Схема розв'язання однорідного диференціального рівняння

Схема розв'язання однорідного диференціального рівняння

1. Спершу потрібно застосувати підстановку y=z*x, де z=z(x) – нова невідома функція (в такий спосіб вихідне рівняння зводиться до диференціального рівняння з відокремлюваними змінними (ДРВЗ).
2.Похідна добутку y'=(z*x)'=z'*x+z*x'=z'*x+z або в диференціалах dy=d(zx)=zdx+xdz.
3.Підставляємо нову функцію у та її похідну y' (або dy) в ДР з відокремлюваними змінними відносно x та z.
4.Розвязавши диференціальне рівняння з відокремлюваними змінними, зробимо обернену заміну y=z*x, тому z= y/х, і отримаємо загальний розв'язок (загальний інтеграл) диференціального рівняння.
5.Якщо задано початкову умову y(x₀)=y₀, то знаходимо частинний розв'язок задачі Коші. В теорії все звучить легко, протее на практиці не у всіх так весело виходить рішати диф. рівняння. Тому для поглиблення знань розглянемо поширені приклади. На легких завданнях немає особливо, що Вас навчити, тому зразу перейдемо до складніших.

…Білет 2… 1. Визначником третього порядку знаходять за правилом трикутників

Це правило легко запам'ятати, якщо дописати поряд з визначником перший та другий його стовпці.

Даний метод обчислення визначника третього порядку називається правилом Саррюса. В процесі обчислень систем лінійних рівнянь встановлено, що визначники рівні сумі доданків, які визначаються як добуток елементів, взятих по одному водночас з кожного рядка і стовпця. Для системи трьох рівнянь в добуток входить три елементи, чотирьох – чотири і т. д. Кількість доданків в визначнику в загальному рівна факторіалу кількості рівнянь. У випадках нульових коефіцієнтів при невідомих знаходження визначника спрощується. Для обчислення визначників старших порядків використовують правила.

ВЛАСТИВОСТІ ВИЗНАЧНИКІВ

1. Величина визначника не зміниться, якщо його рядки замінити стовпчиками, причому кожен рядок замінюють стовпчиком з тим же самим номером (транспонування).

2. Якщо у визначнику поміняти місцями лише два рядки (або два стовпчики), то визначник змінює знак на протилежний, зберігаючи своє абсолютне значення.

3. Якщо визначник має два однакових стовпчики або два однакових рядки, то він рівний нулеві.

4. Якщо визначник містить два пропорційних рядки (стовпчики), то його значення дорівнює нулю. Якщо елементи деякого рядка (стовпчика) дорівнюють нулю, то і сам визначник дорівнює нулю.

5. Якщо всі елементи деякого рядка (стовпчика) помножити на стале число, то значення визначника також помножиться на це число. Звідси слідує, що спільний множник всіх елементів рядка (стовпчика) можна винести за знак визначника.

2. Лінійне диференціальне рівняння — звичайне диференціальне рівняння, в яке невідома функція та її похідні входять лінійно, тобто рівняння вигляду y⁽ⁿ⁾(x)+g_(n-1)­(x)y^(n-1)(x)+…+g­­₁(x)y(x)=f(x) де g_i(x) та f(x) – функції, що залежать тільки від аргументу х.

…Білет 3…

1. Матрицяминазивають математичні об'єкти, які мають вигляд таблиць з числовими елементами. Ці елементи обрамляють круглими дужками, а самі матриці позначають великими латинськими літерами.

Матриці поділяють на квадратні, прямокутні, одиничні, діагональні, симетричні, верхні трикутні і нижні трикутні, унітрикутні.

Основними операціями над матрицями є додавання, віднімання, множення, транспонування.

2. Лінійним диференціальним рівнянням першого порядку називається рівняння виду y'+p(x)*y=g(x), де p(x) та g(x) – неперервні на певному проміжку функції.

