Застосування диференціального числення

З М І С Т

Розділ 1

Застосування диференціального числення

Для дослідження функцій

1.1. Зростання і спадання функції………………………………………………….5

1.2. Локальний екстремум функції………………………………………………..9

1.3. Опуклість і вгнутість кривих. Точки перегину……………………………...14

1.4. Асимптоти кривих……………………………………………………………..21

1.5. Схема дослідження функції та побудова її графіка…………………………22

Розділ 2

Функції двох змінних

2.1. Означення та область визначення.

Частинні похідні першого порядку………………………………………….. 34

2.2. Повний диференціал функції.

Похідні складених функцій………………………………………………….. 41

2.3. Частинні похідні вищих порядків.

Похідні неявно заданих функцій…………………………………………….. 46

2.4. Рівняння дотичної площини і нормалі до поверхні.

Екстремум функції двох змінних……………………………………………. 51

Розділ 3

Невизначений інтеграл

3.1. Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла.

Метод безпосереднього інтегрування………………………………………. 54

3.2. Метод підстановки (заміни змінної)………………………………………… 58

3.3. Метод інтегрування частинами……………………………………………… 62

3.4. Інтегрування раціональних функцій………………………………………… 66

3.5. Інтегрування функцій, раціонально залежних

від тригонометричних…………………………………………………………74

3.6. Інтегрування деяких іраціональних функцій………………………………...82

 

ЛІТЕРАТУРА..........................................................................................................89

Вступ

Основна форма навчання студентів – самостійна робота над навчальним матеріалом, яка складається з вивчення теоретичних положень за підручником, розгляду прикладів і розв’язання задач. При вивченні матеріалу за підручником треба переходити до наступного питання тільки після правильного зрозуміння попереднього, виконуючи на папері усі обчислення, навіть і ті, які пропущені у підручнику. Розв’язання задач при вивченні дисципліни «Вища математика» часто пов’язано з багатьма складностями. Якщо складається скрутне становище при розв’язанні задачі, то треба вказати характер цього утруднення, привести припущення відносно плану розв’язку.

Відомо, що при самостійному розв’язуванні задач студентам потрібні постійні консультації щодо способів їх розв’язування, оскільки знайти шлях до розв’язування задачі без допомоги викладача або відповідного підручника студентові не під силу. Допомогти студентам технічних спеціальностей всіх форм навчання подолати ці складності, навчити їх застосовувати теоретичні знання до розв’язування задач - основне призначення цього навчального посібника.

У третій частині навчального посібника викладено матеріал з таких розділів вищої математики: «Визначений інтеграл», «Невласні інтеграли» та «Застосування визначеного інтеграла до задач геометрії». Основні теоретичні положення, формули та теореми ілюструються докладним розв’язанням великої кількості задач різного ступеня складності з їх повним аналізом. Для ефективності засвоєння матеріалу пропонуються завдання для самостійної роботи.

Автори сподіваються, що саме така побудова посібника надає студентові широкі можливості до активної самостійної роботи, яка, безумовно, сприятиме засвоєнню матеріалу при вивченні дисципліни «Вища математика».

 

 

Розділ 1

ЗАСТОСУВАННЯ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНОГО ЧИСЛЕННЯ

ДЛЯ ДОСЛІДЖЕННЯ ФУНКЦІЙ

Зразки розв’язування задач

Локальний екстремум функції

Точка називається точкою максимуму (або мінімуму) функції , якщо існує такий окіл < < цієї точки, який належить області визначення функції, і для всіх з цього околу виконується нерівність < (або > ).

Правило знаходження екстремумів (максимумів і мінімумів) за допомогою першої похідної:

1) знайти область визначення ;

2) знайти похідну ;

3) знайти критичні точки;

4) дослідити знак на інтервалах, на які знайдені критичні точки ділять область визначення .

При цьому критична точка є точкою мінімуму, якщо при переході через неї зліва направо змінює знак з “-” на “+”, є точкою максимуму, якщо змінює знак з “+” на “-”.

5) обчислити значення функції в точках екстремуму (екстремуми).

 

Зразки розв’язування задач

Знайти екстремуми функцій.

1. .

1) Область визначення .

2) .

3) Критичні точки:

.

існує для всіх .

4) Знаки :

При переході через точку похідна змінює знак з «+» на «-», отже - точка максимуму. При переході через точку похідна змінює знак з «-» на «+», тому - точка мінімуму.

5) . .

2. .

1) Область визначення функції .

2) .

3) Критичні точки:

або , звідки .

існує для всіх .

