Означення та область визначення. Частинні похідні першого порядку

Нехай - множина упорядкованих пар чисел . Якщо кожній парі чисел за певним законом відповідає число , то кажуть, що на множині визначено функцію від двох змінних і і записують .

Змінну називають залежною змінною (функцією), а змінні та - незалежними змінними (аргументами).

Множину пар чисел , для яких функція визначена, називають областю визначення функції і позначають . Множину значень позначають .

Оскільки кожній упорядкованій парі чисел відповідає в прямокутній системі координат єдина точка площини, і, навпаки, кожній точці площини відповідає єдина упорядкована пара чисел , то функцію , де , можна розглядати як функцію точки і замість писати . Областю визначення функції у цьому випадку є деяка множина точок площини .

Значення функції в точці позначають або , або .

Величина називається частинним приростом функції по змінній .

Величина називається частинним приростом функції по змінній .

Якщо існує границя , то вона називається частинною похідною функції по змінній і позначається

.

Якщо існує границя , то вона називається частинною похідною функції по змінній і позначається

.

При обчисленні частинних похідних функції двох змінних користуються вже відомими формулами і правилами диференціювання функції однієї змінної. Слід лише пам’ятати, що при знаходженні частинної похідної обчислюють звичайну похідну функції змінної , вважаючи змінну сталою. При знаходженні похідної сталою вважається змінна .

Зразки розв’язування задач

1. Знайти та зобразити області визначення функцій двох змінних:

а) .

Функція не визначена лише тоді, коли . Геометрично це означає, що область визначення функції складається із двох півплощин, одна з яких лежить вище, а друга нижче прямої (рис. 2.1)

б) .

Функція визначена при умові , тобто . Рівняння визначає в площині коло з центром в початку координат і радіусом . Функція визначена в точках, які лежать усередині кола та на його межі, так як для всіх точок, які лежать поза колом, має місце нерівність (рис.2.2).

в) .

Область визначення цієї функції визначається з нерівності . Межа області – парабола , яка ділить всю площину на дві частини. Щоб виявити, яка з частин є областю визначення даної функції, тобто задовольняє умову , достатньо перевірити цю умову для якої-небудь однієї точки, яка не лежить на параболі. Наприклад, точка належить області визначення, тому що . Отже, область визначення даної функції є множина точок, розташованих нижче параболи. Межа (парабола ) не належить до області визначення функції. (рис. 2.3).

 

г) z .

Областю визначення цієї функції є сукупність пар і , які задовольняють нерівностям . На площині ця область є смуга, обмежена прямими і (рис.2.4)

 

2. Знайти частинні похідні функцій:

а) .

Функція є функцією двох змінних і . Припускаючи, що стала й обчислюючи похідну від функції по , знаходимо частинну похідну по : . Припускаючи, що стала й обчислюючи похідну від функції по , знаходимо частинну похідну по :

.

б) .

Вважаючи, що , маємо: .

Якщо, , то .

в) .

; .

 

г) .

;

.

д) .

При диференціюванні по функція має вигляд . Тому

.

При диференціюванні по функція набуває вигляду , тому

.

є) .

Аналогічно попередньому прикладу маємо:

;

.

ж) .

При знаходженні частинних похідних і маємо функцію у вигляді дробу, в чисельнику і знаменнику якого знаходяться змінні. Тому застосуємо правило диференціювання частки двох функцій, а саме:

;

.

з) .

При диференціюванні по задану функцію треба розглядати як степеневу . Тоді отримаємо . При диференціюванні по функція має вигляд показникової . Будемо мати .

і) .

Аналогічно попередньому прикладу маємо: по функція є показниковою, а по - степеневою. Знаходимо: ; .

к) .

Обчислюючи , вважаємо і знаходимо частинну похідну від складеної функції по : .

Обчислюючи похідну , вважаємо , а функцію - складеною по : .

л) .

;

.

м) .

; .

н) .

;

.

3. Довести, що функція задовольняє рівняння .

Знайдемо частинні похідні функції :

; .

Підставимо саму функцію та її частинні похідні в наведене рівняння:

.

Будемо мати:

;

.

Отримано тотожність, це означає, що функція задовольняє рівняння.

 

Завдання для самостійної роботи

1. Знайти область визначення функцій:

а) ; б) ; в) ; г) .

2. Знайти частинні похідні функцій:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

є) ;

ж) ;

з) .

 

3. Довести, що функція задовольняє рівняння .