Граничний аналіз в економіці.

В економіці часто використовуються середні величини: середня вартість продукції, середня продуктивність праці і т.п. В однаковій мірі середні величини важливі і при комерційній діяльності: середній доход, середній об'єм продажів і т.п. Але при плануванні розвитку виробництва та будь-якої підприємницької діяльності, виникає, наприклад, така задача: потрібно довідатися, на яку величину виросте результат, якщо будуть збільшені витрати, і, навпаки, наскільки зменшиться результат, якщо витрати скоротяться. Оперуючи середніми величинами, не одержиш відповіді на такі питання. Тут мова йде про прирости змінних величин. У подібних задачах потрібно знайти границю відношення приросту розглянутих величин або, як говорять, граничний ефект. Отже, тут застосовне поняття диференціального числення – похідної функції.

Почнемо з поняття граничного прибутку. Загальний чи сумарний прибуток природно визначити як добуток ціни одиниці товару на кількість товару

.

Крім того, кількість товару (реалізованого) залежить від його ціни. Цей зв'язок дається кривою попиту, яку, будемо вважати лінійною функцією

,

де кутовий коефіцієнт від'ємний, а параметр додатній, тому функція спадна. Строго кажучи, така залежність від характерна для монополії, тобто такої ситуації на ринку, коли одна чи кілька фірм цілком контролюють пропозиції визначеного товару чи послуг і, відповідно, ціни на них. Якщо фірма-монополіст збільшує ціну, попит падає. Підставляючи вираз для ціни в формулу для сумарного прибутку, одержуємо

.

Граничний прибуток визначається як похідна від сумарного прибутку за кількістю товару (єдина змінна, від якої в нашій простій моделі залежить ). Для визначення граничного прибутку зручно скористатися відповідним означенням похідної. Таким чином, граничний прибуток

.

Економічний зміст граничного прибутку дуже простий: він приблизно дорівнює зміні сумарного доходу при зміні кількості реалізованого товару на одиницю. Приблизність викликана тим, що при такому визначенні дотична до графіка заміняється хордою. Ще раз підкреслимо, що прикметник "граничний" в економіці характеризує не самі величини, а ефект їхньої зміни.

Крім поняття граничного прибутку, використовується також поняття середнього прибутку,який визначається як прибуток на одиницю продукції

.

На противагу монополії розглянемо інший граничний випадок – конкурентний ринок. Ця модель припускає, що є велике число незалежних фірм, які продають однорідну продукцію, і немає ніяких перешкод для "входження в ринок". Крім того, кожна фірма робить (продає) лише невелику частку від загального об'єму продукції і не здатна контролювати ціни (змова виключається). При цих умовах можливий стійкий продаж тільки за переважною ринковою ціною. Якщо позначити цю сталу ціну, тобто незалежну від дій окремої фірми, через , відповідно сумарний прибуток буде:

,

граничний прибуток:

,

середній прибуток:

.

Звідси випливає, що в моделі чистого ринку граничний і середній прибутки збігаються.

Дотепер розглядався прибуток і відповідний йому граничний прибуток, однак такий самий підхід може бути застосований і до інших економічних понять. Наприклад, якщо відома функціональна залежність витрат від об'єму продукції : , можна визначити граничні витрати так:

.

Економічний зміст цієї формули такий: граничні витрати приблизно дорівнюють зміні повних витрат при зміні випуску на одиницю.

Розглянемо тепер виробничу функцію, тобто таку функцію, незалежна змінна якої приймає значення об’ємів, витраченого або використаного ресурсу (чинника виробництва), а залежна змінна – значення об’ємів продукції, що випускається. Виробнича функція записується у вигляді економіко-математичного рівняння, що зв'язує змінні величини витрат (ресурсів) з величинами продукції (випуску): (, ). У загальному випадку виробництво продукції (продукція розуміється широко і вміщує в себе, наприклад, комерційну і фінансову діяльність) залежить від багатьох чинників. Така залежність однієї величини від ряду інших є функцією декількох змінних і буде розглядатися в наступному розділі. Зараз же обмежимося випадком, коли кількість продукції залежить тільки від прикладеної праці (для фірми це просто чисельність персоналу). У короткостроковому плані таке допущення може бути і виробничу функцію можна записати так:

.

