Розділ 3. Диференціальне числення функції однієї змінної

Розділ 3. Диференціальне числення функції однієї змінної

Задачі, що приводять до поняття похідної функції

Базовою задачею економічного аналізу є вивчення зв’язків економічних величин, записаних у вигляді функцій. В економіці дуже часто потрібно знайти найкраще оптимальне значення того чи іншого показника: найвищу продуктивність праці, максимальний прибуток чи мінімальні витрати і т.п. Кожен показник є функцією одного чи декількох аргументів. Наприклад, випуск можна розглядати як функцію витрат праці і капіталу. Таким чином, знаходження оптимального значення показника зводиться до знаходження екстремуму (максимуму чи мінімуму) функції однієї або багатьох змінних. Подібні задачі породжують клас екстремальних задач в економіці, розв'язання яких вимагає використання методів диференціального числення. Найчастіше в економіці приходиться розв’язувати задачі на екстремум функцій багатьох змінних, оскільки економічні показники звичайно залежать від багатьох чинників. Такі задачі добре вивчені теорією функцій багатьох змінних.

Багато задач містять у собі не тільки максимізуючу (мінімізуючу) функцію, але й обмеження (наприклад, бюджетне обмеження в задачі споживчого вибору). Це – задачі математичного програмування, для розв'язання яких розроблено спеціальні методи, що спираються на диференціальне числення.

Важливий розділ методів диференціального числення, що використовуються в економіці, називається методами граничного аналізу. Отже, граничний аналіз в економіці – це сукупність прийомів дослідження величин, що змінюються, наприклад, витрат, або прибуток при змінах об'ємів виробництва чи споживання і т.п. на основі аналізу їхніх граничних значень.

Приклад 3.1. Задача про продуктивність праці. Нехай функція виражає кількість зробленої продукції за час і необхідно знайти продуктивність праці в момент .

Розв’язання. Очевидно, за період часу від до кількість зробленої продукції зміниться від значення до значення . Тоді середня продуктивність праці за цей період . Продуктивність праці в момент можна визначити як граничне значення середньої продуктивності за період часу від до при , тобто .

Приклад 3.2. В практиці економічних досліджень широке застосування одержали виробничі функції, що використовуються для встановлення залежностей, наприклад, випуску продукції від витрат ресурсів, витрат виробництва від об'єму продукції, виторгу від продажу товару і т.п. У припущенні диференційованості виробничих функцій важливого значення набувають їхні диференціальні характеристики, пов'язані з поняттям похідної.

Розв’язання. Розглянемо деякі типи виробничих функцій.

1). Нехай виробнича функція – функція витрат виробництва, що залежить від кількості продукції .

Припустимо, що кількість продукції збільшується на . Кількості продукції відповідають витрати виробництва . Отже, збільшенню кількості продукції відповідає приріст витрат виробництва продукції .

Середній приріст витрат виробництва є . Це приріст витрат виробництва на одиницю збільшення кількості продукції.

Граничними витратами виробництва називається границя

.

Граничні витрати виробництва збігаються зі швидкістю зміни витрат виробництва. Їх величина характеризує приблизно додаткові витрати на виробництво одиниці додаткової продукції.

2). Нехай – виторг від продажу одиниць товару. Граничним виторгом називається границя

.

3). Нехай виробнича функція встановлює залежність випуску продукції від витрат ресурсу . Граничним продуктом називається границя

.

За допомогою похідної можна обчислити приріст залежної змінної, що відповідає приросту незалежної змінної.

 

Поняття похідної

Нехай функція визначена в точці і в її околі.

Проробимо такі операції. Зафіксуємо точку і обчислимо відповідне значення функції . Додамо аргументу відмінний від нуля приріст і обчислимо значення функції . Обчислимо приріст функції . Складемо відношення приросту функції до приросту аргументу . Спрямуємо до нуля й обчислимо границю

. (3.1)

Ця границя, якщо вона існує, називається похідною функції в точці .

Означення 3.1. Похідною функції в точці називається границя відношення приросту функції до приросту аргументу при прямуванні приросту аргументу до нуля.

