Основні правила диференціювання

Нехай функції і мають похідні в точці .

1. Похідна алгебраїчної суми функцій дорівнює алгебраїчній сумі похідних функцій, тобто

. (3.4)

Нехай . Дамо приріст , тоді функції і одержують прирости, відповідно рівні і , а функція одержить приріст . Нове значення функції буде , функції – і отже

,

, .

Остаточно одержимо .

2. Похідна добутку. Доведемо, що

. (3.5)

Нехай . Дамо приріст , тоді функції і одержують прирости, рівні і , їхні нові значення , . При цьому і

.

Застосовуючи теореми про границю суми і добутку, будемо мати: .

Врахуємо, що , , . Виходить , що і було потрібно довести.

Зокрема, якщо

,

тобто сталий множник можна виносити за знак похідної.

Використовуючи останню формулу і похідну натурального логарифма, можна одержати похідну функції . Враховуючи, що , одержимо

. (3.6)

3. Похідна частки. Розглянемо функцію . Припустимо, що функція відмінна від нуля в розглянутій точці . Доведемо, що

. (3.7)

Дійсно, приріст функції, що відповідає приросту аргументу дорівнює

, .

Застосовуючи теорему про границі частки і добутку і, враховуючи неперервність функції в точці , одержимо, що

.

Приклад 3.5. Довести, що , .

Розв’язання. Маємо:

.

Аналогічно виводиться формула похідної функції .

 

Похідна складної функції

Нехай , , причому область зміни другої функції входить в область визначення першої функції. Тоді є складною функцією незалежної змінної , де – проміжна змінна.

Нехай функція має похідну по незалежній змінній , а функція має похідну в точці , що відповідає точці .

Доведемо, що

. (3.8)

Дамо приріст , тоді функція одержить приріст і одержить приріст .

Запишемо тотожність і знайдемо його границю при . Якщо , то і , оскільки має похідну, а значить і неперервна в точці . Отже або , що і було потрібно довести.

Наприклад, якщо , то . Тоді

.

 

Логарифмічне диференціювання. Похідна степеневої, показникової, показниково-степеневої функцій

Логарифмічне диференціювання полягає в тому, що функцію попередньо логарифмують, а потім обчислюють її похідну.

Нехай функція має похідну при деякому значенні і нехай вона при цьому значенні відмінна від нуля. Маємо і застосовуючи правило диференціювання складної функції, одержуємо:

, звідки . (3.9)

Зауваження. Похідна функції дорівнює , тобто тому ж самому виразу, що одержимо, якщо опустимо знак модуля у виразі . Розглянемо вираз і візьмемо похідну від цього логарифма формально; тоді одержимо . Тому, при обчисленні похідних зазначеним прийомом можна формально логарифмувати функцію, не піклуючись про те, додатня вона чи від'ємна, але піклуючись лише про те, щоб не оберталася в нуль. Якщо , то логарифмічне диференціювання неможливе.

Розглянемо степеневу функцію , де . При будь-якому , відмінному від нуля, , , тобто

.

При маємо , при одержимо .

Для показникової функції , , , . Отже,

.

Поклавши , одержимо

.

Показниково-степеневою називається функція вигляду . Нехай і – функції, що мають похідні в точці , причому . Обчислимо похідну функції . Логарифмуючи, одержимо

Тоді: , , або звідки

, (3.10)

тобто похідна показниково-степеневої функції дорівнює сумі похідних від цієї функції, обчислених як від степеневої і як від показникової окремо.

Приклад 3.6. Обчислити похідну функції .

Розв’язання. Для цієї функції . Обчислимо похідну останньої рівності: або

, звідки .

 

Похідна оберненої функції. Похідні обернених тригонометричних функцій

Нехай функція монотонна і має похідну , відмінну від нуля. Обернена їй функція має похідну в точці відповідному розглянутому значенню .

Теорема 3.3. Похідні обернених функцій обернені за величиною, тобто

. (3.11)

Дійсно, запишемо відношення у вигляді , де , оскільки функція за умовою монотонна. Перейдемо до границі, за умови, що , при цьому також прямує до нуля в силу неперервності диференційованої функції: , що і було потрібно довести.

Покажемо, що .

Дійсно, для функції , . Знаємо, що , звідки на підставі теореми 3.3 одержимо

. (3.12)

З означення функції випливає, що , за цією умовою, , виходить, . Тому

.

Аналогічно можна довести, що

. (3.13)

Для функції , .

За теоремою 3.3 , , звідки

. (3.14)

Аналогічно

. (3.15)

 

Таблиця похідних

Наведемо таблицю похідних з одержаних формул для складної функції , , .

1. .

2. .

3. , , .

4. , .

5. , .

6. , ,

, .

7. , ,

, .

Приклад 3.7. Знайти похідні функцій:

а) ;

б) .

Розв’язання. У випадку а) .

У випадку б)