Задачі для самостійного розв’язку.

Нехай Х- лінійний простір зі скалярним добутком.

1. Два вектори ортогональні, якщо . Довести, що якщо ортогональні, то (теорема Піфагора)

2. Показати, що знак рівності в нерівності Коші-Буняковського має місце тоді і тільки тоді, коли .

3. Довести, що виконується рівність паралелограма .

4. Довести формулу

, для

5. Обчислити норму оператора , якщо з нормами:

а).

б).

в).

6. Довести, що оператор - неперервний, де , а .

7. Якщо , то та .

8. Нехай .Довести, що .

Лекція №4 Похідна у напрямку. Частинні похідні. Повна похідна.

1. Похідна у напрямку.

Розглянемо , F – нормований простір, для можна надати змісту формі , де границя у розумінні нормованого простору F.

Якщо покласти , то отримаємо звичайну похідну дійсної функції дійсної змінної.

Якщо F скінчено вимірний, то у ньому можна вибрати систему координат, тоді – базис, , при цьому .

Приклад.

.

Теорема. Для того, щоб функція із значеннями у скінчено вимірному нормованому просторі була диференційована, необхідно і достатньо, щоб її компоненти у деякій системі координат були скалярними диференційованими функціями. Компоненти похідної – похідні відповідних компонент.

Нехай , де – нормовані простори. Говорити про похідну у попередньому розумінні немає можливості. Тому розглянемо поняття частинної похідної вздовж вектора .

Означення. Нехай . Похідною функції f в х вздовж вектора називається похідна, якщо вона існує, функції при , .

Якщо і , то похідна вздовж е є звичайною похідною у розумінні першого означення .

Якщо існує для усіх х, то можна розглядати функцію .

Якщо Y – скінчено вимірний і – базис в Y, то має місце формула . З означення похідної у напрямку .

 

Припустимо, що Х – скінчено вимірний і – базис в Х. Тоді похідні у напрямку векторів зазвичай називають частинними похідними f, тобто .

Приклад.

.

 

Якщо Х і Y – скінчено вимірні з системами координат і , то отримаємо .

Нижче матрицю будемо називати матрицею Якобі f у точці х.

Якщо , то визначник матриці називається визначником Якобі (Якобіан) і позначається .

При він спрощується до звичайної похідної.

Приклади.

1. .

2.

Матриця Якобі .

2. Повна похідна

Означення. Нехай – нормовані простори. Відображення називається диференційованим у точці , якщо існує таке лінійне неперервне відображення що , де при , тобто .

Означення. Лінійна відносно h функція називається дотичним відображенням або похідною відображення в точці х. Позначення: .

Теорема. Якщо відображення диференційоване у точці , то його похідна єдина. У цьому випадку f неперервне в х. Крім того, у точці х відображення f має похідну вздовж будь-якого напрямку , а відображення лінійне неперервне відображення і .

Доведення. Нехай , покладаючи в означенні похідної маємо , або

, при отримаємо, що ,

тобто f має похідну в точці х у будь-якому напрямку, і неперервне і лінійне по l.

Покажемо, що похідна єдина. Якщо і – похідні f, то , , тобто .

Неперервність f у точці х випливає з рівності , тобто маємо .

Нехай диференційована в кожній точці , тобто диференційована на Х, то виникає функція , яку називають похідною від f або похідним відображенням. Значення в точці – лінійне неперервне відображення , яка є диференціалом або похідною функції f у даній конкретній точці .

Зауважимо, що в силу означення диференційованості випливає, що відображення, диференційоване в точці – неперервне у цій точці. Обернене невірне, наприклад, функція в точці х =0 неперервна, але не диференційована.

Зауваження. Умову диференційованості у точці можна записати так: , при . Зрозуміло, що означення насправді відноситься до відображень будь-яких афінних просторів , лінійні простори Х і Y яких нормовані.

Приклади.

1. , Х – скінчено вимірна зі скалярним добутком, - ортонормований базис в Х, а де то

2. Якщо , то для будь-якого напрямку

Отже

3. Нехай , де – скінчено вимірні зі скалярним добутком. Якщо , - ортонормовані базиси у і відповідно.

, маємо, для будь-якого

.

У координатній формі запису

Отже (у координатній формі запису).

4. Якщо , то Отже, з приклада 3 маємо

.

Якщо і існує у деякій точці х, то існують (х), тобто існує матриця Якобі у х.

Але обернене твердження невірне. Наприклад:

Але в (0,0) функція не неперервна, значить і не диференційована.