Алгоритм методу Бернуллі

1.Розв'язок лінійного диференціального рівняння необхідно подати у вигляді добутку двох невідомих функцій y=u*v від аргумента u=u(x),v=v(x). Одну з цих функцій можна вибрати довільно, а друга визначається з даного рівняння.
2. За правилом похідна добутку рівна y=u*v,то y'=u'v+uv'.
3.Підставимо запис функції y=u*v та похідної y'=u'v+uv' у рівняння y'+p(x)*y=g(x) і одержимо u'v+uv'+p(x)*u*v= g(x). Згрупуємо другий і третій доданки, винісши спільний множник (u) за дужки і прийдемо до диф. рівняння u'v+u(v'+p(x)*v)=g(x).
4.Спершу визначаємо частинний розв'язок v=v(x), для цього розв'язуємо диф. рівняння v'+p(x)*v=0 і за довільну сталу інтегрування беремо нуль (С=0). Дане рівняння є диференціальним рівнянням з відокремлюваними змінними.
5. Далі підставимо знайдену функцію v=v(x) в вихідне диф. рівняння u'v+uv'+p(x)*u*v= g(x), яке при цьому спроститься до u'v+u*0=g(x), тобто до диференціального рівняння з відокремлюваними змінними u'v(х)=g(x) відносно u(x). З цього рівняння знаходимо u=u(x)+С.
6.Маючи u=u(x) і v=v(x), знаходимо загальний розв'язок через добуток y=u*v=(u(x)+С)* v(x).
7. Якщо задана задача Коші, то з додаткової умови на розв'язок y(x₀)=y₀ довизначаємо константу С.

 

…Білет 4…

1.Матриця A^-1 називається оберненою до матриці A, якщо виконуються наступні рівності Якщо визначник матриці A відмінний від нуля, то матрицю називають неособливою або невиродженою. Для того, щоб матриця мала обернену необхідно і достатньо, щоб вона була невиродженою.

АЛГОРИТМ ЗНАХОДЖЕННЯ ОБЕРНЕНОЇ МАТРИЦІ

Нехай маємо квадратну матрицю і потрібно знайти обернену до неї. Для цього потрібно виконати наступні дії:

1. Знайти визначник матриці . Якщо він не рівний нулю то виконуємо наступні дії. В іншому випадку дана матриця вироджена і для неї не існує оберненої.

2. Знайти алгебраїчні доповнення елементів матриці A. Вони рівні мінорам, помноженим на (-1)^i+j в степені суми рядка і стовпця, для якого шукаємо.

3. Скласти матрицю з алгебраїчних доповнень елементів матриці A та протранспонувати її. Ця матриця називається приєднаною або союзною і позначається "А з хвиькою" .

4. Поділити приєднану матрицю на детермінант . Отримана матриця буде оберненою та задовільнятиме властивостям, які викладені на початку статті.

2. Раціональні функції складають важливий клас функцій, інтеграли від яких завжди виражаються через елементарні функції. Нехай треба знайти

 

Враховуючи рівність , цей інтеграл можна подати як суму інтеграла від многочлена і правильного раціонального дробу:

= dx Інтеграл від многочлена знаходить безпосередньо, а інтеграл від правильного раціонального дробу зводиться за допомогою формули

+…+до інтегралів від елементарних дробів. Отже,встановлено,щоінтегрування довільної раціональної функції зводитьсяДо інтегрування многочлена і скінченного числа елементарних дробів,інтеграли від яких

виражається через раціональні функції,логарифми і арктангенси. Інакше кажучи, будь-яка раціональна функція інтегрується в елементарних функція.

 

 

…Білет 5…

1. Задана система N лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР) з N невідомими коефіцієнтами при яких є елементи матриці A(a_ij), а вільними членами є числа b₁, b₂,..., b_N

Перший індекс i біля коефіцієнтів a_ij вказує, в якому рівнянні знаходиться коефіцієнт, а другий j при якому із невідомих він знаходиться.
Якщо визначник матриці A не дорівнює нулю

то система лінійних алгебраїчних рівнянь має єдиний розв'язок.
Розв'язком системи лінійних алгебраїчних рівнянь називається така впорядкована сукупність N чисел , яка при перетворює кожне з рівнянь системи в правильну рівність.
Якщо праві частини всіх рівнянь системи дорівнюють нулю, то систему рівнянь називають однорідною. У випадку коли деякі з них відмінні від нуля – неоднорідною
Якщо система лінійних алгебраїчних рівнянь має хоч один розв'язок, то вона називається сумісною, в іншому випадку – несумісною.

