Диференціальні рівняння у повних диференціалах

 

Диференціальне рівняння виду:   (1.17) називається диф. рівнянням у повних диференціалах, якщо його ліва частина є повним диференціалом деякої функції , тобто (1.18) тобто (1.18 ) Якщо умова (1.18) виконується тоді загальний інтеграл диф. рівняння у повних диференціалах (1.17) має вигляд: (1.19) де довільна стала інтегрування.   Для того, щоб рівняння (1.17) було диф. рівнянням у повних диференціалах необхідно і достатньо, щоб виконувалась рівність: (1.20)

 

При розв'язуванні диф. рівняння (1.17) спочатку перевіряють умову (1.20), при виконанні якої дане рівняння є диф. рівнянням у повних диференціалах. Тобто невідома функція задовольняє умови (1.18 ). Інтегруючи рівність по визначають функцію з точністю до довільної диференційовної функції

де первісна функції по змінній вважаючи змінну константою. Диференціюючи останню рівність по і враховуючи отримують рівняння для знаходження функції

Розв'язати диф. рівняння: .

Розв'язання.

У заданому рівнянні ,

 

Задано рівняння у диференціальній формі, яке може бути: а) диф. рівнянням з відокремлюваними змінними (1.6); б) однорідним диф. рівнянням (дивись зауваження, стр. 18); в) диф. рівнянням у повних диференціалах (1.17). Важливим є визначення виду диф. рівняння! Задане рівняння не є диф. рівнянням з відокремлюваними змінними, бо, зокрема, функцію не можна записати у вигляді добутку Задане рівняння не є однорідним диф. рівнянням, бо, наприклад, функція є сумою одночленів третього і нульового степенів, тобто, взагалі, не є однорідною функцією.

 

Перевіримо умову (1.20):

Умова (1.20) виконується, тому маємо диференціальне рівняння у повних диференціалах.

Знайдемо функцію , повний диференціал якої знаходиться у лівій частині заданого рівняння.

Згідно (1.18 ):

Інтегруємо останню рівність по змінній вважаючи змінну константою:

Для знаходження функції використаємо другу умову (1.18 ): тобто

звідки звідки

де довільна стала;

Отже,

Використовуючи рівність (1.19), отримаємо загальний інтеграл диф. рівняння: де довільна стала.

Відповідь. де довільна стала.

 

 

Диференціальне рівняння у повних диференціалах (1.17) інтегрується досить нескладно. За певних умов можна домножити будь-яке диф. рівняння у диференціальній формі (1.3) на функцію яка називається інтегрувальним множником, так, що це рівняння стане диф. рівнянням у повних диференціалах. Методи знаходження інтегрувальних множників у даному посібнику не розглядаються.

 

 

Для знаходження невідомої функції диф. рівняння у повних диференціалах (1.17) іноді використовують формулу: (1.21) де перший визначений інтеграл обчислюється при сталому значенні а другий визначений інтеграл обчислюється при сталому значенні Початкову точку у формулі (1.21) вибирають так, щоб підінтегральні вирази були найпростішими.

 

1.8. Диференціальні рівняння n– го порядку

 

Диференціальне рівняння виду:   (1.22)   де незалежна змінна, невідома функція, відома функція, називається диференціальним рівнянням го порядку.   У диференціальному рівнянні го порядку(1.22) похідна го порядку є обов'язковим виразом, а наявність в ньому інших виразів необов'язкова.

 

Якщо диференціальне рівняння не розв'язане відносно старшої похідної , то йогоназивають неявним диференціальним рівнянням.

 

Диференціальне рівняння, розв'язане відносно старшої похідної : (1.23)   називається нормальним або явним диф. рівнянням го порядку.   Основні поняття для диференціальних рівнянь го порядку будемо розглядати тільки для нормальних рівнянь виду (1.23).   Розв’язком диференціального рівняння (1.23)на деякому інтервалі називається разів неперервно диференційовна на цьому інтервалі функція , яка при підстановці в дане рівняння перетворює його на тотожність відносно незалежної змінної , тобто:   Графік розв'язку диференціального рівняння (1.22) або (1.23) називається інтегральною кривою даного диференціального рівняння.

 

Для диференціальних рівнянь вищих порядків, як і для рівнянь першого порядку, розглядається задача Коші або задача з початковими умовами: серед усіх розв'язків диф. рівняння (1.23) знайти такий розв'язок який при задовольняє початкові умови: або (1.24)

Зокрема, для диференціального рівняння другого порядку початкові умови при мають вигляд:

(1.24*)

 

Існування і єдиність розв'язку задачі Коші для рівняння (1.23) обгрунтовує наступна теорема Коші.

Якщо функція і її частинні похідні по аргументам неперервні в даній відкритій області , то для кожної точки існує єдиний розв’язок рівняння (1.23), який задовольняє початкові умови (1.24).

 

Загальний розв’язок диференціального рівняння го порядку знаходиться в результаті послідовних інтегрувань, тому має вигляд: (1.25) де довільні сталі інтегрування.   Загальний розв’язок, знайдений в неявній формі (1.26) називається загальним інтегралом диф. рівняння (1.23).

 

Частинний розв’язок (або частинний інтеграл) диференціального рівняння (1.23) знаходять із загального, якщо у співвідношенні (1.25) або (1.26) кожній довільній сталій надати конкретного числового значення. Числові значення знаходять з початкових умов (1.24).

 

Розв’язати (або проінтегрувати) диференціальне рівняння порядку (1.23) означає: 1) знайти загальний розв’язок (або загальний інтеграл) диф. рівняння; 2) із загального розв’язку виділити частинний розв’язок (або частинний інтеграл), який задовольняє початкові умови (1.24), якщо початкові умови задані.

 

 

1.9. Диференціальні рівняння го порядку, які інтегруються в квадратурах

Розглянемо деякі класи диференціальних рівнянь го порядку, які інтегруються в квадратурах.

 

Диференціальне рівняння виду   (1.27)   де задана неперервна на деякому проміжку функція,

Інтегрується в квадратурах.

Загальний розв'язок рівняння (1.27) знаходять за допомогою інтегрувань:

.........