Лекція №10 Теорема про неявну функцію

1. Теорема про неявну функцію

Нехай і . Розглянемо вираз . Може статися, що для заданого х рівняння відносно має розв’язок, і притому єдиний. В такому випадку це рівняння визначає функцію , яку називають неявною функцією, визначену рівнянням . Вона характеризується властивістю .

Приклад.

Частіше ця обставина не виконується, тобто при фіксованому х – або не існує, або їх декілька, або нескінченно багато.

Розглянемо задачу. Нехай вираз задовольняється у точці . Пропонується визначити, коли в околі точки при кожному х існує єдиний розв'язок даного рівняння, тобто у випадку рівняння визначає деяку криву в і ми хочемо виразити її у звичайній формі, представивши як функцію від х, принаймні в околі .

Теорема. Нехай – нормовані простори, причому – повний; – окіл точки в . Якщо відображення задовольняє умовам:

1. ;

2. – неперервне в точці ;

3. визначене в і неперервне в ;

4. має обернений оператор;

то знайдуться окіл точки , окіл точки і відображення такі, що:

1) ;

2)Рівність в еквівалентна тому, що де ;

3) ;

4) f – неперервне в .

Доведення. Для спрощення запису можна вважати, що . .

Розглянемо клас функцій , що залежать від параметра і визначені на множині . При - околу – є відображення .

Зауважимо, що розв'язок рівняння , тоді і тільки тоді, коли є точкою нерухомості , тобто .

Таким чином, пошук і дослідження неявно заданої функції зводиться до пошуку нерухомих точок відображення і дослідженню їх залежності від х.

Покажемо, що – стискаюче відображення для фіксованого х. Дійсно, при довільному диференційоване, що випливає з умови 3 і диференціювання складеної функції.

В силу неперервності в точці існує окіл точки , в якому .

Таким чином, при будь-якому і за теоремою про скінчений приріст

,

тобто стискаюче.

Для існування нерухомої точки повинно переводити повний простір у себе. Покажемо, що , що при будь-якому відображення . Дійсно, спочатку по візьмемо так, щоб при

, (це можливо в силу неперервності в і ). Якщо тепер і ,

то .

Значить при . Оскільки замкнена підмножина повного метричного простору повна, то куля – повний метричний простір, в якому - утворене стискаюче відображення у себе.

На основі принципу про стискаюче відображення можна стверджувати: існує єдина точка , яка є нерухомою точкою відображення . В силу основного співвідношення має властивість 2, а значить і властивість 3, оскільки .

Неперервність в точці випливає з властивості 2 (для f) і того, що , що при , тобто єдина нерухома точка відображення при задовольняє умові .

Доповнення. Якщо разом з умовами теореми відомо, що у околі точки існує частинна похідна неперервна в ,

то функція диференційована в і

.

Доведення. Перевіримо безпосередньо, що лінійний оператор у правій частині рівності є похідною функції в точці . Як і в теоремі для скороченого запису будемо вважати, що , тобто .

де при .

Ці співвідношення написані з урахуванням того, що і того, що неперервність і в забезпечує диференційованість в цій точці. Покладемо і . Тоді враховуючи нерівність

, можна продовжити першу оцінку або

при в силу неперервності f в і .

Значить , що і треба було довести.

Приклади.

1. Нехай і . Якщо

існують в і неперервні в ;

2. ;

3. ;

тоді існують околи і і функція , що задовольняють умовам:

1. ,

2. ,

3. ,

4. неперервна в і диференційована в .

2. Нехай

Якщо

1. існують в і неперервні в
2. ;

3. ,

тоді існують околи і , в яких існує єдина функція , що задовольняє умовам:

1. ;

2. ;

3. ;

4. диференційована в .

2. Обернена функція.

З теореми про неявну функцію безпосередньо випливає теорема про обернену функцію, оскільки знайти обернену функцію для деякого гомеоморфізма все рівно, що розв’язати задачу про неявну функцію відносно х.

Теорема. Нехай і – повні нормовані простори і – неперервне диференційоване відображення відкритої множини в .

Якщо і – має обернений, то образ кожного околу точки а при відображенні f є околом точки . Існують такі відкриті множини А і В в Х і , що містять відповідно а і b, що f – гомеоморфізм А на В, неперервно диференційований разом зі своїми оберненим гомеоморфізмом. Крім того, .

Лекція №11 Умовні екстремуми