Для оцінки ефективності виробництва часто використовується (середня) продуктивність праці :

.

Керівників фірми часто цікавить питання, як зміниться об'єм продукції при збільшенні (зменшенні) чисельності персоналу . Відповідь можна одержати, ввівши поняття граничної продуктивності праці як похідну від продукції за величиною праці :

.

Економічний зміст цього поняття очевидний: гранична продуктивність праці приблизно дорівнює зміні об'єму продукції, що випускається, при зміні чисельності персоналу на одиницю.

Приклад 3.25. Розглянемо випадок, коли виробнича функція може бути задана емпіричною формулою у вигляді: . Розрахувати граничну продуктивність праці.

Розв’язання. Обчислюючи похідну, знаходимо граничну продуктивність праці:

.

Підставляючи в одержану формулу значення , легко знаходимо відповідні величини граничної продуктивності праці. Наприклад, при ; ; ; ; . Результати обчислень представлені у вигляді таблиці:

				–1	–3

Звідки видно, що гранична продуктивність праці зменшується з ростом чисельності персоналу і, починаючи з деякої чисельності, стає від'ємною. Це означає, що при подальшому збільшенні персоналу виробництво продукції буде падати. Несподіваний результат! Проте на практиці таке часто спостерігається. Якщо для якоїсь справи залучається занадто багато виконавців, вони починають заважати один одному.

Розглянемо ще один приклад граничного аналізу. Розглянемо просту двосекторну макроекономічну модель, у рамках якої національний доход представляє суму споживання і заощаджень (заощадження звичайно втілюються в капіталовкладеннях чи інвестиціях):

.

У свою чергу споживання і заощадження є функціями національного доходу, тобто

, .

Особливий інтерес представляє собою питання: як будуть змінюватися споживання і заощадження при збільшенні (зменшенні) національного доходу. Для аналізу таких проблем вводяться поняття граничної схильності до споживання і граничної схильності до заощадження, що визначаються так:

; ,

тобто як похідні за національним доходом від споживання і заощаджень відповідно.

Слід зазначити, що у випадку простої двосекторної моделі між граничною схильністю до споживання і граничною схильністю до заощадження існує зв'язок. Дійсно, диференціюючи рівність

,

одержуємо

.

Ця формула дозволяє легко обчислювати граничну схильність до споживання, якщо відома гранична схильність до заощадження, і навпаки.

Приклад 3.26. Припустимо випадок, що споживання залежить від національного доходу таким чином: . Потрібно знайти граничні схильності до споживання і заощадження, коли національний доход складає 30 одиниць ().

Розв’язання. Знаходимо граничну схильність до споживання, оскільки задана саме функція споживання, диференціюючи за :

.

Підставляємо значення національного доходу, що дорівнює 30 одиницям: . Тепер знаходимо граничну схильність до заощадження: .

Звідси можна зробити висновок: при даному рівні національного доходу суспільство більше схильне проїдати його. Дійсно, якщо національний доход збільшується на 1 одиницю від рівня 30, споживання виросте на 0,8 і тільки 0,2 одиниці підуть на інвестиції.

Задачі на екстремум.

Розглянемо характерний приклади, де для більшої наочності параметрам надано числові значення.

Приклад 3.27. Припустимо, що в короткостроковому плані виробнича функція залежить тільки від чисельності персоналу фірми і має вид

,

де – обсяг продукції, a – число працюючих. Потрібно визначити чисельність персоналу, при якій випуск досягає максимального значення.

Розв’язання. Насамперед знаходимо стаціонарні точки, для чого обчислюємо похідну і прирівнюємо її до нуля:

.

Розв’язуючи квадратне рівняння, знаходимо: , .

Обчислюємо другу похідну:

.

При маємо . Таким чином, в цій точці є мінімум. Це природно: важко очікувати випуску якоїсь продукції, якщо немає жодного працюючого.

