Геометричний та механічний зміст похідної. Дотична до кривої.

ГЕОМЕТРИЧНИЙ ТА МЕХАНІЧНИЙ ЗМІСТ ПОХІДНОЇ.ДОТИЧНА ДО КРИВОЇ.

Механічний зміст похідної: похідна S`(t) є величиною миттєвої швидкості в момент t тіла, що рухається за законом S=S(t)/

Геометричний зміст похідної: похідна f`(x) дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної до графіка функції у=f(x) в точці з абсцисою х.

Рівняння дотичної до графіка функції у=f(x) у точці з абсцисою має вигляд

У=

 

ЗАВДАННЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ

 

 

1.В якій точці дотична до графіка функції у= паралельна осі абсцис.

 

2.При якому значенні а крива у= перетинає вісь Ох під кутом .

 

3.Скласти рівняння дотичної до параболи у= в точці (3;4).

 

4.Два тіла рухаються прямолінійно: одне згідно закону ,а друге – згідно закону .Знайти момент часу, коли швидкості цих тіл будуть рівними.

ЗВ'ЯЗОК МІЖ НЕПЕРЕРВНІСТЮ ТА ДИФЕРЕНЦІЙОВНІСТЮ ФУНКЦІЙ.

 

ТЕОРЕМА. Якщо функція у=f(х) диференційовна в деякій точці , то вона в цій точці

неперервна.

 

НАСЛІДОК.З цієї теореми випливає, що неперервність функції є необхідною умовою

Диференційовності функції. Це означає, що в точках розриву функція не

має похідних, тобто вона не диференційовна.

ОСНОВНІ ТЕОРЕМИ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНОГО ЧИСЛЕННЯ. ПРАВИЛО ЛОПІТАЛЯ.

 

Теорема Лагранжа. Якщо функція у=f(x) неперервна на [a,b] і має похідну в усіх точках

інтервала (а;b), то всередині цього інтервалу існує хоч би одна точка с

(а <c<b) така,що виконується рівність

 

.

 

Теорема Ролля. Якщо функція у=f(x) неперервна на відрізку [a;b],диференційовна в усіх

внутрішніх точках цього відрізка,а на його кінцях приймає рівні значен-

ня.то похідна f`(x) дорівнює нулю хоч би в одній внутрішній точці с

(a<c<b) цього відрізка.

Правило Лопіталя. Нехай f(x) та g(x)-неперервні та мають похідні в усіх х а з околу точ-

ки х=а,а в точці а рівні нулю або нескінченності.Тоді границя відно-

шення функцій дорівнює границі відношення їх похідних,якщо остання

існує, тобто

.

 

Якщо відношення знову є невизначеністю вигляду або і похідні f`(x) та

g`(x) задовільняють умовам правила Лопіталя, то для обчислення границі можна засто-совувати правило Лопіталя вдруге і т. д.

 

Приклад. Обчислити .

В данному випадку та задовольняють умовам правила Лопіталя.Відно-

шення їх є невизначеністю вигляду при х . Застосувавши правило Лопіталя,

одержуємо:

.

 

ЗАВДАННЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ.

 

Обчислити границі:

 

1.

 

2.

 

3.

 

4.

 

Застосування диференціала до наближених обчислень

 

Головна частина приросту функції, яка лінійно залежить від приросту аргумента,називається диференціалом функції, позначається dy і обчислюється згідно

формули dy=f`() .

Диференціал використовується для обчислення наближеного значення приросту функції

та наближеного значення фукції f(x+ x) f(x)+dу.

 

Приклад. Користуючись поняттям диференціала функції, знайти наближене значення

приросту функції f(x)= при зміні аргумента х від 5 до 5,01.

Розв’язування. , f`(x)= , f`(5)= , х=5,01-5=0,01

 

.

 

Приклад. Знайти наближене значення функції у= при х=2,004.

 

Розв’язування. f(x+ =f(2,004)=f(2+0,004) f(2)+dу

f(2)= , f`(x)= , f`(2)=

dу= 0,004=0,002 f(2,004)=2+0,002=2,002.

 

Література. В.Т.Лисичкин, И.Л.Соловейчик. Математика.

В.В.Барковський, Н.В.Барковська. Математика для економістів.

 

 

ІНДИВІДУАЛЬНІ СЕМЕСТРОВІ ЗАВДАННЯ

 

 

Знайти наближене значення приросту функції при заданій зміні аргументу

 

 

1. у= від 3 до 3.1

2. у= при х=3 і

3.у= ln x при х=10 і

4.у= при х=2 і

5. у= при х=3 і

6. у= при х=1 і

7. у= від 1 до 1.02

8. у= при х=2 і

9. у= при х=3 і

10. у= при х=2 і

 

Обчислити значення функцій

 

11. у= при х=10.03

12. у= при х=3.002

13. у= при х=24.99

14. у= при х= 1.96

15.

16. 24.

17. 25.

18. 26.

19. 27.

20. 28.

21. 29.

22. 30.

23.

 

 

ТЕМА 2. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ БАГАТЬОХ

ЗМІННИХ.(10 ГОД.)

 

План.

 

1.Знаходження похідних вищих порядків функцій багатьох змінних.