Якщо розв'язок системи єдиний, то система лінійних рівнянь називається визначеною. У випадку, коли розв'язок сумісної системи не єдиний, систему рівнянь називають невизначеною.
Дві системи лінійних рівнянь називаються еквівалентними (або рівносильними), якщо всі розв'язки однієї системи є розв'язками другої, і навпаки. Еквівалентні (або рівносильні) системи отримуємо з допомогою еквівалентних перетворень.

ТЕОРЕМА КРАМЕРА. Якщо визначник системи N лінійних алгебраїчних рівнянь з N невідомими відмінний від нуля , то ця система має єдиний розв'язок, який знаходиться за формулами Крамера:

- визначники, утворений із заміною j -го стовпця, стовпцем із вільних членів.
Якщо , а хоча б один з відмінний від нуля, то СЛАР розв'язків немає. Якщо ж , то СЛАР має безліч розв'язків. Розглянемо приклади з застосуванням методу Крамера.

Приклад 1.Дано систему трьох лінійних алгебраїчних рівнянь з трьома невідомими. Розв'язати систему за формулами Крамера.

Розв'язок. Знайдемо визначник матриці коефіцієнтів при невідомих.

Так як , то задана система рівнянь сумісна і має єдиний розв'язок. Обчислимо визначники:

За формулами Крамера знаходимо розв'язок системи рівнянь

Отже x₁=1; x₂=3; x₃=5 єдиний розв'язок системи.

2. Визначений інтеграл — в математичному аналізі це інтеграл функції з вказаною областю інтегрування. Визначений інтеграл є неперервним функціоналом, лінійним по підінтегральним функціям і адитивним по області інтегрування. У найпростішому випадку область інтегрування — це відрізок числової осі. Геометричний зміст визначеного інтеграла — це площа криволінійної фігури (криволінійної трапеції), обмеженої віссюабсцис, двома вертикалями на краях відрізка і кривою графіка функції.

Подальші узагальнення поняття дозволяють розширити його на кратні, поверхневі, об'ємні інтеграли, а також на інтеграли на об'єктах ширшої природи з мірою. Існує кілька різновидів визначених інтегралів: інтеграл Рімана, інтеграл Лебега, інтеграл Стілтьєса тощо.

Визначений інтеграл має широке застосування у математиці та фізиці. Розглянемо застосування визначеного інтеграла у геометрії, зокрема для знаходження площ фігур, обмежених графіками функцій, та об’ємів тіл.

Об’єми тіл

Якщо тіло вміщено між двома перпендикулярними до осі Ох площинами, що проходять через точки x=a, х=b, функція S(x) задає площу перерізу тіла площиною, яка проходить через довільну точку х відрізка [ a,b ] і перпендикулярна до осі Ох, то об’єм тіла знайдемо за формулою:

 

 

Якщо тіло одержане в результаті обертання навколо осі Ох криволінійної трапеції, яка обмежена графіком неперервної і невід’ємної на відрізку [ a,b ] функції y=f(x) і прямими x=a, х=b, то об’єм тіла знайдемо за формулою:

 

6білет

1 Маричний метод обчислення СЛАР не такий поширений як метод Крамера, однак він присутній в авчальній програмі з лінійної алгебри і його вивчають як один із способів розв'язання системи рівнянь.
Нехай маємо систему N лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР) з N невідомими x₁, x₂,..., x_N.,коефіцієнтами при яких є елементи матриці A(a_ij), а вільними членами є числа b₁, b₂,..., b_N.

Позначимо через X – матрицю-стовпець невідомих, через B – матрицю-стовпець вільних членів. Тоді попередню систему рівнянь можна записати у вигляді матричного рівняння:
A*X=B
Якщо квадратна матриця A має відмінний від нуля визначник , то для неї існує обернена A^-1. Помноживши зліва в цьому рівнянні на A^-1, одержимо

Враховуючи, що добуток оберненої матриці на саму матрицю дає одиничну , а також формулу , одержимо матричний розв'язок системи
X=A^-1*B
Знаходження матричного розв'язку називається матричним способом розв'язування системи лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР).

 

Приклад 1. Розв'язати систему лінійних рівнянь матричним методом.

