Задачі, що приводять до поняття похідної функції

Базовою задачею економічного аналізу є вивчення зв’язків економічних величин, записаних у вигляді функцій. В економіці дуже часто потрібно знайти найкраще оптимальне значення того чи іншого показника: найвищу продуктивність праці, максимальний прибуток чи мінімальні витрати і т.п. Кожен показник є функцією одного чи декількох аргументів. Наприклад, випуск можна розглядати як функцію витрат праці і капіталу. Таким чином, знаходження оптимального значення показника зводиться до знаходження екстремуму (максимуму чи мінімуму) функції однієї або багатьох змінних. Подібні задачі породжують клас екстремальних задач в економіці, розв'язання яких вимагає використання методів диференціального числення. Найчастіше в економіці приходиться розв’язувати задачі на екстремум функцій багатьох змінних, оскільки економічні показники звичайно залежать від багатьох чинників. Такі задачі добре вивчені теорією функцій багатьох змінних.

Багато задач містять у собі не тільки максимізуючу (мінімізуючу) функцію, але й обмеження (наприклад, бюджетне обмеження в задачі споживчого вибору). Це – задачі математичного програмування, для розв'язання яких розроблено спеціальні методи, що спираються на диференціальне числення.

Важливий розділ методів диференціального числення, що використовуються в економіці, називається методами граничного аналізу. Отже, граничний аналіз в економіці – це сукупність прийомів дослідження величин, що змінюються, наприклад, витрат, або прибуток при змінах об'ємів виробництва чи споживання і т.п. на основі аналізу їхніх граничних значень.

Приклад 3.1. Задача про продуктивність праці. Нехай функція виражає кількість зробленої продукції за час і необхідно знайти продуктивність праці в момент .

Розв’язання. Очевидно, за період часу від до кількість зробленої продукції зміниться від значення до значення . Тоді середня продуктивність праці за цей період . Продуктивність праці в момент можна визначити як граничне значення середньої продуктивності за період часу від до при , тобто .

Приклад 3.2. В практиці економічних досліджень широке застосування одержали виробничі функції, що використовуються для встановлення залежностей, наприклад, випуску продукції від витрат ресурсів, витрат виробництва від об'єму продукції, виторгу від продажу товару і т.п. У припущенні диференційованості виробничих функцій важливого значення набувають їхні диференціальні характеристики, пов'язані з поняттям похідної.

Розв’язання. Розглянемо деякі типи виробничих функцій.

1). Нехай виробнича функція – функція витрат виробництва, що залежить від кількості продукції .

Припустимо, що кількість продукції збільшується на . Кількості продукції відповідають витрати виробництва . Отже, збільшенню кількості продукції відповідає приріст витрат виробництва продукції .

Середній приріст витрат виробництва є . Це приріст витрат виробництва на одиницю збільшення кількості продукції.

Граничними витратами виробництва називається границя

.

Граничні витрати виробництва збігаються зі швидкістю зміни витрат виробництва. Їх величина характеризує приблизно додаткові витрати на виробництво одиниці додаткової продукції.

2). Нехай – виторг від продажу одиниць товару. Граничним виторгом називається границя

.

3). Нехай виробнича функція встановлює залежність випуску продукції від витрат ресурсу . Граничним продуктом називається границя

.

За допомогою похідної можна обчислити приріст залежної змінної, що відповідає приросту незалежної змінної.

 

Поняття похідної

Нехай функція визначена в точці і в її околі.

Проробимо такі операції. Зафіксуємо точку і обчислимо відповідне значення функції . Додамо аргументу відмінний від нуля приріст і обчислимо значення функції . Обчислимо приріст функції . Складемо відношення приросту функції до приросту аргументу . Спрямуємо до нуля й обчислимо границю

. (3.1)

Ця границя, якщо вона існує, називається похідною функції в точці .

Означення 3.1. Похідною функції в точці називається границя відношення приросту функції до приросту аргументу при прямуванні приросту аргументу до нуля.

Похідна функції в точці позначається символом або , що введені французьким математиком Лагранжем або символами , , що введені німецьким математиком Лейбніцом. Символ читається “де ігрек по де ікс”. Іноді пишуть , підкреслюючи, що похідна обчислюється по аргументу .

Як випливає з означення, похідна функції в точці є число, що залежить від заданого значення . Розглядаючи похідну в різних точках , будемо одержувати різні її значення.

Таким чином, похідна є функцією змінної , визначеної в області визначення функції або в частині цієї області.

Приклад 3.3. Обчислити похідну функції за означенням.

Розв’язання. Зафіксуємо довільне значення аргументу , тоді . Обчислимо приріст функції

.

Складемо відношення приросту функції до приросту аргументу . Спрямуємо приріст аргументу до нуля й обчислимо границю:

.

Оскільки точка – довільна з області визначення, то одержали формулу похідної даної функції, вірну для будь-якого значення аргументу з її області визначення. Пишуть так:

.

Економічний зміст похідної. Виходячи з прикладів, розглянутих в §1, похідна функції об’єму зробленої продукції за часом є продуктивність праці в момент .

Фізичний зміст похідної. , тобто похідна за часом від функції, що визначає закон руху, дорівнює миттєвій швидкості руху точки.

Для довільної функції похідна характеризує швидкість зміни функції в даній точці залежно від зміни аргументу.