Нерівність Коші-Буняковського .

Для будь-яких

.

Нерівність та слідуючу теорему довести у якості вправ.

Теорема. Якщо у векторному просторі Х заданий скалярний добуток, то функція є нормою асоційованою з скалярним добутком в Х.

 

Скінченовимірний простір Х з скалярним добутком називається Евклідовим простором.

Нескінченновимірний повний простір Х зі скалярним добутком – Гільбертовий простір.

 

2. Лінійні оператори.

Означення. Нехай Х і Y – векторні простори. Відображення – лінійне, якщо і ¹ виконуються рівності:

,

.

Означення. Відображення прямого добутку лінійних просторів в лінійний простір Y називається полілінійним (n-лінійним) якщо це відображення лінійне по кожній змінній при фіксованих значеннях інших змінних.

При n=1 А – лінійне відображення;

при n=2 А – білінійне відображення.

– множина n-лінійних відображень.

Якщо , то лінійне і полілінійне відображення називаються функціоналами і полілінійними функціоналами.

 

Приклади.

1. – лінійний простір числових фінітних послідовностей , - лінійний оператор.

2. , А – n-лінійна функція

3. Скалярний добуток у векторному просторі – білінійна функція.

4. Нехай – лінійне в Х. Якщо , то , , , – лінійне відображення і – загальний вигляд, .

5. Нехай лінійне в Х, тоді

, – лінійні.

6. , – лінійне відображення. Якщо , то – лінійне відображення, тобто – одержуємо знайомий числовий запис лінійного оператора .

 

3. Простори неперервних лінійних операторів.

Норма оператора

Нехай , де – нормовані простори.

Означення. Полілінійний оператор називається обмеженим на , якщо ,

.

Число називається нормою А.

Очевидно, що .

 

Із властивостей лінійності

( – одиничний вектор з ).

 

У випадку .

Приклади.

1. , якщо А обмежений, то одинична сфера переходить в еліпсоїд і норма співпадає з найбільшою піввіссю. З іншого боку, норма – верхня грань коефіцієнта розтягу векторів при даному відображенні.

2. Нехай у Х визначен скалярний добуток – білінійне відображення, при маємо рівність і із нерівності Коші-Буняковського .

3. ,

, тобто .

З іншого боку

,

тобто .

4. . У цьому випадку .

5. .

6. Якщо лінійний оператор, а конечно вимірні нормовані простори, то А – має скінчену норму.

Довести приклади 4, 5, 6 у якості вправ.

Теорема. Для лінійного оператора , що діє з нормованого простору Х у нормований простір Y наступні умови рівносильні:

1. А – має скінчену норму;

2. А – обмежений оператор;

3. А – неперервний оператор;

4. А – неперервний в .

Доведення.

Еквівалентність 1 і 2 очевидна. Доведемо еквівалентність 1, 2 і 3.

Нехай А – обмежений, тобто . Нехай (де - будь-яка точка з Х) в Х, тоді , тобто А неперервний в , тобто у Х.

Навпаки, нехай справедлива умова 3, тобто А – неперервне в Х. Покажемо, що А – обмежений. Нехай А необмежений, тобто існує така, що , і , тоді послідовність така, що – це суперечить неперервності А, тобто припущення невірне.

Покажемо еквівалентність умов 3 і 4. Із умови 3 слідує умова 4. Доведемо, що з умови 4 слідує умова 3.

Нехай А неперервний в 0. Якщо , тобто – А неперервний в .

Зауваження. Аналогічне твердження справедливе коли А полілінійне відображення , – множина неперервних полілінійних операторів.

Теорема. Норма полілінійного оператора є нормою в лінійному просторі . Якщо при цьому Y – повний, то L – повний нормований простір.

Доведення. Властивості норми легко довести з означення норми полінійного оператора. Покажемо, що L повний при умові, що Y повний. Нехай послідовність Коші, тобто , що

.

Тоді послідовність Коші в Y, оскільки , отже . Покажемо, що по нормі.

, .

Перейдемо до границі при тобто , отже .

Легко довести слідуче твердження.

Теорема. Якщо , то і

.

Теорема. Між простором і існує бієкція, що зберігає лінійну структуру і норму (ізоморфізм).

Доведення. Нехай, тобто

. Покладемо

, тоді

. З означення оператора А випливає взаємно-однозначність відображення.

Наслідок. ізоморфний .

Практичне заняття №8 Тема: Лінійний нормований простір зі скалярним добутком. Лінійні оператори.

Основні відомості:

1. Означення скалярного добутку.

2. Означення та властивості лінійного, полілінійного операторів. Обмеженого оператора.

Задачі

Нехай Х – лінійний простір зі скалярним добутком.

1.1.Довести властивості скалярного добутку:

1.

2.

1.2. Довести нерівність Коші-Буняковського

1.3. Довести нерівність трикутника

для норми асоційованої зі скалярним добутком .

1.4. Нехай Х скінчено вимірний лінійний простір зі скалярним добутком. Довести, що існує ортонормований базис у Х. Якщо ортонормований базис, то .

2.1. Нехай , а . Довести, що оператор - лінійний оператор з .

2.2. Якщо , то загальний лінійний оператор визначається матрицею. Довести.

2.3. Якщо з нормою . Довести, що , де А – лінійний оператор з , а - відповідна матриця.

2.4. Нехай (оператор добутку на функцію ) - неперервна функція. Довести лінійність А та .