Розв'язок. Маємо систему з трьох рівнянь. Позначимо матрицю і вектори літерами

Матричний розв'язок системи алгебраїчних рівнянь шукаємо за формулою X=A^-1*B. Для знаходження оберненої матриці A^-1 обчислимо визначник

 

 

Оскільки він відмінний від нуля , то задана система рівнянь сумісна і має єдиний розв'язок.
Знайдемо транспоновану матрицю A

Обчислимо алгебраїчні доповнення до елементів заданої матриці:

Обернену матрицю отримаємо за формулою

Знайдемо розв'язок СЛАР

Розв'язок системи рівнянь x₁=3; x₂=-5; x₃=-7.

2 Визначений інтеграл — в математичному аналізі це інтеграл функції з вказаною областю інтегрування. Визначений інтеграл є неперервним функціоналом, лінійним по підінтегральним функціям і адитивним по області інтегрування. У найпростішому випадку область інтегрування — це відрізок числової осі. Геометричний зміст визначеного інтеграла — це площа криволінійної фігури (криволінійної трапеції), обмеженої віссюабсцис, двома вертикалями на краях відрізка і кривою графіка функції

Наприклад, потрібно знайти площу фігури обмеженої графіками функцій: y=x²-2x+2 та y= 2+6x- x².

Для розв’язання будемо дотримуватися певного алгоритму дій.

1. Побудуємо в одній системі координат графіки заданих функцій.

2. Знайдемо межі інтегрування (абсциси точок перетину графіків). Для цього прирівняємо праві частини рівнянь, що задають функції. Отримаємо рівняння відносно змінної х, розв’яжемо його, відповідно менше значення буде нижньою межею, а більше – верхнею межею інтегрування.

3. Визначимо за графіком, яка з функцій приймає більші значення на заданому проміжку (обмежує фігуру згори), а яка – менші значення (обмежує знизу). Відповідно до цього складаємо підінтегральний вираз.

Отже розв’язання нашої задачі матиме такий вигляд:

 

7білет

1 Метод Гауса розв'язування системи лінійних алгебраїчних рівнянь полягає в послідовному виключенні змінних і перетворенні системи рівнянь до трикутного (східчастого) вигляду

1. Приклади розв'язання СЛАР методом Гауса

У даному розділі на трьох різних прикладах покажемо, як методом Гаусса можна вирішити СЛАУ.

Приклад 1. Вирішити СЛАУ 3-го порядку.

 

Обнулив коефіцієнти при у другій і третій рядках. Для цього домножити їх на 2 / 3 і 1 відповідно і складемо з першим рядком:

 

Тепер обнулив коефіцієнт при в третьому рядку, домножити другий рядок на 6 і віднімаючи з неї третю:

 

 

В результаті ми привели вихідну систему до трикутного вигляду, тим самим закінчивши перший етап алгоритму.

На другому етапі дозволимо отримані рівняння в зворотному порядку. Маємо:

з третього;

з другого, підставивши отримане ;

з першого, підставивши отримані і .

Переваги методу:менш трудомісткий порівняно з іншими методами;дозволяє однозначно встановити, совместна система чи ні, і якщо сумісна, знайти її рішення;

дозволяє знайти максимальне число лінійно незалежних рівнянь - ранг матриці системи.

2 Неви́значений інтегра́л для функції f — це сукупність усіх первісних цієї функції.

Задача диференціального числення — знаходження похідної від заданої функції y = f(x). Задача інтегрального числення протилежна: потрібно визначити функцію, похідна від якої відома. Фундаментальними поняттями інтегрального числення є поняття первісної та невизначеного інтегралу.

Застосування невизначених інтегралів[ред. • ред. код] в задачах про обчислення швидкості або прискорення руху тіла; в задачах про обчислення визначених інтегралів (див. формулу Ньютона-Лейбніца); при розв'язанні диференціальних рівнянь.

Спосіб підстановки

Спосіб інтегрування частинами. При інтегруванні функції які містять добутки, логарифми і обернені тригонометричні функції буває корисно використовувати спосіб інтегрування частинами.