Для другої точки: . Тому в цій точці є максимум. Відповідний випуск продукції

.

Встановимо деякі загальні співвідношення, властиві виробничій функції. Раніше відзначалося, що в простих випадках виробнича функція пов'язує випуск продукції з чисельністю персоналу :

.

Там же було введене поняття середньої продуктивності праці

.

Цікаво з'ясувати, при якому значенні середня продуктивність праці стає максимальною.

Для цього знайдемо стаціонарні точки, використовуючи правило диференціювання відношення двох функцій

.

Згадуючи, що за означенням гранична продуктивність праці , умову стаціонарності можна переписати у вигляді: . Звідки остаточно маємо , тобто в стаціонарних точках гранична продуктивність праці дорівнює середньої продуктивності праці.

Приклад 3.28. Залежність річних витрат управління запасами від розміру партії замовлення має вигляд:

,

де – розмір замовленої партії; – витрати виконання замовлення; – річна потреба в товарі; – закупівельна ціна одиниці товару; – витрати зберігання, що виражаються як доля від закупівельної ціни одиниці товару.

Визначити економічний розмір замовлення , що мінімізує річні витрати управління запасами.

Розв’язання. Маємо , , – формула Уілсона, , , тоді – точка мінімуму.

Визначимо економічний розмір замовлення, якщо грош. од., од., грош. од., .

Тоді (од.) – оптимальне замовлення.

Приклад 3.29. Відомо, що крива попиту має вигляд , (, ), де – кількість товару, – ціна одиниці товару. Повні витрати виробництва становлять , де – сталі витрати; – питомі змінні витрати. Визначити, при якому обсязі виробництва прибуток буде найбільший.

Розв’язання. Прибуток можна отримати як різницю між доходом та витратами, а доход – як ціну помножену на кількість:

,

Функцію прибутку дослідимо на екстремум:

, звідки , , (оскільки ), тобто – точка максимуму.

 

Вправи

3.1. Знайти похідні функцій за означенням:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; є) ;

ж) ; з) ; і) .

3.2. Знайти похідну функції у точці .

3.3.–3.41. Знайти похідні функцій.

3.3. . 3.4. .

3.5. . 3.6. .

3.7. . 3.8. .

3.9. . 3.10. .

3.11. . 3.12. .

3.13. . 3.14. .

3.15. . 3.16. .

3.17. . 3.18. .

3.19. . 3.20. .

3.21. . 3.22. .

3.23. .

3.24. .

3.25. .

3.26. .

3.27. .

3.28. а) ; б) ;

в) .

3.29. а) ; б) ; в) .

3.30. . 3.31. .

3.32. . 3.33. .

3.34. . 3.35. .

3.36. . 3.37. .

3.38. .

3.39. .

3.40. .

3.41. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; є) ;

ж) .

3.42.–3.43. Знайти похідну параметрично заданої функції.

3.42. а) б)

3.43. а) б)

3.44. Знайти похідні другого порядку для функцій:

а) ; б) .

3.45. Для функції обчислити приріст функції і диференціал при , .

3.46. Знайти диференціали функцій для довільних аргументу і приросту:

а) ; б) ; в) .

3.47. Обчислити приблизно:

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; є) ; ж) ; з) .

3.48. Знайти похідну вказаного порядку:

а) , , ; б) , ;

в) , ; г) , ;

д) , ; є) , ;

ж) , ; з) , ;

і) , ; к) , ;

3.49. Знайти диференціал указаного порядку:

а) , ; б) , ; в) , .

3.50. Довести тотожності:

а) , ;

б) , .

3.51. Довести нерівності:

а) , ; б) , ;

в) , ; г) , ;

д) , .

3.52–3.66. Обчислити границі, використовуючи правила Лопіталя.

3.52. . 3.53. .

3.54. . 3.55. .

3.56. . 3.57. .

3.58. . 3.59. .

3.60. . 3.61. .

3.62. . 3.63. .

3.64. . 3.65. .

3.66. .

3.67.–3.70. Знайти інтервали монотонності і екстремуми функції.

3.67. . 3.68. .