4) Знаки :

При переході через точку похідна змінює знак з «-» на «+», тому точка є точкою мінімуму. При переході через точку похідна змінює знак з «+» на «-». Отже, точка є точкою максимуму.

5) ; .

3. .

1) Область визначення .

2) .

 

3) Критичні точки:

, звідки .

існує на всій області визначення.

4) Знаки :

При переході через точки похідна змінює знак з «-» на «+». Отже, точки є точками мінімуму. При переході через точку похідна змінює знак, але , тому не є точкою екстремуму.

5) Так як функція парна, то

. Тобто .

 

4. .

1) .

2) .

3) Критичні точки:

.

Функція приймає тільки додатні значення, причому . Критичну точку знайдемо з умови: . Отримаємо .

існує для всіх .

4) Знаки :

Функція має дві екстремальні точки: - точка мінімуму; -точка максимуму.

 

5) ; .

 

5. .

1) Область визначення .

2)

.

3) Критичні точки:

а) .

б) не існує при .

4) Знаки :

 

При переході через точку похідна змінює знак з «+» на «-», тому є точкою максимуму. При переході через точку похідна не змінює свій знак. Отже, критична точка не є екстремальною.

5) .

 

6. .

1) .

2) .

3) Критичні точки:

а) , тоді , звідки або .

б) існує для всіх .

4)Знаки :

При переході через точку похідна змінює знак з «-» на «+», тому - точка мінімуму.

 

5) .

7. .

1) Область визначення .

2) .

3) Критичні точки:

а) , звідки . Але не входить в .

б) існує на всій області визначення.

4) Знаки :

При переході через точку похідна змінює знак з «-» на «+», тому - точка мінімуму.

 

 

5) .

 

8. .

1) Область визначення .

2) .

3) Критичні точки:

а) . Знайдемо , тому рівняння не має коренів, тобто .

б) існує на всій області визначення.

Отже, критичних точок не має і функція не має екстремумів.

 

Завдання для самостійної роботи

Знайти екстремуми функцій:

1. ;

 

2. ;

 

3. ;

4. ;

 

5. .

Зразки розв’язування задач

Асимптоти кривих

Пряма називається асимптотою кривої, якщо точка кривої необмежено наближується до неї при віддалені її від початку координат. Розрізняють вертикальні, похилі (горизонтальні) асимптоти.

а) Вертикальні асимптоти.

Графік функції при має вертикальну асимптоту, якщо або ; при цьому точка є точкою розриву II роду. Рівняння вертикальної асимптоти має вигляд .

б) Похилі асимптоти.

Рівняння похилої асимптоти , де , , якщо ці границі існують і скінченні.

Слід окремо розглянути випадки, коли та .

 

Зразки розв’язування задач

Знайти асимптоти кривих.

1. .

а) .

В точці функція має розрив II роду, тому що .

Отже, - вертикальна асимптота.

б) Знайдемо похилі асимптоти:

, .

Тоді - похила асимптота.

2. .

а) Область визначення функції:

.

.

В точках функція має розриви II роду, тому що . Тому графік має дві вертикальні асимптоти та .

б) Знайдемо похилі асимптоти:

, . Тоді - горизонтальна асимптота.

3. .

а) Область визначення функції:

.

Обчислимо , тому - точка розриву II роду.

Отже, - вертикальна асимптота.

б) Похилі асимптоти:

,

.

Маємо: - похила асимптота.

 

4. .

а) Область визначення функції .

Точок розриву II роду немає, тому графік функції не має вертикальних асимптот.

б) Знайдемо похилі асимптоти:

, .

При (коли ) похилої асимптоти не існує. Знайдемо . Щоб обчислити границю, перетворимо вираз до вигляду . Тоді маємо невизначеність , до якої можна застосувати правило Лопіталя, а саме:

. Маємо: - горизонтальна асимптота.

5. .

а) Область визначення функції: .

.

 

 

Обчислимо , . В точках функція має розрив II роду. Отже, та - вертикальні асимптоти.

б) Похилих асимптот немає, тому що неможливо обчислити коефіцієнти і (функція не визначена при ).

 

Завдання для самостійної роботи

Знайти асимптоти кривих:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. .

Зразки розв’язування задач

Розділ 2

ФУНКЦІЇ ДВОХ ЗМІННИХ

Зразки розв’язування задач

1. Знайти та зобразити області визначення функцій двох змінних:

а) .

Функція не визначена лише тоді, коли . Геометрично це означає, що область визначення функції складається із двох півплощин, одна з яких лежить вище, а друга нижче прямої (рис. 2.1)

б) .

