Лекція №1 Похідна функції однієї змінної. Властивості.

Лекційно-практичний курс

З математичного аналізу.

Частина 2. Диференціальне

Числення.

Содержание

Передмова. 3

Лекція №1 Похідна функції однієї змінної. Властивості. 4

Практичне заняття №1 Тема: Похідна. Диференційованість функції. 7

Практичне заняття №2 Тема: Властивості функцій диференційованих на відрізку. 9

Практичне заняття №3 Тема: Похідні та диференціали вищих порядків. Формула Тейлора. 11

Практичне заняття №4 Тема: Формула Тейлора. Обчислення границь за допомогою формули Тейлора. 13

Лекція №2 Дослідження на монотонність та екстремуми. Випуклі функції. Правило Лопіталя. 15

Практичне заняття №5 Тема: Правило Лопіталя. Використання похідної для розв’язання рівнянь, нерівностей, доведення нерівностей. 19

Практичне заняття №6 Тема: Використання похідної для розв’язання рівнянь, доведення тотожностей, розв’язання задач на мінімаксимум. 21

Практичне заняття №7 Тема: Дослідження функцій. 23

Диференціальне числення відображень. 25

Лекція №3 Лінійний нормований простір з скалярним добутком. Лінійні оператори. 25

Практичне заняття №8 Тема: Лінійний нормований простір зі скалярним добутком. Лінійні оператори. 30

Лекція №4 Похідна у напрямку. Частинні похідні. Повна похідна. 32

Практичне заняття №9 Тема: Частинні похідні. Похідна у напрямку. Повна похідна. 36

Лекція №5 Геометрична інтерпретація похідної відображення. Градієнт. 38

Практичне заняття №10 Тема: Геометричний зміст похідної функції. Механічний зміст похідної. 41

Лекція №6 Диференціал. Загальні закони диференціювання. 44

Практичне заняття №11 Тема: Диференціал функції. Загальні закони диференціювання. 46

Лекція №7 Формула скінчених приростів. 48

Лекція №8 Похідні вищих порядків. Формула Тейлора. 51

Практичне заняття №12 Тема: Похідна та диференціал вищого порядку. Формула Тейлора. 55

Лекція №9 Дослідження внутрішніх екстремумів. Дослідження екстремумів у випадку функцій двох змінних. 57

Практичне заняття №13 Тема: Дослідження екстремумів у випадку функцій кількох змінних. 60

Лекція №10 Теорема про неявну функцію.. 62

Лекція №11 Умовні екстремуми. 66

Практичне заняття №14 Тема: Умовні локальні екстремуми. 71

Література. 73

Передмова

Пропонований посібник призначений для студентів фізико-математичного факультету спеціальності «Математика», а також може використовуватися студентами суміжних спеціальностей, у яких читається курс математичного аналізу.

Як і в першій частині, виклад матеріальну широко використовує елементи функціонального аналізу, що спрощує доведення властивостей. Факти, що стосуються більш конкретної ситуації формулюються у вигляді прикладів.

Зазначимо, що ряд властивостей не доводяться, це стосується тих тверджень, які не важко знайти у загальнодоступній літературі, або довести самостійно у якості вправи.

Як і в першій частині, протягом всього посібника лекції передуються з практичними заняттями. В кінці наводиться список літератури по теорії та практиці в сполученні з якими, ми сподіваємося, даний посібник допоможе засвоїти предмет більш глибше.

Лекція №1 Похідна функції однієї змінної. Властивості.

Нижче ми розглянемо означення та властивості похідної для функції однієї змінної. Однак, практично всі властивості приводяться без доведень (які можна легко знайти в книгах.1, 2.), з однієї сторони, оскільки їх не важко знайти та розібратися самостійно, а з іншої, оскільки подібні факти будуть доведенні нижче в більш загальній ситуації.

Основні теореми диференціального числення для функції однієї змінної.

Теореми Роля і Лагранжа.

Нижче ми будемо говорити, що функція диференційована на множині Х, якщо вона диференційована в кожній точці множини Х.

Теорема Роля. Нехай дійсна неперервна на відрізку функція диференційована на інтервалі . якщо при цьому , то існує , така, що .

Доведення.

Якщо , то теорема доведена. Розглянемо функцію . Тоді задовольняє умови теореми і і не є константою. на буде мати значення або >0, або <0. Розглянемо перший випадок, тоді всередині відрізку вона обов’язково має максимум. Нехай точка в якій приймає максимальне значення. Тоді Аналогічно отже

 

Наступні дві теореми довести самостійно або знайти доведення у [1,2].

Теорема Лагранжа. (формула кінцевих приростів)

Нехай функція неперервна і диференційована на інтервалі . Тоді така, що .

Теорема Коші. Нехай функції і неперервні на та диференційовані на . Якщо , то існує така, що .

Доведення.

Розглянемо функцію

де визначено так, щоб . Потрібно знайти . Оскільки , то для визначення , застосуємо теорему Роля.

, що ,

,

Підставляючи в отримаємо необхідний результат.

 

Приклади.

1. .

2.

