Загальні поняття. Задача Коші.

Диференціальним рівнянням першого порядку називається рівняння виду: (1.1) де незалежна змінна, невідома функція.

 

Рівняння (1.1) може не містити явно незалежну змінну або невідому функцію але обов'язково має містити похідну невідомої функції.

Диференціальне рівняння (1.1), у якому неможливо виразити похідну невідомої функції називають неявним диференціальним рівнянням (або диференціальним рівнянням у неявній формі, або диференціальним рівнянням нерозв'язним відносно похідної невідомої функції). Наприклад: або

 

Якщо у диференціальному рівнянні (1.1) можна виразити похідну невідомої функції: (1.2) (де незалежна змінна, невідома функція), то його називають диференціальним рівнянням першого порядку у нормальній формі.

 

Диференціальне рівняння є неявним диференціальним рівнянням першого порядку (1.1), але в ньому можна виразити похідну невідомої функції:

Отримали диференціальне рівняння у нормальній формі (1.2),

в якому

Як відомо, тоді, замінивши у лівій частині останнього рівняння через отримаємо:

Отримане рівняння є диференціальним рівнянням першого порядку у диференціальній формі (1.3).

У загальному випадку:

диференціальне рівняння першого порядку, записане у вигляді: (1.3) де і відомі функції, називають диференціальним рівнян-ням першого порядку у диференціальній формі.

 

Очевидно, що не кожне диференціальне рівняння першого порядку можна записати у нормальній (1.2) та диференціальній (1.3) формах. Надалі будемо розглядати диференціальні рівняння виду (1.2), у яких можна виразити похідну невідомої функції.

 

Нехай у диференціальному рівнянні (1.2) функція і її частинна похідна визначені і неперервні у відкритій області площини і точка Тоді існує єдиний розв'язок рівняння (1.2), який задовольняє умову: або . (1.4)

 

Розв'язування рівняння (1.2) пов'язане із знаходженням невизначених інтегралів, тобто дане рівняння має нескінченну множину

 

різних розв'язків виду , де деяка функція, довіль-

на стала. Графіками цих розв'язків є множина інтегральних кривих, які утворюються у відкритій області при паралельному перенесенні графіка функції по осі на довільне число (рис. 1). Тоді, геометрично, теорема Коші стверджує, що через кожну точку проходить єдина інтегральна крива (рис. 1).

Умову (1.4), яка означає, що роз-в'язок набуває наперед задане значення при на-зивають початковою умовою розв'язку і записують у вигляді:   або (1.4 )   Задача знаходження розв'язку диф. рівняння (1.2), який задовольняє початкову умову (1.4 ), називаєть-ся задачею Коші.

Розв'язати задачу Коші означає виділити з множини інтегральних кривих ту криву, яка проходить через задану точку

 

Точки площини, в яких не виконуються умови теореми Коші називаються особливими. Через кожну особливу точку проходить кілька інтегральних кривих або не проходить жодної. Розв'язок диференціального рівняння, в кожній точці якого порушується умова єдиності розв'язку, називають особливим розв'язком. Графік особливого розв'язку називають особливою інтегральною кривою. (У даному посібнику питання, пов'язані із знаходженням та аналізом особливих розв'язків диференціальних рівнянь, не розглядаються.)

Нехай диференціальне рівняння (1.2) задовольняє в області умови теореми Коші.

Функція де довільна стала, називається загальним розв'язком диференціального рівняння (1.2), в області , якщо вона задовольняє умови: 1) функція є розв'язком диф. рівняння при будь-якому значенні сталої з деякої множини; 2) для будь-якої точки можна знайти таке значення , що функція задовольняє початкову умову . Частинним розв’язком рівняння (1.2)називається функція , яка утворюється із загального розв’язку при певному значенні . Загальний розв'язок диференціального рівняння, знайдений у неявній формі називають загальним інтегралом диференціального рівняння. Частинний розв'язок, знайдений у неявній формі називають частиннимінтегралом диференціального рівняння.

Кожній точці диференціальне рівняння (1.2) ставить у відповідність значення кута тобто рівняння (1.2) геометрично задає поле напрямів (зазвичай, поле напрямів зображують стрілками). А розв'язок диференціального рівняння (1.2) задає інтегральну криву, яка в кожній власній точці "дотикається" до поля напрямів. Знаючи поле напрямів диф. рівняння, можна наближено побудувати його інтегральні криві. Для полегшення побудови поля напрямів використовують ізокліни.

Ізокліною називається крива на площині в кожній точці якої дотичні до інтегральних кривих мають один напрям.

 

Якщо задачу про знаходження всіх розв’язків диференціаль-ного рівняння вдається звести до обчислення скінченого числа інтегралів і похідних від відомих функцій і алгебраїчних операцій, то диференціальне рівняння інтегрується в квадратурах (зводиться до квадратур). Клас інтегровних в квадратурах диф. рівнянь дуже вузький.