Однорідні диференціальні рівняння першого порядку

 

Функція називається однорідною функцією го виміру відносно змінних та , якщо для довільного виконується рівність: (1.8)

Наприклад, функція є однорідною функцією го виміру, бо

Функція є однорідною функцією го виміру відносно змінних та , якщо для довільного виконується рівність: (1.8 ) Однорідними функціями го виміру, зазвичай, є дробові функції, в чисельнику і знаменнику яких знаходяться многочлени одного порядку. Наприклад: Також однорідними функціями го виміру є функції виду: Наприклад:

 

Диференціальне рівняння (1.9) називається однорідним диф. рівнянням го порядку, якщо функція є однорідною функцією нульового виміру виду (1.8 ). Однорідні диф. рівняння зводяться до рівнянь з відокремлювани-ми змінними за допомогою підстановки: (1.9 ) де невідома функція.

Розв'язати диф. рівняння:

Розв'язання.

Для визначення виду диф. рівняння запишемо його у вигляді (1.2 або 1.9): . Слід зазначити, що вираз , який є однорідною функцією го виміру, сприяє гіпотезі, що задано однорідне диф. рівняння.

Поділимо обидві частини рівняння на

тобто

Вираз не можна записати у вигляді (1.5) тому дане рівняння не є диференціальним рівнянням з ві-докремлюваними змінними.

Перевіримо рівність (1.8 ):

Рівність (1.8 ) виконується, тому функція у правій частині заданого диференціального рівняння є однорідною функцією го виміру, а задане рівняння є однорідним диф. рівнянням го порядку.

Використаємо підстановку (1.9 ) де невідома функція, звідки Диференціюємо вираз підстановки по змінній

Підставимо вирази у задане диф. рівняння

Зведемо подібні доданки в обох частинах рівняння і поділимо їх на

Отримаємо диференціальне рівняння з відокремлюваними змінними:

Замінимо в даному рівнянні на

(домножимо обидві частини рівняння на )

(поділимо обидві частини рівняння на )

де довільна стала.

За формулами №13 і №4 таблиці невизначених інтегралів отримаємо:

, де

Перейдемо до змінних і за допомогою рівності

звідки

загальний розв'язок диф. рівняння.

Розв'яжемо задачу Коші, використавши початкову умову:

Для спрощення перетворень підставимо значення не в загаль-ний розв'язок, а у вираз

звідки

Відповідь.

 

Розв'язати диф. рівняння:

Розв'язання.

 

Вираз не можна записати у вигляді (1.5) тому дане рівняння не є диференціальним рівнянням з відокремлюваними змінними.

Перевіримо рівність (1.8 ):

Рівність (1.8 ) виконується, тому функція у правій частині заданого диференціального рівняння є однорідною функцією го виміру, а задане рівняння є однорідним диф. рівнянням го порядку.

Використаємо підстановку (1.9 ) де невідома функція, звідки Диференціюємо вираз підстановки по змінній

Підставимо вирази в задане диф. рівняння

 

Поділивши обидві частини рівняння на отримаємо диференціальне рівняння з відокремлюваними змінними:

Замінимо в даному рівнянні на

(домножимо обидві частини рівняння на )

(поділимо обидві частини рівняння на )

де довільна стала.

Для знаходження інтеграла використаємо метод заміни змінної (таблиця 2):

де довільна стала.

(домножимо обидві частини на )

Перейдемо до змінних і за допомогою рівності

загальний інтеграл диф. рівняння.

Відповідь. де довільна стала.

Вираз можна замінити на де

Диференціальне рівняння виду (1.3): буде однорідним тоді і тільки тоді, коли функції і є однорідними функціями одного й того самого виміру.

 

Розв'язати диф. рівняння:

Розв'язання.

Маємо рівняння в диференціальній формі (1.3), в якому

тому однорідна функція го виміру.

Аналогічно можна довести, що функція однорідна функція го виміру, тому задане диф. рівняння, згідно попереднього зауваження, є однорідним.

Для отримання виразу поділимо обидві частини рівняння на

(поділимо на )

Використаємо підстановку (1.9 ) де невідома функція, звідки Диференціюємо вираз підстановки по змінній Підставимо вирази в задане диф.

рівняння: Зведемо подібні доданки

(поділимо обидві частини рівняння на )

диф. рівняння з відокремлюваними змінними.

Замінимо в даному рівнянні на

де довільна стала.

За формулами №17 і №4 таблиці невизначених інтегралів отримаємо:

;

Перейдемо до змінних і за допомогою рівності

(домножимо на )

загальний інтеграл.

Відповідь. де довільна стала.

1.4. Диференціальні рівняння, які зводяться до однорідних диференціальних рівнянь го порядку

Нехай маємо диференціальне рівняння виду:   (1.10) де задані числа. 1) Якщо , (1.11) де єдиний розв'язок системи рівнянь рівняння (1.10) зводиться до однорідного диф. рівняння (1.9).   2) Якщо тоді, використовуючи заміну (1.11 ) рівняння (1.10) зводиться до диф. рівняння з відокремлюваними змінними (1.5).

 

Розв'язати диф. рівняння:

Розв'язання.

Маємо диф. рівняння виду (1.10), в якому

.

розв'яжемо систему рівнянь:

Віднімемо почленно від першого рівняння системи друге.

Із першого рівняння системи:

Здійснимо підстановку за формулами (1.11):

Виразимо із підстановки: і підставимо у задане рівняння:

однорідне диф.рівняння.

Дане диф. рівняння розв'язане (приклад, стр. 16, 17).

Загальний інтеграл рівняння має вигляд:

де довільна стала.

Використавши підстановку отримаємо загальний інтеграл заданого рівняння:

де довільна стала.

Відповідь. де довільна стала.