Інтегрування функцій, раціонально залежних

Від тригонометричних

Домовимось позначати - раціональну функцію, залежну від , якщо вона утворена з цих тригонометричних функцій та сталих за допомогою раціональних алгебраїчних дій.

1) Інтеграли виду приводяться до інтегралів від раціональної функції нового аргументу підстановкою

, яка називається універсальною.

При цьому використовуються формули:

, , , .

Варто помітити, що недоліком цієї підстановки є той факт, що її використання в багатьох випадках зводить вихідний інтеграл до інтегралу від раціонального дробу з великими степенями. Тому в багатьох випадках користуються іншими підстановками. Наведемо деякі з них:

а) , тобто підінтегральна функція непарна відносно . Використовується підстановка , тоді , ;

б) - підінтегральна функція непарна відносно .

Використовується підстановка , тоді , ;

в) , в якому підінтегральна функція парна відносно і одночасно, раціоналізується за допомогою підстановки . При цьому використовуються формули:

, , , ;

г) . Тут підінтегральна функція залежить раціональним образом тільки від . Слід застосовувати підстановку , тоді , .

2) Інтеграли виду обчислюються за допомогою таких підстановок:

а) якщо - ціле додатне непарне число: ;

б) якщо - ціле додатне непарне число: ;

в) якщо та - цілі додатні парні числа: використовуються формули пониження степеня

, ;

г) якщо та - цілі парні числа, але хоч одне з них від’ємне: ;

д) якщо та - цілі непарні числа і від’ємні: .

 

3) Інтеграли виду , , обчислюються за допомогою тригонометричних формул:

,

,

.

 

Зразки розв’язування задач

Обчислити інтеграли.

Почнемо з прикладів ілюструючих різні випадки пункту 1.

1. .

Застосуємо до інтеграла універсальну підстановку , , .

Тоді

.

2.

.

3.

.

4. .

Зауважимо на те, що підінтегральна функція непарна відносно . Відділимо від один множник, а виразимо через , а саме: . Інтеграл матиме вигляд: , тобто ми звели його до випадку , до якого можна застосувати заміну , .

Отримаємо:

.

5. .

Підінтегральна функція непарна відносно . Аналогічно попередньому прикладу .

Отже,

.

Зауваження: отриманий інтеграл може бути обчислений іншим методом за допомогою формул тригонометрії, а саме:

.

 

6. .

Так як підінтегральна функція є раціональною функцією від та , зручною є заміна , . Тоді , . Підставимо вирази в інтеграл і отримаємо:

 

.

7. .

В цьому випадку зручнішою буде підстановка , . Перетворивши підінтегральний вираз та використавши наведену підстановку, отримаємо:

.

8. .

Підінтегральна функція є раціональною функцією відносно . Зробимо заміну , .

. Останній інтеграл є інтегралом від правильного раціонального дробу. Для інтегрування розкладемо дріб на суму найпростіших:

, .

 

Порівнюючи коефіцієнти при однакових степенях в обох частинах рівності, отримаємо: , . Отже,

.

9. .

Підінтегральна функція непарна відносно , тому інтеграл можна звести до інтегралу від раціональної функції підстановкою , ; , . Отримаємо: .

Після розкладання дробу на суму найпростіших одержимо:

.

Коефіцієнти розкладання обчислюються звичними методами і дорівнюють: , , . Тоді інтеграл дорівнюватиме:

.

 

Далі розглянемо приклади різних випадків пункту 2.

 

10. (тут - ціле додатне непарне).

 

При заміні на підінтегральна функція не змінює знак.

Тут доцільна підстановка , , .

.

 

11. (, - ціле додатне непарне число).

.

12. .

Підінтегральна функція містить тільки парний степінь синуса, який допускає пониження степеня за формулою: . Отже,

.

 

13. (, - ціле парне від’ємне число).

.

Застосуємо заміну , , . Тоді

.

14. .

Показники і обидва парні від’ємні. Зручною буде заміна , , , . Після підстановки інтеграл набуває вигляду:

.

 

15. .

Показники і обидва непарні. Можна знову застосувати заміну .

.

Перейдемо до розглядання прикладів до пункту 3.

16. .

Перетворимо добуток тригонометричних функцій в суму згідно з наведеною формулою: . Проінтегруємо отриманий вираз:

.

17.

.

 

Завдання для самостійної роботи

Обчислити інтеграли:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

 

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. ;

13. ;

14. ;

15. ;

16. .

 

 

3.6. Інтегрування деяких іраціональних функцій

Насамперед зауважимо, що інтеграл від іраціональної функції не завжди обчислюється в скінченному вигляді. Розглянемо деякі типи таких інтегралів, які за допомогою певної підстановки можна звести до інтеграла від раціональної функції, а отже, знайти його.