Похідна функції в точці позначається символом або , що введені французьким математиком Лагранжем або символами , , що введені німецьким математиком Лейбніцом. Символ читається “де ігрек по де ікс”. Іноді пишуть , підкреслюючи, що похідна обчислюється по аргументу .

Як випливає з означення, похідна функції в точці є число, що залежить від заданого значення . Розглядаючи похідну в різних точках , будемо одержувати різні її значення.

Таким чином, похідна є функцією змінної , визначеної в області визначення функції або в частині цієї області.

Приклад 3.3. Обчислити похідну функції за означенням.

Розв’язання. Зафіксуємо довільне значення аргументу , тоді . Обчислимо приріст функції

.

Складемо відношення приросту функції до приросту аргументу . Спрямуємо приріст аргументу до нуля й обчислимо границю:

.

Оскільки точка – довільна з області визначення, то одержали формулу похідної даної функції, вірну для будь-якого значення аргументу з її області визначення. Пишуть так:

.

Економічний зміст похідної. Виходячи з прикладів, розглянутих в §1, похідна функції об’єму зробленої продукції за часом є продуктивність праці в момент .

Фізичний зміст похідної. , тобто похідна за часом від функції, що визначає закон руху, дорівнює миттєвій швидкості руху точки.

Для довільної функції похідна характеризує швидкість зміни функції в даній точці залежно від зміни аргументу.

 

Похідна складної функції

Нехай , , причому область зміни другої функції входить в область визначення першої функції. Тоді є складною функцією незалежної змінної , де – проміжна змінна.

Нехай функція має похідну по незалежній змінній , а функція має похідну в точці , що відповідає точці .

Доведемо, що

. (3.8)

Дамо приріст , тоді функція одержить приріст і одержить приріст .

Запишемо тотожність і знайдемо його границю при . Якщо , то і , оскільки має похідну, а значить і неперервна в точці . Отже або , що і було потрібно довести.

Наприклад, якщо , то . Тоді

.

 

Таблиця похідних

Наведемо таблицю похідних з одержаних формул для складної функції , , .

1. .

2. .

3. , , .

4. , .

5. , .

6. , ,

, .

7. , ,

, .

Приклад 3.7. Знайти похідні функцій:

а) ;

б) .

Розв’язання. У випадку а) .

У випадку б)

 

Похідні вищих порядків

Нехай дана функція . Її похідна у свою чергу є функцією від . Для неї також можна знайти похідну. Якщо вона існує, то вона називається похідною другого порядку і записується так: (читається “ігрек два штрихи від ”) або , або (читається “де два ігрек по де ікс двічі”). Таким чином, за означенням або .

Наприклад, для , .

Друга похідна має простий фізичний зміст. Якщо заданий закон прямолінійного руху , то, як відомо, – швидкість у момент часу . Тоді , але це швидкість зміни швидкості в даний момент , тобто прискорення.

Отже, – друга похідна шляху за часом є прискорення руху в даний момент часу .

Похідна від другої похідної називається третьою похідною чи похідною третього порядку.

Означення 3.3. Похідною -го порядку називається похідна від похідної -го порядку.

Ці похідні позначають або символами чи .

Приклад 3.9. Знайти похідну -го порядку для функцій

а) , б) .

Розв’язання. Маємо:

а) , , ..., .

б) , , , ,..., .

 

Еластичність функції

В багатьох економічних задачах потрібно обчислити відсоток приросту (відносний приріст) залежної змінної, відповідно відсотку приросту незалежної змінної. Це приводить до поняття еластичності функції (іноді її називають відносною похідною).

Коефіцієнт еластичності показує відносну зміну досліджуваного економічного показника під дією одиничної відносної зміни економічного чинника, від якого він залежить при незмінних інших чинниках, що впливають на нього.

Нехай величина залежить від , і ця залежність описується функцією . Зміна незалежної змінної приводить згідно з функціональною залежністю до зміни змінної . Постає питання, як виміряти чутливість залежної змінної до змінної . Одним із показників впливу однієї змінної на іншу є похідна

,

яка характеризує швидкість зміни функції зі зміною аргументу . Однак в економіці цей показник незручний тим, що він залежить від вибору одиниць виміру.

