Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь FAQ Написать работу КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Повний диференціал функції. Похідні складених функційСодержание книги
Похожие статьи вашей тематики
Поиск на нашем сайте
Повний приріст функції визначається за формулою , (2.1) де і - прирости незалежних змінних. Повним диференціалом функції називається головна лінійна відносно і частина приросту функції, яка обчислюється за формулою , (2.2) де , . Для наближеного обчислення значення функції двох змінних користуються наближеною рівністю . (2.3) Ця наближена рівність тим точніша, чим менше величини і . Нехай - функція двох змінних і , кожна з яких, в свою чергу, є функцією незалежної змінної : , . Тоді функція є складеною функцією змінної . Похідну цієї функції знаходять за формулою . (2.4) Зокрема, якщо , а , то . (2.5) Нехай - функція двох змінних та , які також залежать від змінних та : , . Тоді функція є складеною функцією незалежних змінних та , а її частинні похідні по цим змінним обчислюються за формулами: (2.6)
Зразки розв’язування задач 1. Знайти повний диференціал функцій: а) . Знайдемо частинні похідні: ; . За формулою (2.2) будемо мати: . б) . ; . Отже, . в) . ; . Будемо мати: . г) . ; . Тоді отримаємо: . 2. Обчислити наближено за допомогою повного диференціала: . Розглянемо функцію , тоді ; . Покладемо, що , , обчислимо , . Тоді . Знаходимо частинні похідні і їх значення в точці , а саме , тоді ; , тоді . Повний диференціал . Користуючись формулою (2.3), отримаємо: , а саме: . 3. Знайти , якщо , , . Функція є складеною функцією змінної , тому за формулою (2.4) отримаємо: . Будемо мати: , , , . Тоді шукана похідна запишеться у вигляді: . Підставляючи замість і їхні вирази через , дістанемо: . 4. Знайти , якщо , , . Функція є складеною функцією змінної , тому її похідна обчислюватиметься за формулою (2.4): . Будемо мати: , , , . Тоді . 5. Знайти , якщо , . Згідно з формулою (2.5): . Обчислимо: , , . Тоді . Підставляючи замість його значення через , дістанемо: . 6. Знайти і , якщо , , . Функція є складеною функцією змінних та . Для обчислення її похідних застосуємо формули (2.6). Будемо мати: , . Знайдемо частинні похідні: , , , , , . Підставляючи, отримаємо: , . Замінюючи і виразами через і , остаточно дістанемо: , . 7. Знайти і , якщо , , . Як і в попередньому прикладі - складена функція змінних та . Обчислимо: , , , , , . За формулами (2.6) маємо: , .
Завдання для самостійної роботи 1. Знайти повний диференціал функцій: а) ; б) ; в) . 2. Обчислити наближено . 3. Знайти , якщо , , . 4. Знайти , якщо , . 5. Знайти і , якщо , , .
Частинні похідні вищих порядків. Похідні неявно заданих функцій Якщо задано функцію і обчислені її частинні похідні і , то вони також є функціями незалежних змінних і , а тому від кожної із них можна обчислити похідні як по змінній так і по змінній . Частинні похідні від частинних похідних першого порядку називаються частинними похідними другого порядку. Вони позначаються: , , , . Аналогічно означаються і позначаються частинні похідні вищих порядків. Частинні похідні, які відмінні одна від одної лише порядком диференціювання, називаються мішаними похідними. Вони є рівними між собою при умові їх неперервності, тобто . Похідна від неявної функції, яку задано рівнянням може бути обчислена за формулою: . (2.7) Частинні похідні неявної функції , заданої рівнянням , можуть бути обчисленні за формулами: , . (2.8)
Зразки розв’язування задач 1. Знайти частинні похідні другого порядку: а) . Знайдемо перші похідні: , . Знайдемо другі похідні: , , , . б) . , ; , , , . в) . , ; , , . 2. Перевірити, що для функції . Знаходимо перші похідні: , . Обчислимо мішані похідні другого порядку: , . Як бачимо, . 3. Перевірити, що функція задовольняє рівняння . Знайдемо частинні похідні першого та другого порядку, які є в даному рівнянні: , ; . Підставляємо знайдені похідні в наше рівняння: або . Отримаємо: , а саме . Ми отримали тотожність, тому функція задовольняє дане рівняння. 4. Знайти похідну від функцій, заданих неявно: а) . . Знайдемо частинні похідні: , . За формулою (2.7) маємо: . б) . . , . За формулою (2.7) маємо: . в) . . Тоді , . Отримаємо: . 5. Знайти та від неявно заданих функцій: а) . . Обчислимо , , . Зауважимо, що у кожному випадку беручи похідну по одній змінній, дві другі вважаються сталими. За формулами (2.8) маємо: , . б) . . Обчислимо , , . Тоді будемо мати: , . 6. . Знайти та у точці . . Знайдемо , , . За формулами (2.8): , тоді . , тоді .
Завдання для самостійної роботи
1. Знайти частинні похідні другого порядку: а) ; б) ; в) . 2. Показати, що функція задовольняє рівняння . 3. . Знайти , . 4. Знайти від функцій, заданих неявно: а) ; б) . 5. Знайти та , якщо .
|
||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-06-26; просмотров: 767; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.220.85.96 (0.007 с.) |