Практичне заняття №3 Тема: Похідні та диференціали вищих порядків. Формула Тейлора.

Основні відомості:

1. Визначення похідної та диференціала n-го порядку.

2. Формула Тейлора.

3. Розклад в ряд Маклорена основних елементарних функцій.

Задачі:

1.1.

За допомогою формули Лейбниця та основних формул:

1. 2.

3.

Розв’язати задачі:

1.2.

1.3.

1.4. Знайти , якщо , а - незалежна змінна.

1.5. Знайти , якщо , а - функція деякої незалежної змінної.

За допомогою формули Тейлора розв’язати задачі:

2.1. Нехай .

Довести, що .

Вказівка. Довести за допомогою індукції.

2.2. Нехай - двічі диференційована функція та Довести, що .

Вказівка: Розглянути

2.3. Розкласти в ряд Маклорена до .

 

Завдання для самостійної роботи.

Нехай - тричі диференційована функція. Знайти та якщо:

1. .

2. .

3. .

4. .

5. - тричі диференційована функція.

6.

7.

Розклавши функцію на найпростіші дроби знайти

8.

 

9.

10.

11.

12. , де - многочлен.

13.

14. Нехай диференційована та задовольняє умові , де має похідні всіх порядків. Довести, що має похідні всіх порядків.

Вважаючи незалежною змінною знайти :

15.

16.

17.

18.

Нехай - функція від :

19. знайти .

20. знайти .

21. Нехай та , при чому при . Довести, що при .

Вказівка.

22. Нехай - многочлен ступеня не вище . Довести, що

.

Розкласти за формулою Маклорена до :

23.

24.

25.

Практичне заняття №4 Тема: Формула Тейлора. Обчислення границь за допомогою формули Тейлора.

 

Основні відомості:

1. Фрмула Тейлора.

2. Остаточний член формули Тейлора в формі Лагранжа.

3. Розклад основних елементарних функцій.

Задачі:

Використовуючи розклад основних елементарних функцій розкласти функції в ряд Маклорена до :

1.1.

1.2.

Вказівка: Використовувати .

1.3.

Використовуючи метод неозначених коефіцієнтів розкласти функції виду та :

2.1. Розкласти до методом неозначених коефіцієнтів.

2.2. розкласти до .

2.3. Розкласти до .

Вказівка: Використати розклад .

Обчислити границі:

3.1.

3.2.

3.3.

Завдання для самостійної роботи.

Розкласти в ряд Маклорена до :

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

Вказівка: В задачах 12,13 записати функції у вигляді комбінації елементарних функцій.

14. розкласти до

15.

16. розкласти до

17. розкласти до

18. розкласти до

19. розкласти до

20. розкласти до

21.

22.

23.

24.

25.

Лекція №2 Дослідження на монотонність та екстремуми. Випуклі функції. Правило Лопіталя.

Дослідження монотонності.

Наступна теорема легко доводиться за допомогою теореми Лагранжа та означення монотонності (див.[1,2] або доведіть самостійно).

Теорема. Нехай функція і один раз диференційована на інтервалі .

Тоді:

1. не спадаюча на .

2. не зростаюча на .

3. строго зростає на .

4. строго спадає на .

Необхідна і достатня умова локального екстремуму.

Означення. Нехай і Е область визначення, тоді називається локальним максимумом (мінімумом), якщо - окіл такий, що

.

Теорема Ферма. (необхідна умова екстремуму)

Якщо екстремальна точка функції і , а диференційована в , то .

Доведення. аналогічне доведенню теореми Роля, якщо .

Теорема. (достатня умова екстремуму).

Нехай функція неперервна і диференційована на , тоді:

1. - локальний максимум.

2. - локальний мінімум.

3. - не екстремальна точка.

Доведемо випадок 1. Оскільки , то таких, що маємо .

Перейдемо в нерівності до границі при , тоді оскільки неперервна ) . Аналогічно . Таким чином, означення локального максимуму в точці с виконано (окіл ).

Випадки 2 і 3 доведіть самостійно аналогічно доведенню випадку 1.

Приклад. Застосовуючи останню теорему доведіть закон переломлення світла.

Опуклі функції.

Означення. Функція називається опуклою вниз на якщо і виконується нерівність

.

 

Означення. Функція називається опуклою вгору на якщо і виконується нерівність

.

Перефразуємо означення.

,

 

Тоді нерівність із першого означення набуде вигляду:

або .

Отже, функція на буде опуклою вниз (вгору), якщо .

,

(, )

Необхідна і достатня умова опуклості.

Теорема. Для того, щоб диференційована на інтервалі функція була опуклою вниз (вгору) необхідно і достатньо, щоб її похідна була зростаючою (спадаючою).

Доведення

Необхідність. Нехай опукла вниз на , тоді для таких, що і

.

Переходячи до границі в нерівності при і будемо мати

 

Достатність. та за теоремою Лагранжа маємо

1.

2. . Отже, із зростання ,

означення опуклості вниз виконується.

Опуклість вгору доводиться аналогічно.

Наслідок.

Для того, щоб функція двічі диференційована на була опуклою вниз (вгору) необхідно і достатньо, щоб .

Теорема. (нерівність Йенсена).

Якщо функція опукла вниз, і , то .

Доведіть самостійно за допомогою математичної індукції.

Приклад. , опукла вниз, отже

.

Покладемо .

Підставляючи, отримаємо нерівність Гельдера:

або

Нерівність Коші. Для будь-яких

Доведення.

Ця нерівність показує, що нерівність трикутника в звичайній метриці в виконується.

Правило Лопіталя.

Теорема. Нехай функції і диференційовані на , причому на і при . Тоді в кожному з двох випадків

1. при ,

2. при

буде існувати .

Доведення.

Доведемо випадок 1.

,

Функції визначені на неперервні та диференційовані на і задовольняють теорему Коші. Отже таке, що

або ,

Для будь-якої послідовності існує послідовність і

та .

Отже, за Гейне

Інший випадок розгляньте самостійно.