Наприклад, якщо розглянемо функцію попиту на цукор від його ціни , то побачимо, що значення похідної при кожній ціні (що вимірюється в грошових одиницях)

залежить від того, чим вимірюється попит на цукор у кілограмах або в центнерах. У першому випадку похідна вимірюється в кг/грош. од., у другому – у ц/грош. од., відповідно її значення при тому самому значенні ціни буде різним залежно від одиниць виміру розміру попиту. Тому для виміру чутливості зміни функції до зміни аргументу в економіці вивчають зв'язок не абсолютних змін змінних та ( і ), а їхніх відносних або процентних змін.

Введемо поняття еластичності. Нехай дана функція . Надамо аргументу приріст . Величину будемо називати відносним приростом аргументу.

Функція отримає приріст

.

Величину будемо називати відносним приростом функції.

Складемо відношення відносного приросту функції до відносного приросту аргументу:

.

Це співвідношення показує у скільки разів відносний приріст функції більше відносного приросту аргументу.

Його можна записати в такому вигляді:

.

Якщо функцію можна диференціювати, то

.

Одержаний результат називають еластичністю функції відносно аргументу .

Означення 3.4. Еластичністю функції відносно аргументу називається границя відношення відносного приросту аргументу за умови, що приріст аргументу прямує до нуля.

Еластичність позначається символом . Отже

. (3.20)

Еластичність чисельно дорівнює приблизному відсотковому приросту функції (підвищення або зниження), відповідному приросту незалежної змінної на 1%.

Приклад 3.11. Обчислити еластичність функції .

Розв’язання. За означенням еластичності маємо:

.

Якщо, , то еластичність функції дорівнює числу . Це означає, якщо зросте на 1%, функція також зросте на %.

Наведемо основні властивості еластичності.

1). Еластичність – безрозмірна величина, значення якої не залежить від того, в яких одиницях вимірюються величини та : .

.

2). Еластичність суми двох функцій та може бути знайдена за формулою:

.

3). Еластичність добутку двох функцій та , що залежать від одного і того ж аргументу , дорівнює сумі еластичностей: . Тобто:

.

4). Еластичність частки двох функцій та , дорівнює різниці еластичностей:

.

5). Еластичності взаємно обернених функцій – взаємно обернені величини: .

.

Наприклад, еластичність величини попиту за ціною обернена еластичності ціни за величиною попиту .

Еластичності елементарних функцій:

1. Еластичність степеневої функції стала і дорівнює показнику степеня : .

Дійсно: .

2. Еластичність показникової функції пропорційна : . Маємо:

.

3. Еластичність лінійної функції : .

Дійсно: .

Функція з нескінченною еластичністю в усіх точках називається абсолютно еластичною, з нульовою еластичністю в усіх точках – абсолютно нееластичною.

Приклад 3.12. Обчислити еластичність функції .

Розв’язання. Нехай , , тоді

, ;

.

 

Правило Лопіталя

Нехай для функцій і виконується умова: . Тоді відношення втрачає зміст при , але границя відношення при може існувати. Наступна теорема, яку називають правилом Лопіталя, полегшує задачу обчислення цієї границі.

Правило Лопіталя.

Якщо функції і диференційовані в околі точки , неперервні в точці , відрізняється від нуля в точці і , то границя відношення функцій дорівнює границі відношення похідних цих функцій, якщо остання (скінченна або нескінченна) існує:

. (3.27)

Розглянемо відрізок , для якого виконуються умови теореми. Запишемо відношення у вигляді і застосуємо до різниць чисельника і знаменника теорему Лагранжа. Для функції знайдеться така точка , що . Для функції знайдеться така точка , що .

Тоді .

Нехай при відношення прямує до деякої границі. Оскільки точки і лежать між і , то при одержимо, що і , і отже, відношення прямує до тієї ж границі. Таким чином, при :

.

Якщо виявиться, що і нескінченно малі і диференційовані при , то правило Лопіталя можна застосовувати повторно.

Приклад 3.14. Обчислити .

Розв’язання. Функції і поблизу точки диференційовані, неперервні в точці , , тому можна застосувати правило Лопіталя.

Покажемо, що правило Лопіталя справедливо і за умови, якщо – дорівнює , , .