3.69. . 3.70. .

3.71. Знайти найменше і найбільше значення функції на проміжку:

а) , ; б) , .

3.72. Потрібно виготовити шухляду з кришкою, об'єм якої дорівнює 72 см³, причому сторони основи повинні відноситись як 1:2. Які повинні бути розміри всіх сторін, щоб повна поверхня була найменшою?

3.73. Через дану точку провести пряму так, щоб сума довжин додатних відрізків, що відтинаються нею на координатних осях, була найменшою.

3.74–3.76. Знайти проміжки випуклості, вгнутості і точки перегину графіка функції.

3.74. . 3.75. .

3.76. .

3.77–3.79. Знайти асимптоти графіків функцій.

3.77. . 3.78. . 3.79. .

3.80.–3.82. Дослідити функції і побудувати їхні графіки:

3.80. а) ; б) ;

в) ; г) .

3.81. а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; є) .

3.82. а) . б)

3.83. а) ; б) .

3.84. Лісівники знайшли, що твірна стовбура європейської сосни досить добре описується рівнянням

,

де , – радіус поперечного переріза стовбура, – висота стовбура, – радіус стовбура в його середині.

Дослідити функцію і переконатися, що її властивості відповідають наочним уявленням про деревний стовбур (функція спадає, спочатку увігнута, потім опукла). Побудувати схематичний графік функції.

3.85. Написати розклад по цілим невід’ємним степеням змінної до членів указаного порядку включно наступних функцій:

а) до ; б) до ;

в) до ; г) до ;

д) до .

3.86. Використовуючи формулу Тейлора, обчислити границі:

а) ; б) ;

в) .

3.87. Залежність між витратами виробництва і обсягом продукції , що випускається, виражається функцією (грош. од.). Визначити середні і граничні витрати, якщо обсяг продукції 10 од., 20 од., 100 од.

3.88. Нехай вартість виготовлення одиниць продукції задається формулою . Яка маргінальна вартість при ?

3.89. Розрахувати еластичність даних функцій та знайти значення показника еластичності для заданих :

а) , , ;

б) , , ;

в) , , ;

г) , , ;

д) , , ;

є) , , .

3.90. Крива повних витрат . Визначити: а) криву граничних витрат; б) розрахувати коефіцієнти еластичності при заданих значеннях , де – обсяг виробництва, якщо:

1) , , ;

2) , , ;

3) , , ;

4) , , ;

5) , , ;

6) , , ;

7) , , .

3.91. Функції попиту і пропозиції ціни задаються відповідно рівняннями:

а) , ;

б) , ;

в) , ;

г) , .

Знайти ціну рівноваги, еластичність попиту і пропозиції для цієї ціни, зміну прибутку у відсотках при збільшенні ціни на 3% від рівноваги.

3.92. Для наступних функцій попиту знайти таке значення , при яких попит є еластичним:

а) ; б) ;

в) .

3.93. Дана функція повних витрат виробництва. Знайти обсяг виробництва, при якому середні витрати будуть мінімальні.

а) ;

б) ;

в) .

3.94. Обсяг продукції , що виробляється підприємством впродовж робочого дня, може бути задано формулою: , , де – робочий день у годинах. Знайти: а) продуктивність праці, швидкість і темп її зміни; б) при якому значенні після початку роботи продуктивність праці буде найменшою, найбільшою?

3.95. Нехай функція витрат і прибуток при виробництві одиниць товару мають вигляд:

а) ,

б) , , .

Чистий прибуток: .Визначити оптимальне для виробника значення випуску .

3.96. Визначити оптимальне для виробника значення випуску , при умові, що весь товар реалізується по фіксованій ціні за одиницю і відома функція витрат . Знайти при цьому прибуток:

а) , ;

б) , ;

в) , ;

г) , ;

д) , ;

є) , .

3.97. Функція витрат має вигляд: . На початковому етапі фірма організує виробництво таким чином, щоб мінімізувати середні витрати . В подальшому на товар встановлюється ціна 4 грош. од. за одиницю. На скільки одиниць товару фірмі потрібно збільшити випуск?