1) Інтеграли виду , де > , - натуральні числа, обчислюються за допомогою підстановки , де - спільний знаменник дробів .

2) Інтеграли виду ,

де - дійсні числа, причому (бо у противному випадку відношення є сталим і підінтегральна функція в цьому разі є раціональною функцією від ) за допомогою підстановки зводяться до інтегралів від раціональної функції змінної .

3) а) Інтеграли виду вилученням повного квадрату під радикалом зводяться до табличних інтегралів:

, ;

б) інтеграли виду за допомогою підстановки зводяться до інтегралів попереднього виду.

4) Для перелічених нижче видів іраціональностей використовуються тригонометричні підстановки, що дозволяють прийти до інтегралів від тригонометричних функцій і .

Розглянемо випадки:

а) для інтегралів виду застосовується підстановка або ;

б) для інтегралів виду застосовується підстановка або ;

в) для інтегралів виду підстановка або дає змогу позбутися іраціональності.

 

Зразки розв’язування задач

Обчислити інтеграли.

 

1. .

Найменшим спільним кратним показників коренів є . Виконаємо підстановку , , , .

.

Отримали інтеграл від неправильного раціонального дробу. Виділивши цілу частину дробу і виконавши почленне ділення в отриманому правильному дробу, матимемо:

 

.

Повернемось до початкової змінної, враховуючи що . Тоді .

2. .

Для інтегрування отриманого раціонального дробу запишемо його у вигляді суми найпростіших дробів:

.

Невизначені коефіцієнти знайдемо порівнянням коефіцієнтів при однакових степенях в лівій та правій частинах рівності: .Отримаємо: .

Шуканий інтеграл матиме вигляд:

.

3.

.

4.

.

5.

.

6.

.

7. .

Введемо підстановку . Тоді , , , , звідки . Знайдемо : .

Після підстановки отримаємо: . Інтеграл може бути обчислений розкладанням дробу на суму найпростіших дробів. Розглянемо інший спосіб. Проінтегруємо частинами:

 

.

Повернувшись до початкової змінної, маємо:

.

8. .

Виділимо під коренем повний квадрат, звівши тим самим інтеграл до табличного:

.

9. .

Перетворимо підкореневий вираз:

.

Тоді інтеграл має вигляд:

.

10. .

Використаємо підстановку , .

.

Внесемо в знаменнику під корінь і отримаємо:

.

11. .

Обчислимо даний інтеграл за допомогою заміни . Тоді , , .

Маємо: .

Обчислимо отриманий інтеграл, використовуючи формулу пониження степеня: .

Отримаємо:

.

Зауваження. У перетвореннях використовуються тотожності:

, .

 

12.

.

Враховуючи, що , маємо далі:

.

13.

.

Зауваження. У перетвореннях використовуються тотожності:

, .

Завдання для самостійної роботи

Обчислити інтеграли:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. .

Л І Т Е Р А Т У Р А

1. Дубовик В.П., Юрик І.І. Вища математика: Навч. посібник. – К.: А.С.К., 2001.

2. Овчинников П.П. та ін. Вища математика: Підручник. У 2 ч. – К.: Техніка, 2004.

3. Шипачёв В.С. Высшая математика: Учебник для вузов. – М.: Высшая школа, 1998.

4. Шкіль М.І., Колесник Т.В. Вища математика. У 3-х кн.. – К: Либідь, 1994.

5. Вища математика: Збірник задач: Навч. посібник / За ред. В.П. Дубовика, І.І. Юрика. – К.: А.С.К., 2004.

6. Шипачёв В.С. Задачник по высшей математике: Учебное пособие для вузов.- М.: Высшая школа, 2002.

7. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2-х ч.: Учебное пособие для вузов. – М.: Высшая школа, 2000.

 

 

Навчальне видання

 

Кадильникова Тетяна Михайлівна

Шинковська Iрина Леонідівна

Заєць Iрина Петрівна

Запорожченко Олена Євгенівна

Бас Тетяна Петрівна

 

ВИЩА МАТЕМАТИКА

В ПРИКЛАДАХ ТА ЗАДАЧАХ

Частина II

Навчальний посібник

 

 

Тем. план 2010, поз.250

 

 

Підписано до друку 27.10.2010. Формат 60x84 _1/16 Папір друк. Друк плоский.

Облік.-вид.арк. 5,30. Умов. друк. арк.5,22. Тираж 100 пр. Замовлення №.

 

Національна металургійна академія України

49600, м. Дніпропетровськ – 5, пр. Гагаріна, 4

____________________________________________

Редакційно-видавничий відділ НМетАУ