегину.

Якщо функція визначена в точці , двічі диференційована в околі точки і при переході через точку друга похідна змінює знак, то точка є точкою перегину.

Дійсно, якщо при і при , то ліворуч точки з абсцисою графік функції є випуклим, а праворуч точки – увігнутим. Отже, точка є точкою перегину графіка функції. Аналогічно описується випадок, коли при і при .

Очевидно, що в точці друга похідна функції дорівнює нулю (рис. 3.17, а) або не існує (рис. 3.17, б).

Можна запропонувати такий алгоритм знаходження проміжків випуклості, увігнутості і точок перегину графіка функції.

1. Знайти область визначення функції.

2. Знайти першу і другу похідні функції.

3. Знайти точки, в яких друга похідна функції дорівнює нулю або не існує.

4. Область визначення знайденими точками розбити на проміжки і дослідити знак другої похідної на кожному з проміжків.

Якщо на проміжку , то це проміжок увігнутості, якщо , то це проміжок випуклості. Точки перегину при цьому розділяють проміжки випуклості й увігнутості.

Зауважимо, що можна при дослідженні розглядати похідні вищих порядків.

Приклад 3.2 2. Знайти проміжки випуклості, увігнутості і точки перегину графіка функції (крива Гауса).

Розв’язання. Відзначимо, що функція визначена на всій числовій прямій. Для неї , . Друга похідна обертається в нуль, якщо , звідки , . Зміна знака другої похідної показана на рис. 3.18.

 

 

Рис. 3.18.

Очевидно, що точки з абсцисами і є точками перегину графіка функції. При цьому

 

Асимптоти графіка функції

Поняття асимптоти вже зустрічалося при вивченні гіперболи. Визначимо асимптоту кривої, заданої рівнянням .

Означення 3.8. Асимптотою кривої називається пряма (в загальному випадку крива), відстань до якої від точки даної кривої прямує до нуля при необмеженому віддалені цієї точки по кривій від початку координат (рис. 3.19).

Будемо розрізняти асимптоти вертикальні, горизонтальні і похилі.

Пряма є вертикальною асимптотою графіка функції , якщо .

 

Рис. 3.19.

 

Очевидно, що вертикальні асимптоти функція може мати тільки в точках розриву або на границях області визначення.

Наприклад, функція має вертикальну асимптоту , оскільки , . Графік функції зображено на рис. 3. 20.

Нехай крива має похилу асимптоту. Знайдемо її рівняння у вигляді . Обчислимо коефіцієнти і так, щоб відстань довільної точки кривої до асимптоти при її віддалені по кривій до нескінченності прямувала до нуля (рис. 3.21).

Розглянемо різницю ординат графіка функції й асимптоти для одного значення аргументу :

.

Очевидно, якщо при , то і відстань точки графіка до асимптоти . Нехай

. (3.28)

Визначимо з останньої рівності і . Винесемо у виразі, що стоїть під знаком границі, за дужки і одержимо

.

 

Рис. 3.20.	Рис. 3.21.

 

Якщо , то очевидно, що . Оскільки , то

. (3.29)

Знаючи , з рівності (3.29) знаходимо

. (3.30)

Отже, якщо для функції пряма є асимптотою, то коефіцієнти і знаходяться за формулами (3.29) і (3.30).

Якщо , то рівняння приймає вигляд і асимптота називається горизонтальною.

Зауважимо, що якщо коефіцієнти і рівняння асимптоти існують і скінченні тільки при , то асимптота називається правою. Відповідно, якщо і існують і скінченні тільки при , асимптота називається лівою. При (або ) графік похилої асимптоти не має.

Приклад 3.23. Знайти асимптоти графіка функції

.

Розв’язання. Відзначимо, що задана функція визначена на всій числовій прямій, крім точки . Отже, якщо графік функції має вертикальну асимптоту, то її рівняння . Обчислимо однобічні границі функції в точці :

, .

Отже, пряма є вертикальною асимптотою графіка функції.

Рис. 3.22.

Рівняння похилої асимптоти знайдемо у вигляді .

Згідно з формулами .

Отже, пряма є асимптотою графіка функції (рис. 3.22).