Функція визначена при умові , тобто . Рівняння визначає в площині коло з центром в початку координат і радіусом . Функція визначена в точках, які лежать усередині кола та на його межі, так як для всіх точок, які лежать поза колом, має місце нерівність (рис.2.2).

в) .

Область визначення цієї функції визначається з нерівності . Межа області – парабола , яка ділить всю площину на дві частини. Щоб виявити, яка з частин є областю визначення даної функції, тобто задовольняє умову , достатньо перевірити цю умову для якої-небудь однієї точки, яка не лежить на параболі. Наприклад, точка належить області визначення, тому що . Отже, область визначення даної функції є множина точок, розташованих нижче параболи. Межа (парабола ) не належить до області визначення функції. (рис. 2.3).

 

г) z .

Областю визначення цієї функції є сукупність пар і , які задовольняють нерівностям . На площині ця область є смуга, обмежена прямими і (рис.2.4)

 

2. Знайти частинні похідні функцій:

а) .

Функція є функцією двох змінних і . Припускаючи, що стала й обчислюючи похідну від функції по , знаходимо частинну похідну по : . Припускаючи, що стала й обчислюючи похідну від функції по , знаходимо частинну похідну по :

.

б) .

Вважаючи, що , маємо: .

Якщо, , то .

в) .

; .

 

г) .

;

.

д) .

При диференціюванні по функція має вигляд . Тому

.

При диференціюванні по функція набуває вигляду , тому

.

є) .

Аналогічно попередньому прикладу маємо:

;

.

ж) .

При знаходженні частинних похідних і маємо функцію у вигляді дробу, в чисельнику і знаменнику якого знаходяться змінні. Тому застосуємо правило диференціювання частки двох функцій, а саме:

;

.

з) .

При диференціюванні по задану функцію треба розглядати як степеневу . Тоді отримаємо . При диференціюванні по функція має вигляд показникової . Будемо мати .

і) .

Аналогічно попередньому прикладу маємо: по функція є показниковою, а по - степеневою. Знаходимо: ; .

к) .

Обчислюючи , вважаємо і знаходимо частинну похідну від складеної функції по : .

Обчислюючи похідну , вважаємо , а функцію - складеною по : .

л) .

;

.

м) .

; .

н) .

;

.

3. Довести, що функція задовольняє рівняння .

Знайдемо частинні похідні функції :

; .

Підставимо саму функцію та її частинні похідні в наведене рівняння:

.

Будемо мати:

;

.

Отримано тотожність, це означає, що функція задовольняє рівняння.

 

Завдання для самостійної роботи

1. Знайти область визначення функцій:

а) ; б) ; в) ; г) .

2. Знайти частинні похідні функцій:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

є) ;

ж) ;

з) .

 

3. Довести, що функція задовольняє рівняння .

Зразки розв’язування задач

1. Знайти повний диференціал функцій:

а) .

Знайдемо частинні похідні:

; .

За формулою (2.2) будемо мати:

.

б) .

; .

Отже, .

в) .

; . Будемо мати: .

г) .

;

.

Тоді отримаємо:

.

2. Обчислити наближено за допомогою повного диференціала: .

Розглянемо функцію , тоді ; . Покладемо, що , , обчислимо , . Тоді . Знаходимо частинні похідні і їх значення в точці , а саме

, тоді ;

, тоді .

Повний диференціал

.

Користуючись формулою (2.3), отримаємо: , а саме: .

3. Знайти , якщо , , .

Функція є складеною функцією змінної , тому за формулою (2.4) отримаємо: .

Будемо мати: , , , .

Тоді шукана похідна запишеться у вигляді:

.

Підставляючи замість і їхні вирази через , дістанемо:

.

4. Знайти , якщо , , .

Функція є складеною функцією змінної , тому її похідна обчислюватиметься за формулою (2.4):

.

Будемо мати: , , , .

Тоді

.

5. Знайти , якщо , .

Згідно з формулою (2.5): . Обчислимо:

,

,

.

Тоді .

Підставляючи замість його значення через , дістанемо:

.

6. Знайти і , якщо , , .

Функція є складеною функцією змінних та . Для обчислення її похідних застосуємо формули (2.6).

Будемо мати: , .

Знайдемо частинні похідні: , , , , , .

Підставляючи, отримаємо:

,

.

Замінюючи і виразами через і , остаточно дістанемо:

,

.

7. Знайти і , якщо , , .

Як і в попередньому прикладі - складена функція змінних та . Обчислимо: , , , , , .

За формулами (2.6) маємо:

,

.

 

Завдання для самостійної роботи

1. Знайти повний диференціал функцій:

а) ;

б) ;

в) .

2. Обчислити наближено