Зазначимо, що залишковий член у формулі Тейлора є , отже нижче формулу Тейлора будемо застосовувати у вигляді

.

Дослідження монотонності.

Наступна теорема легко доводиться за допомогою теореми Лагранжа та означення монотонності (див.[1,2] або доведіть самостійно).

Теорема. Нехай функція і один раз диференційована на інтервалі .

Тоді:

1. не спадаюча на .

2. не зростаюча на .

3. строго зростає на .

4. строго спадає на .

Опуклі функції.

Означення. Функція називається опуклою вниз на якщо і виконується нерівність

.

 

Означення. Функція називається опуклою вгору на якщо і виконується нерівність

.

Перефразуємо означення.

,

 

Тоді нерівність із першого означення набуде вигляду:

або .

Отже, функція на буде опуклою вниз (вгору), якщо .

,

(, )

Доведення

Необхідність. Нехай опукла вниз на , тоді для таких, що і

.

Переходячи до границі в нерівності при і будемо мати

 

Достатність. та за теоремою Лагранжа маємо

1.

2. . Отже, із зростання ,

означення опуклості вниз виконується.

Опуклість вгору доводиться аналогічно.

Наслідок.

Для того, щоб функція двічі диференційована на була опуклою вниз (вгору) необхідно і достатньо, щоб .

Теорема. (нерівність Йенсена).

Якщо функція опукла вниз, і , то .

Доведіть самостійно за допомогою математичної індукції.

Приклад. , опукла вниз, отже

.

Покладемо .

Підставляючи, отримаємо нерівність Гельдера:

або

Нерівність Коші. Для будь-яких

Доведення.

Ця нерівність показує, що нерівність трикутника в звичайній метриці в виконується.

Правило Лопіталя.

Теорема. Нехай функції і диференційовані на , причому на і при . Тоді в кожному з двох випадків

1. при ,

2. при

буде існувати .

Доведення.

Доведемо випадок 1.

,

Функції визначені на неперервні та диференційовані на і задовольняють теорему Коші. Отже таке, що

або ,

Для будь-якої послідовності існує послідовність і

та .

Отже, за Гейне

Інший випадок розгляньте самостійно.

Приклади.

1. – лінійний простір числових фінітних послідовностей , - лінійний оператор.

2. , А – n-лінійна функція

3. Скалярний добуток у векторному просторі – білінійна функція.

4. Нехай – лінійне в Х. Якщо , то , , , – лінійне відображення і – загальний вигляд, .

5. Нехай лінійне в Х, тоді

, – лінійні.

6. , – лінійне відображення. Якщо , то – лінійне відображення, тобто – одержуємо знайомий числовий запис лінійного оператора .

 

3. Простори неперервних лінійних операторів.

Норма оператора

Нехай , де – нормовані простори.

Означення. Полілінійний оператор називається обмеженим на , якщо ,

.

Число називається нормою А.

Очевидно, що .

 

Із властивостей лінійності

( – одиничний вектор з ).

 

У випадку .

Приклади.

1. , якщо А обмежений, то одинична сфера переходить в еліпсоїд і норма співпадає з найбільшою піввіссю. З іншого боку, норма – верхня грань коефіцієнта розтягу векторів при даному відображенні.

2. Нехай у Х визначен скалярний добуток – білінійне відображення, при маємо рівність і із нерівності Коші-Буняковського .

3. ,

, тобто .

З іншого боку

,

тобто .

4. . У цьому випадку .

5. .

6. Якщо лінійний оператор, а конечно вимірні нормовані простори, то А – має скінчену норму.

Довести приклади 4, 5, 6 у якості вправ.

Теорема. Для лінійного оператора , що діє з нормованого простору Х у нормований простір Y наступні умови рівносильні:

1. А – має скінчену норму;

2. А – обмежений оператор;

3. А – неперервний оператор;

4. А – неперервний в .

Доведення.

Еквівалентність 1 і 2 очевидна. Доведемо еквівалентність 1, 2 і 3.

Нехай А – обмежений, тобто . Нехай (де - будь-яка точка з Х) в Х, тоді , тобто А неперервний в , тобто у Х.

Навпаки, нехай справедлива умова 3, тобто А – неперервне в Х. Покажемо, що А – обмежений. Нехай А необмежений, тобто існує така, що , і , тоді послідовність така, що – це суперечить неперервності А, тобто припущення невірне.

Покажемо еквівалентність умов 3 і 4. Із умови 3 слідує умова 4. Доведемо, що з умови 4 слідує умова 3.

Нехай А неперервний в 0. Якщо , тобто – А неперервний в .

Зауваження. Аналогічне твердження справедливе коли А полілінійне відображення , – множина неперервних полілінійних операторів.

Теорема. Норма полілінійного оператора є нормою в лінійному просторі . Якщо при цьому Y – повний, то L – повний нормований простір.

Доведення. Властивості норми легко довести з означення норми полінійного оператора. Покажемо, що L повний при умові, що Y повний. Нехай послідовність Коші, тобто , що

.

Тоді послідовність Коші в Y, оскільки , отже . Покажемо, що по нормі.