2.Застосування повного диференціала функцій двох змінних для наближених обчислень.

3.Знаходження екстремумів функцій багатьох змінних.

4.Найбільше та найменше значення функції в замкнутій області.

5.Розв’язування завдань на знаходження умовного екстремуму функцій.

 

Література. В.В.Барковський, Н.В.Барковська.Математика для економістів. Ч.1. ст.238-257.

 

Застосування повного диференціала функцій двох змінних для наближених

Обчислень.

 

Означення. Головна частина повного приросту функції двох змінних, яка лінійно

залежить від та , називається повним диференціалом функції

z=f(x;y) і позначається dz або df(x;y).

Отже, повний диференціал функції двох змінних можна знайти за допомогою формули

dz= .

За допомогою диференціала можна знаходити наближене значення приросту функції

, а також знаходити наближене значення функції в заданій точці

.

 

Приклад. Знайти наближене значення функції z=x +2xy+y в точці М(1,03;1,97).

 

Розв'язування. z(1+0,03; 2-0,03) z(1; 2) +

z(1;2)= 1 +2 =1+4+8=13

=

Z(1,03; 1,97) 13+0,18-0,42= 12,76.

 

 

ІНДИВІДУАЛЬНІ СЕМЕСТРОВІ ЗАВДАННЯ

 

 

Знайти наближене значення функцій в даній точці

 

1. z= х+3ху +у М(1,02; 1,98)

2. z=x+x М(1,04; 1,96)

3. z=x М(1,06; 2,02)

4.z=x+2x y+y М(1,02;1,04)

5.z=x +y +2x М(1,04; 1,98)

6.Z=2xy+y М(2,02; 1,97)

7.z= x +xy+y М(3,02;2,98)

8.z=x +xy +y М(0,98; 1,04)

9.z=4x +xy +y М(0,96;0,98)

10.z=3x +xy+y М(1,94; 1,96)

11.z=x +xy +2xy М(2,96; 1,02)

12.z=x +3xy+y М(1,02;0,96)

13.z= x +4xy+y М(2,02; 1,96)

14.z=x+3y +xy М(1,04; 2,98)

15.z=x +2xy+y М(1,02; 1,94)

16. z=x +xy +y М(1,98;2,02)

17. z=x +xy +2xy М(1,04;2,04)

18. z= 2x+3y +xy М(2,08; 1,94)

19. z=x +2x y+y М(2,01; 3,02)

20. z= x+2x y+y М(1,94; 2,96)

21.z=x+2x y +y М(1,04; 1,92)

22. z= 3x +xy+y М(1,03; 2,01)

23. z= 2x+x y+y М(2,02;2,96)

24. z= x +4x y+y М(2,04; 1,06)

25. z= 3x +2xy +y М(1,98;1,96)

26. z=x +xy+y М(1,94; 2,04)

27. z= 2x +y +xy М(2,03; 1,98)

28. z=x +y x+y М(1,01; 2,02)

29. z= x +x y +y М(1,02; 2,98)

30. z= 2x +xy +y М(1,01; 1,92)

 

Тема 4. РЯДИ. (14 ГОД.)

 

План.

1. Властивості збіжних рядів.

2. Ряд геометричноЇ прогресіЇ та гармонічний ряд.

3. Розв’язування завдань на знаходження області збіжності степеневих рядів.

4. Ряд Тейлора. Ряд Маклорена.

5. Розклад елементарних функцій у ряд Маклорена.

6. Застосування формули Тейлора для наближених обчислень.

 

Література. Барковський В.В.,Барковська Н. В. Математика для економістів. Вища

математика.

 

ЗАВДАННЯ САМОСТІЙНОї РОБОТИ

 

Знайти область збіжності степеневих рядів

 

1.

2.

ГЕОМЕТРИЧНИЙ ТА МЕХАНІЧНИЙ ЗМІСТ ПОХІДНОЇ.ДОТИЧНА ДО КРИВОЇ.

Механічний зміст похідної: похідна S`(t) є величиною миттєвої швидкості в момент t тіла, що рухається за законом S=S(t)/

Геометричний зміст похідної: похідна f`(x) дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної до графіка функції у=f(x) в точці з абсцисою х.

Рівняння дотичної до графіка функції у=f(x) у точці з абсцисою має вигляд

У=

 

ЗАВДАННЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ

 

 

1.В якій точці дотична до графіка функції у= паралельна осі абсцис.

 

2.При якому значенні а крива у= перетинає вісь Ох під кутом .

 

3.Скласти рівняння дотичної до параболи у= в точці (3;4).

 

4.Два тіла рухаються прямолінійно: одне згідно закону ,а друге – згідно закону .Знайти момент часу, коли швидкості цих тіл будуть рівними.

ЗВ'ЯЗОК МІЖ НЕПЕРЕРВНІСТЮ ТА ДИФЕРЕНЦІЙОВНІСТЮ ФУНКЦІЙ.

 

ТЕОРЕМА. Якщо функція у=f(х) диференційовна в деякій точці , то вона в цій точці

неперервна.

 

НАСЛІДОК.З цієї теореми випливає, що неперервність функції є необхідною умовою

Диференційовності функції. Це означає, що в точках розриву функція не

має похідних, тобто вона не диференційовна.