(1)

За допомогою формули (1) інтегрування знаходження інтеграла

(складається) зводиться до знаходження інтеграла

При практичному застосуванні формули (1) даний підінтегральний вираз представляють у вигляді добутку двох співмножників, які позначаються u і dv. Множник u намагаються вибрати так, щоб u' була простіша v.

 

Білет

1 Геометричним вектором називається направлений відрізок (або впорядкована пара точок). Вектор, в якого початок і кінець співпадають називають, нуль–вектором.

Якщо точка А є початком вектора, а точка В є кінцем цього вектора, то сам вектор позначають . Нуль-вектор позначають . Якщо не вказувати початкової та кінцевої точок, то вектор позначають однією буквою і т.п. Ми розглядаємо вектори, не фіксуючи їх точки прикладання, тобто вільні вектори.

Означення 2. Модулем (довжиною) вектора (або ) називають віддаль від початкової до кінцевої його точок і позначають або . Очевидно .

 

Означення 3. Вектори, які розміщені на одній або паралельних прямих називаються колінеарними.

Нульовий вектор вважається колінеарним довільному іншому вектору, тому що він не має визначеного напрямку.

Означення 4. Два вектори називаються рівними, якщо вони колінеарні, одинаково направлені і мають рівні довжини.

Означення 5. Вектори, які розміщені на одній або паралельних площинах, називаються компланарними.

Означення 6. Добутком вектора на дійсне число (або числа на вектор )називається вектор , такий що 1) ,2) вектори та колінеарні, 3) вектори та направлені однаково, якщо і протилежно направлені при (Якщо , то з рівності 1 слідує, що ).

Теорема 1. Нехай дано вектор . Для довільного колінеарного йому вектора існує єдине число , таке, що .

Дійсно, таким числом є , якщо вектори та направлені одинаково та , якщо вектори протилежно направлені.

Означення 7. Нехай, задано три вектори . Побудуємо ламану так: з кінця першого вектора будуємо вектор рівний другому вектору , потім з кінця цього вектора будуємо вектор рівний вектору . Вектор, що замикає цю ламану називається сумою векторів . Початок його співпадає з початком , кінець з кінцем вектора рівного (Рис.1).

 

Для випадку двох векторів та сумою є діагональ паралограма побудованого на цих векторах (рис.2).

 

Діючи, як в означенні 7, можна будувати суму довільної скінченої кількості векторів.

Теорема 2. Для довільних векторів та чисел справедливі співвідношення

 

.

 

Ці співвідношення легко перевіряються, виходячи з означень 6 та 7. Справедливість перших двох співвідношень видно з рис. 2 та рис.1.

Різницею векторів та називають .

Очевидно .

Розглянуті операції множення вектора на число та додавання векторів називають лінійними операціями над векторами.

Вектор одержаний в результаті застосування декількох лінійних операцій називають лінійною комбінацією векторів , числа при цьому називають коефіцієнтами цієї лінійної комбінації. Очевидно, коли всі коефіцієнти лінійної комбінації рівні нулеві, то в результаті одержується нуль–вектор. Нуль–вектор можна одержати також при відмінних від нуля коефіцієнтах.

 

2 Максимумом (мінімумом) функції двох змінних за означенням, це як і для функцій двох змінних максимальне (мінімальне) її значення. На площині це "горби" і "ями", в просторі – те саме тільки двовимірне зображення. Уявити як правило легко, а от для заданої функції знайти точки екстремуму може не кожен.

Інструкція

1. Диференціал (від лат. «Різницю») — це лінійна частина повного приросту функції. Диференціал прийнято позначати df, де f — функція. Функцію одного аргументу іноді зображають dxf або dxF. Припустимо, є функція z = f (x, y), функція двох аргументів x і y. Тоді повний приріст функції матиме вигляд:

f (x, y) — f (x_0, y_0) = f’_x (x, y) * (x — x_0) + f’_y (x, y) * (y — y_0) + α, де α — нескінченно мала величина (α → 0), яка ігнорується при визначенні похідної, оскільки lim α = 0.

2. Диференціал функції f по аргументу x є лінійною функцією щодо збільшення (x — x_0), тобто df (x_0) = f’_x_0 (Δx).

3. Геометричний сенс диференціала функції: якщо функція f дифференцируема в точці x_0, то її диференціал в цій точці є прирощення ординати (y) дотичній лінії до графіка функції.

