Знаходження умовного екстремуму методом Лагранжа .

 

Екстремум функціЇ Z=f(х;у) при виконанні умови (х;у)=0 називають умовним

екстремумом функціЇ.

Умовні екстремуми часто використовуються при дослідженні опти, мізації багатьох

економічних та соціальних проблем.

Для знаходження умовного екстремуму методом Лагранжа необхідно:

 

1.Записати функцію Лагранжа вигляду

L(x,y, )=f(x;y) + (x,y)

2.знайти критичні точки М (х ,у , ) функції Лагранжа, використовуючи необхідні

умови існування екстремуму:

 

3.перевірити в кожній критичній точці достатні умови існування екстремуму:

а) якщо в точці М (х ,у ) визначник третього порядку

 

 

Додатний, тоді точка M_k є точкою максимуму і

Б) якщо визначник , тоді точка M_k є точкою мінімуму і

 

Приклад 9. Знайти екстремум функції при умові, що

Розв'язування. Будемо шукати умовний екстремум з використанням функції Лагранджа

Необхідні умови існування тепер мають вигляд

Виключаючи з цієї системи λ, одержимо:

→ →

Отже критичними точками будуть:

Для перевірки достатніх умов існування екстремуму запишемо визначник в довільній точці M(x,y), враховуючи

Тепер можна знайти значення цього визначника в кожній критичній точці і використати достатні умови:

 

ЗАВДАННЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ

 

Знайти умовні екстремуми функцій:

1) при

2) при

 

Тема 3. ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ. (22 ГОД.)

 

План.

 

1. Первісна. Основна властивість первісноЇ.

2. Невизначений інтеграл. Властивості невизначеного інтегралу. Таблиця інтегралів.

3. Знаходження невизначених інтегралів різними методами.

4. Означення визначеного інтегралу та його геометричний зміст.

5. Властивості визначеного інтегралу. Формула Ньютона- Лейбніца.

6. Обчислення визначених інтегралів за допомогою формули прямокутників.

7. Обчислення визначених інтегралів за допомогою формули трапецій.

8. Обчислення площ фігур, обмежених даними лініями.

9. Розв’язування завдань на знаходження подвійних інтегралів.

 

Література. Барковський В.В., Барковська Н.В. Математика для економістів. Вища

математика.

Валуце І.І., Дилигул Г.Д. Математика для технікумів.

Лисичкін В.В., Соловейчик І. Л. Математика.

Індивідуальні семестрові завдання

Знайти інтеграли:

 

 

 

 

 

Обчислення визначених інтегралів за допомогою формул прямокутників

При обчисленні інтегралу за формулами прямокутників підінтегральна функція заміняється «ступінчатою функцією», яка на кожному з відрізків має стале значення, рівне значенню функції на одному з кінців цього відрізка.

 

Нехай, наприклад, на кожному з відрізків ступінчата функція приймає значення, рівні значенню функції на лівому кінці цього відрізку, тобто рівні . Тоді площа криволінійної трапеції (а відповідно, і значення шуканого інтеграла) вважається наближено рівній сумі площ прямокутників з висотами і основами :

.

Отже,

. (1)

Якщо ж значення ступінчатої функції на кожному з відрізків співпадають зі значеннями функції на правих кінцях цих відрізків, то отримаємо формулу:

. (2)

Формули (1) і (2) називаються формулами прямокутників.

Приклад:

Обчисліть за формулами прямокутників.

Розділимо відрізок на частин. Тоді . Складаємо таблицю значень підінтегральної функції.

 

 

За формулою прямокутників (1) отримаємо:

 

За формулою прямокутників (2) отримаємо:

 

 

Обчислення визначених інтегралів за допомогою формул трапецій

При обчисленні інтегралу за допомогою формули трапецій підінтегральна функція замінюється функцією, графік якої представляє собою ламану лінію, ланки якої з’єднують кінці ординат і .

 

 

 

В цьому випадку площа криволінійної трапеції (а, відповідно, і значення шуканого інтеграла) юбчислюється наближено рівній сумі площ звичайних трапецій з основами і і висотою :

Отже,

(3)

Формула (3) називається формулою трапецій.

Приклад:

Обчисліть за формулою трапецій.

Розділимо відрізок на частин. Тоді . Складаємо таблицю значень підінтегральної функції.

 

 

За формулою трапецій (3) отримаємо:

 

Завдання самостійної роботи

1. Обчисліть за формулами прямокутників наближене значення інтегралу:

при з двома десятковими знаками.

1. Обчисліть за формулою трапеції наближене значення інтегралу:

при з чотирма десятковими знаками.