Основні теореми диференціального числення . Правило лопіталя.

 

Теорема Лагранжа. Якщо функція у=f(x) неперервна на [a,b] і має похідну в усіх точках

інтервала (а;b), то всередині цього інтервалу існує хоч би одна точка с

(а <c<b) така,що виконується рівність

 

.

 

Теорема Ролля. Якщо функція у=f(x) неперервна на відрізку [a;b],диференційовна в усіх

внутрішніх точках цього відрізка,а на його кінцях приймає рівні значен-

ня.то похідна f`(x) дорівнює нулю хоч би в одній внутрішній точці с

(a<c<b) цього відрізка.

Правило Лопіталя. Нехай f(x) та g(x)-неперервні та мають похідні в усіх х а з околу точ-

ки х=а,а в точці а рівні нулю або нескінченності.Тоді границя відно-

шення функцій дорівнює границі відношення їх похідних,якщо остання

існує, тобто

.

 

Якщо відношення знову є невизначеністю вигляду або і похідні f`(x) та

g`(x) задовільняють умовам правила Лопіталя, то для обчислення границі можна засто-совувати правило Лопіталя вдруге і т. д.

 

Приклад. Обчислити .

В данному випадку та задовольняють умовам правила Лопіталя.Відно-

шення їх є невизначеністю вигляду при х . Застосувавши правило Лопіталя,

одержуємо:

.

 

ЗАВДАННЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ.

 

Обчислити границі:

 

1.

 

2.

 

3.

 

4.

 

Застосування диференціала до наближених обчислень

 

Головна частина приросту функції, яка лінійно залежить від приросту аргумента,називається диференціалом функції, позначається dy і обчислюється згідно

формули dy=f`() .

Диференціал використовується для обчислення наближеного значення приросту функції

та наближеного значення фукції f(x+ x) f(x)+dу.

 

Приклад. Користуючись поняттям диференціала функції, знайти наближене значення

приросту функції f(x)= при зміні аргумента х від 5 до 5,01.

Розв’язування. , f`(x)= , f`(5)= , х=5,01-5=0,01

 

.

 

Приклад. Знайти наближене значення функції у= при х=2,004.

 

Розв’язування. f(x+ =f(2,004)=f(2+0,004) f(2)+dу

f(2)= , f`(x)= , f`(2)=

dу= 0,004=0,002 f(2,004)=2+0,002=2,002.

 

Література. В.Т.Лисичкин, И.Л.Соловейчик. Математика.

В.В.Барковський, Н.В.Барковська. Математика для економістів.

 

 

ІНДИВІДУАЛЬНІ СЕМЕСТРОВІ ЗАВДАННЯ

 

 

Знайти наближене значення приросту функції при заданій зміні аргументу

 

 

1. у= від 3 до 3.1

2. у= при х=3 і

3.у= ln x при х=10 і

4.у= при х=2 і

5. у= при х=3 і

6. у= при х=1 і

7. у= від 1 до 1.02

8. у= при х=2 і

9. у= при х=3 і

10. у= при х=2 і

 

Обчислити значення функцій

 

11. у= при х=10.03

12. у= при х=3.002

13. у= при х=24.99

14. у= при х= 1.96

15.

16. 24.

17. 25.

18. 26.

19. 27.

20. 28.

21. 29.

22. 30.

23.

 

 

ТЕМА 2. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ БАГАТЬОХ

ЗМІННИХ.(10 ГОД.)

 

План.

 

1.Знаходження похідних вищих порядків функцій багатьох змінних.

2.Застосування повного диференціала функцій двох змінних для наближених обчислень.

3.Знаходження екстремумів функцій багатьох змінних.

4.Найбільше та найменше значення функції в замкнутій області.

5.Розв’язування завдань на знаходження умовного екстремуму функцій.

 

Література. В.В.Барковський, Н.В.Барковська.Математика для економістів. Ч.1. ст.238-257.

 

Знаходження частинних похідних вищих порядків функцій багатьох змінних.