Геометричний сенс повного диференціала функції двох аргументів — це тривимірний аналог геометричного сенсу диференціала функції одного аргументу, тобто це збільшення аплікати (z) дотичної площини до поверхні, рівняння якої задано дифференцируемой функцією.

4. Можна записати повний диференціал функції через приросту функції і аргументів, це більш загальноприйнята форма запису:

Δz = (δz / δx) dx + (δz / δy) dy, де δz / δx — похідна функції z по аргументу x, δz / δy — похідна функції z по аргументу y.

Кажуть, що функція f (x, y) дифференцируема в точці (x, y), якщо при таких значеннях x і y можна визначити повний диференціал цієї функції.

Вираз (δz / δx) dx + (δz / δy) dy і є лінійна частина приросту вихідної функції, де (δz / δx) dx — диференціал функції z за x, а (δz / δy) dy — диференціал по y. При диференціюванні по одному з аргументів передбачається, що інший аргумент чи аргументи (якщо їх декілька) — постійні величини.

5. Приклад.

Знайдіть повний диференціал наступної функції: z = 7 * x ^ 2 + 12 * y — 5 * x ^ 2 * y ^ 2.

Рішення.

Використовуючи припущення, що y — постійна величина, знайдіть приватну похідну по аргументу x,

δz / δx = (7 * x ^ 2 + 12 * y — 5 * x ^ 2 * y ^ 2) ‘dx = 7 * 2 * x + 0 — 5 * 2 * x * y ^ 2 = 14 * x — 10 * x * y ^ 2;

Використовуючи припущення, що x — постійна величина, знайдіть приватну похідну по аргументу y:

δz / δy = (7 * x ^ 2 + 12 * y — 5 * x ^ 2 * y ^ 2) ‘dy = 0 + 12 — 5 * 2 * x ^ 2 * y = 12 — 10x ^ 2 * y.

6. Запишіть повний диференціал функції:

dz = (δz / δx) dx + (δz / δy) dy = (14 * x — 10 * x * y ^ 2) dx + (12 — 10x ^ 2 * y).

В якійсь точці функції можуть бути визначені приватні похідні по одному з аргументів, але при цьому диференціал може не існувати для сукупності цих значень

 

10білет

1 Векторний добуток векторів

Векторним добутком векторів і називається вектор , який задовольняє наступним умовам:

1. утворюють праву трійку векторів (див. рисунок)

Позначається:

Властивості векторного добутку:

1. .

2. , якщо або , або .

3..

4. .

5., якщо.

6. Геометричний смисл векторного добутку полягає в тому, що його модуль чисельно дорівнює площі паралелограма, побудованого на векторах і .

Приклад. Знайти , якщо

Розв’язування.

Знайдемо визначник третього порядку:

2 часткова похідна (частинна похідна) функції кількох змінних — це похідна по одній із змінних, причому інші змінні приймаються як константи. Часткові похідні використовуються у векторному численні та диференційній геометрії.

Означення[ред. • ред. код]

Нехай f — функція, що залежить більш ніж від однієї змінної. Наприклад,

{\displaystyle f(x,y)=x^{2}+xy+y^{2}.}

Тут f можна інтерпретувати як родину функцій від однієї змінної при заіндексованій іншій:

{\displaystyle f(x,y)=f_{x}(y)=x^{2}+xy+y^{2}.}

Іншими словами, при виборі нового значення x утворюється нова функція f_x, котра є функцією від одного дійсного аргументу. Тобто,

{\displaystyle x\mapsto f_{x},}

{\displaystyle f_{x}(y)=x^{2}+xy+y^{2}.}

Припустимо, що значення x вибрано, покладемо його a, тоді f(x, y) визначає функцію f_a, залежну тільки від y: a ² + ay + y ²:

{\displaystyle f_{a}(y)=a^{2}+ay+y^{2}.}

В цьому виразі, a — константа, а не змінна, отже f_a — функція від одного дійсного аргументу — y. Відповідно до означення похідної функції одного аргументу:

{\displaystyle f_{a}'(y)=a+2y.}

Наведену процедуру можна здійснити для довільного вибору a. Узагальнивши всю сім'ю функцій, отримаємо похідну функції f по змінній y:

{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)=x+2y.}

Тут використовується символ ∂, котрий називають символом часткової похідної.