Нехай, наприклад, умови теореми виконуються і .

Поклавши , одержимо, що при і тому, якщо існує границя відношення при , то існує і границя відношення функцій при і ці границі рівні. Теж саме можна сказати і про відношення їхніх похідних.

Функції , поблизу точки задовольняють умовам доведеної теореми, тому

,

звідки одержимо, що

.

Можна також показати, що правило Лопіталя можна застосувати й у випадку, якщо , тобто

.

Приклад 3.15. Обчислити .

Розв’язання. Для функції і при умови теореми виконуються, тому

Розкриття невизначеностей вигляду і можна привести до розглянутих вище невизначеностей, перетворивши досліджувану функцію на дріб.

Приклад 3.16. Обчислити границю .

Розв’язання. Безпосередньою підстановкою замість його граничного значення переконаємося в наявності невизначеності . Перейдемо до дробу, розділивши функцію на функцію , одержимо

Правило Лопіталя дає можливість розкривати невизначеності вигляду , , . Такі невизначеності зустрічаються при обчисленні границі показниково-степеневої функції, тобто функції вигляду .

Для обчислення границі такої функції при досить знайти границю при функції . Тоді, якщо , то .

Приклад 3.17. Обчислити .

Розв’язання. Нехай , тоді і (див. приклад 3.16).

Отже, .

 

Екстремуми функції

Нехай функція неперервна на деякому інтервалі, що містить у собі точку .

Означення 3.5. Точка називається точкою максимуму функції , якщо існує такий окіл точки , що для всіх значень з цього околу виконується нерівність (рис. 3.9, а). Точка називається точкою мінімуму функції , якщо існує такий окіл точки , що для всіх значень цього околу виконується нерівність (рис. 3.9, б).

Точки максимуму і мінімуму функції називають точками екстремуму. Значення функції в точці максимуму (мінімуму) називають максимумом (мінімумом) функції чи екстремумом функції.

Функція на даному проміжку може мати і декілька екстремумів, причому деякі з мінімумів функції можуть бути більше деяких її максимумів.

 

 

Рис. 3.9.

 

Рис. 3.10.

На рис. 3.10 зображена функція, у якої в точці максимум, а в точці – мінімум, причому . Але це не суперечить означенню екстремуму функції, оскільки в означенні екстремуму порівнюються значення функції в точці і деякому її околі. Говорять, що мова йде про локальні екстремуми.

 

Асимптоти графіка функції

Поняття асимптоти вже зустрічалося при вивченні гіперболи. Визначимо асимптоту кривої, заданої рівнянням .

Означення 3.8. Асимптотою кривої називається пряма (в загальному випадку крива), відстань до якої від точки даної кривої прямує до нуля при необмеженому віддалені цієї точки по кривій від початку координат (рис. 3.19).

Будемо розрізняти асимптоти вертикальні, горизонтальні і похилі.

Пряма є вертикальною асимптотою графіка функції , якщо .

 

Рис. 3.19.

 

Очевидно, що вертикальні асимптоти функція може мати тільки в точках розриву або на границях області визначення.

Наприклад, функція має вертикальну асимптоту , оскільки , . Графік функції зображено на рис. 3. 20.

Нехай крива має похилу асимптоту. Знайдемо її рівняння у вигляді . Обчислимо коефіцієнти і так, щоб відстань довільної точки кривої до асимптоти при її віддалені по кривій до нескінченності прямувала до нуля (рис. 3.21).

Розглянемо різницю ординат графіка функції й асимптоти для одного значення аргументу :

.

Очевидно, якщо при , то і відстань точки графіка до асимптоти . Нехай

. (3.28)

Визначимо з останньої рівності і . Винесемо у виразі, що стоїть під знаком границі, за дужки і одержимо

.

 

Рис. 3.20.	Рис. 3.21.

 

Якщо , то очевидно, що . Оскільки , то

. (3.29)

Знаючи , з рівності (3.29) знаходимо

. (3.30)

Отже, якщо для функції пряма є асимптотою, то коефіцієнти і знаходяться за формулами (3.29) і (3.30).

Якщо , то рівняння приймає вигляд і асимптота називається горизонтальною.