, .

Перейдемо до границі при тобто , отже .

Легко довести слідуче твердження.

Теорема. Якщо , то і

.

Теорема. Між простором і існує бієкція, що зберігає лінійну структуру і норму (ізоморфізм).

Доведення. Нехай, тобто

. Покладемо

, тоді

. З означення оператора А випливає взаємно-однозначність відображення.

Наслідок. ізоморфний .

Задачі

Нехай Х – лінійний простір зі скалярним добутком.

1.1.Довести властивості скалярного добутку:

1.

2.

1.2. Довести нерівність Коші-Буняковського

1.3. Довести нерівність трикутника

для норми асоційованої зі скалярним добутком .

1.4. Нехай Х скінчено вимірний лінійний простір зі скалярним добутком. Довести, що існує ортонормований базис у Х. Якщо ортонормований базис, то .

2.1. Нехай , а . Довести, що оператор - лінійний оператор з .

2.2. Якщо , то загальний лінійний оператор визначається матрицею. Довести.

2.3. Якщо з нормою . Довести, що , де А – лінійний оператор з , а - відповідна матриця.

2.4. Нехай (оператор добутку на функцію ) - неперервна функція. Довести лінійність А та .

Приклад.

.

 

Якщо Х і Y – скінчено вимірні з системами координат і , то отримаємо .

Нижче матрицю будемо називати матрицею Якобі f у точці х.

Якщо , то визначник матриці називається визначником Якобі (Якобіан) і позначається .

При він спрощується до звичайної похідної.

Приклади.

1. .

2.

Матриця Якобі .

2. Повна похідна

Означення. Нехай – нормовані простори. Відображення називається диференційованим у точці , якщо існує таке лінійне неперервне відображення що , де при , тобто .

Означення. Лінійна відносно h функція називається дотичним відображенням або похідною відображення в точці х. Позначення: .

Теорема. Якщо відображення диференційоване у точці , то його похідна єдина. У цьому випадку f неперервне в х. Крім того, у точці х відображення f має похідну вздовж будь-якого напрямку , а відображення лінійне неперервне відображення і .

Доведення. Нехай , покладаючи в означенні похідної маємо , або

, при отримаємо, що ,

тобто f має похідну в точці х у будь-якому напрямку, і неперервне і лінійне по l.

Покажемо, що похідна єдина. Якщо і – похідні f, то , , тобто .

Неперервність f у точці х випливає з рівності , тобто маємо .

Нехай диференційована в кожній точці , тобто диференційована на Х, то виникає функція , яку називають похідною від f або похідним відображенням. Значення в точці – лінійне неперервне відображення , яка є диференціалом або похідною функції f у даній конкретній точці .

Зауважимо, що в силу означення диференційованості випливає, що відображення, диференційоване в точці – неперервне у цій точці. Обернене невірне, наприклад, функція в точці х =0 неперервна, але не диференційована.

Зауваження. Умову диференційованості у точці можна записати так: , при . Зрозуміло, що означення насправді відноситься до відображень будь-яких афінних просторів , лінійні простори Х і Y яких нормовані.

Приклади.

1. , Х – скінчено вимірна зі скалярним добутком, - ортонормований базис в Х, а де то

2. Якщо , то для будь-якого напрямку

Отже

3. Нехай , де – скінчено вимірні зі скалярним добутком. Якщо , - ортонормовані базиси у і відповідно.

, маємо, для будь-якого

.

У координатній формі запису

Отже (у координатній формі запису).

4. Якщо , то Отже, з приклада 3 маємо

.

Якщо і існує у деякій точці х, то існують (х), тобто існує матриця Якобі у х.

Але обернене твердження невірне. Наприклад:

Але в (0,0) функція не неперервна, значить і не диференційована.

Задачі

1.1. Знайти .

1.2. . Знайти та матрицю Якобі.

1.3. . Знайти .

2.1.

Знайти .

2.2.

Обчислити , де , а l – направлення від до .

2.3. . Обчислити , де у направленні l, що утворює з осями координат кути 60º, 45º, 60º відповідно.

3.1. . Знайти .

3.2. . Знайти .

3.3. Знайти .

Приклади.

1. , Е – крива в .

2. , Е – поверхня в .

3. Е – крива в , що описується рівняннями .

Визначимо зміст дотичного многовиду до графіка Е у точці .

Означення. Вектор називається дотичним у точці до графіка Е, якщо:

1. , така, що

в ,

2. , для яких виконується граничне співвідношення в .

 

Якщо – дотичний вектор до Е в , то також дотичний вектор до Е в .

Дане означення можливо продемонструвати графічно наступним чином:

Означення. Множина дотичних векторів до Е у точці , що є підмножиною в називається дотичним до многовида Е у точці .

Теорема. Нехай диференційована в . Дотичний підпростір до у точці є підпростором у , що визначається рівнянням , тобто це множина .

Доведення. Спочатку проведемо допоміжні міркування. Нехай послідовності і , , такі, що . За означенням похідної відображення маємо: , при . Тоді .

В силу неперервності

;

і при