В загальному випадку, часткову похідну функції f(x₁,…,x_n) за змінною x_i в точці (a₁,…, a_n) записують так:

{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a_{1},\ldots,a_{n})=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a_{1},\ldots,a_{i}+h,\ldots,a_{n})-f(a_{1},\ldots,a_{n})}{h}}.}

У цьому різницевому відношенні усі змінні, крім x_i, зафіксовані. Іншими словами, різний вибір індексу a приводить до утворення родини функцій як у наведеному прикладі. Цей приклад також показує, що обчислення часткової похідної, в обчислювальному сенсі, простіше, ніж повної похідної.

Важливим прикладом функції кількох змінних є випадок скалярної функції f (x ₁,… x_n) в евклідовому просторі R ⁿ (наприклад, R ² або R ³). В цьому випадку f має часткову похідну ∂ f /∂ x_j по кожній змінній x_j. У точці a ці часткові похідні визначають вектор

{\displaystyle \nabla f(a)=\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(a),\ldots,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(a)\right).}

Цей вектор називають градієнтом f в точці a. Якщо f диференційовна в кожній точці певної області, то градієнт — векторна функція ∇ f, котра в точці a перетворюється у вектор ∇ f(a). Відповідно градієнт визначений у векторному полі.

Приклади[ред. • ред. код]

 

Об'єм конусу залежить від висотита радіусу.

Припустимо V — об'єм конуса; він залежить від висоти h та радіусу r за формулою

{\displaystyle V(r,h)={\frac {\pi r^{2}h}{3}}.}

часткова похідна об'єму V за радіусом r буде

{\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial r}}={\frac {2\pi rh}{3}}.}

Вона описує, як змінюється об'єм конуса від зміни радіуса при сталій висоті. Часткова похідна за висотою h

{\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial h}}={\frac {\pi r^{2}}{3}}}

і вона показує, як змінюється об'єм конуса при зміні висоти та сталому радіусі.

Тепер для порівняння знайдемо повні похідні V за змінними r та h. Вони, відповідно, мають вигляд

{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} r}}=\overbrace {\frac {2\pi rh}{3}} ^{\frac {\partial V}{\partial r}}+\overbrace {\frac {\pi r^{2}}{3}} ^{\frac {\partial V}{\partial h}}{\frac {\operatorname {d} h}{\operatorname {d} r}}}

{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} h}}=\overbrace {\frac {\pi r^{2}}{3}} ^{\frac {\partial V}{\partial h}}+\overbrace {\frac {2\pi rh}{3}} ^{\frac {\partial V}{\partial r}}{\frac {\operatorname {d} r}{\operatorname {d} h}}}

Бачимо, що різниця між повною та частковою похідними полягає у виключенні непрямих залежностей між змінними в останній.

Тепер припустимо, що з певних причин пропорції конуса мають залишитись сталими, і відношення між висотою та радіусом стале: k:

{\displaystyle k={\frac {h}{r}}={\frac {\operatorname {d} h}{\operatorname {d} r}}}

Це дає повну похідну:

{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} r}}={\frac {2\pi rh}{3}}+k{\frac {\pi r^{2}}{3}}}

Рівняння, що містять часткові похідні, називають рівняннями в часткових похідних, і вони часто використовуються у фізиці, інженерії та інших науках і прикладних дисциплінах.

 

 

 

 

Білет

1.

Означення.

Мішаний добуток векторів — це скалярний добуток вектора a на векторний добуток векторів b і c.

 

Пряма на площині. Приклади

Скласти рівняння прямої на площині можна у випадках, коли відомі:

точка, що належить прямій і перпендикулярний вектор до прямої;

точка на прямій і вектор, паралельний до прямої;

точка з прямої і кутовий коефіцієнт прямої;

дві точки на прямій.

Коло

Аналітично коло є геометричним місцем точок площини, відстань яких до заданої точки є постійною і дорівнює . Канонічне рівняння кола з центром в точці і радіусом має вид

Зокрема, якщо центр кола розташований в початку координат, тобто , то рівняння кола приймає найпростіший вид

Еліпс