 

Частинними похідними другого порядку функції z=f(x;у) називаються частинні похідні від її частинних похідних першого порядку.

Позначення частинних похідних другого порядку:

.

Аналогічно визначаються і позначаються частинні похідні третього та вищих порядків.

Наприклад: .

Приклад. Z=ylnx. Знайти , , .

 

Розв’язування. Знайдемо частинні похідні першого порядку ,

; .

Диференціюємо повторно: .

ІНДИВІДУАЛЬНІ СЕМЕСТРОВІ ЗАВДАННЯ

 

Знайти частинні похідні другого порядку функцій двох змінних

1. z=xy+sin(x+y) 2.z=

3.z= 4.z=x sinxy+y cosxy

5.z=sin(x+cosy) 6.z=

7.z= cos(x+y) 8.z=

9.z= 10.z=

11.z= 12.z=

13.z= 14.z=

15.z= 16.z=

17.z= 18. z=ylnx

19.z= 20.z=x cos(xy)+y sin(xy)

21.z=ln(x+y ) 22.z=xy sin

23.z=siny lnx +e lny 24.z=ln(x+y)

25.z=e 26.z=x ln(x+y)

27.z=ln(x +y ) 28.z=

29.z=2x 30.z=x sin(xy ).

 

Застосування повного диференціала функцій двох змінних для наближених

Обчислень.

 

Означення. Головна частина повного приросту функції двох змінних, яка лінійно

залежить від та , називається повним диференціалом функції

z=f(x;y) і позначається dz або df(x;y).

Отже, повний диференціал функції двох змінних можна знайти за допомогою формули

dz= .

За допомогою диференціала можна знаходити наближене значення приросту функції

, а також знаходити наближене значення функції в заданій точці

.

 

Приклад. Знайти наближене значення функції z=x +2xy+y в точці М(1,03;1,97).

 

Розв'язування. z(1+0,03; 2-0,03) z(1; 2) +

z(1;2)= 1 +2 =1+4+8=13

=

Z(1,03; 1,97) 13+0,18-0,42= 12,76.

 

 

ІНДИВІДУАЛЬНІ СЕМЕСТРОВІ ЗАВДАННЯ

 

 

Знайти наближене значення функцій в даній точці

 

1. z= х+3ху +у М(1,02; 1,98)

2. z=x+x М(1,04; 1,96)

3. z=x М(1,06; 2,02)

4.z=x+2x y+y М(1,02;1,04)

5.z=x +y +2x М(1,04; 1,98)

6.Z=2xy+y М(2,02; 1,97)

7.z= x +xy+y М(3,02;2,98)

8.z=x +xy +y М(0,98; 1,04)

9.z=4x +xy +y М(0,96;0,98)

10.z=3x +xy+y М(1,94; 1,96)

11.z=x +xy +2xy М(2,96; 1,02)

12.z=x +3xy+y М(1,02;0,96)

13.z= x +4xy+y М(2,02; 1,96)

14.z=x+3y +xy М(1,04; 2,98)

15.z=x +2xy+y М(1,02; 1,94)

16. z=x +xy +y М(1,98;2,02)

17. z=x +xy +2xy М(1,04;2,04)

18. z= 2x+3y +xy М(2,08; 1,94)

19. z=x +2x y+y М(2,01; 3,02)

20. z= x+2x y+y М(1,94; 2,96)

21.z=x+2x y +y М(1,04; 1,92)

22. z= 3x +xy+y М(1,03; 2,01)

23. z= 2x+x y+y М(2,02;2,96)

24. z= x +4x y+y М(2,04; 1,06)

25. z= 3x +2xy +y М(1,98;1,96)

26. z=x +xy+y М(1,94; 2,04)

27. z= 2x +y +xy М(2,03; 1,98)

28. z=x +y x+y М(1,01; 2,02)

29. z= x +x y +y М(1,02; 2,98)

30. z= 2x +xy +y М(1,01; 1,92)