Інтегрування нормальних систем методом виключення 


Мы поможем в написании ваших работ!



ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Інтегрування нормальних систем методом виключення



У багатьох технічних задачах необхідно знайти кілька невідомих функцій, що пов’язані між собою диференціальними рівняннями, сукупність яких утворює систему диференціальних рівнянь.

 

Нормальною системою диференціальних рівнянь називається система виду:
(1.59)

 

У лівій частині даної системи диференціальних рівнянь знаходяться похідні першого порядку, а права частина – не містить похідних.

Іноді позначають: .

Розв’язком системи (1.59) називається сукупність функцій які задовольняють кожне з рівнянь системи.

 

До нормальної системи рівнянь першого порядку за допомогою введення нових змінних зводиться кожне диференціальне рівняння го порядку, розв’язане відносно старшої похідної.

І навпаки, нормальну систему рівнянь (1.59) можна звести до диференціального рівняння го порядку методом виключення змінної.

Нормальну систему двох диференціальних рівнянь задають у вигляді:

або

де невідомі функції.

Зразок виконання контрольного завдання №5.

Розв’язати нормальні системи диференціальних рівнянь методом виключення змінної:

Розв'язання.

Знайдемо розв’язки системи методом виключення змінної.

Диференціюємо друге рівняння системи по змінній

Підставимо в отриману рівність замість праву частину першого рівняння системи:

Виразимо із другого рівняння системи і підставимо в останню рівність:

 

лінійне неоднорідне диф. рівняння другого порядку із сталими коефіцієнтами (1.46).

За теоремою (1.38) загальний розв'язок заданого рівняння дорівнює:

,

де частинний розв’язок заданого диф. рівняння,

загальний розв’язок відповідного однорідного рівняння.

Розглянемо відповідне однорідне диф. рівняння:

характеристичне рівняння;

За формулою (1.44) загальний розв'язок відповідного однорідного диф. рівняння дорівнює:

де довільні сталі.

Спеціальна права частина заданого рівняння має вигляд (1.47):

де

тобто число не є коренем характеристичного рівняння відповідного однорідного диф. рівняння, тоді, згідно (1.49), частинний розв'язок заданого диф. рівняння дорівнює:

де невідомий коефіцієнт, який необхідно знайти. Для цього диференціюємо вираз частинного розв'язку

Підставимо в отримане диф. рівняння:

поділимо обидві частини рівності на

Тому тоді

Із другого рівняння системи виразимо:

Відповідь.

де довільні сталі.

 

При розв'язуванні заданої системи можна спочатку диференціювати по її перше рівняння .

Виконуючи відповідні підстановки і перетворення, отримаємо відповідь:

де довільні сталі.

На перший погляд викликає сумнів у тотожності виразів довільних сталих біля функцій і .

Переконатись у відповідності розв'язків системи диф. рівнянь при диференціюванні першого її рівняння із наведеними у зразку виконання (де спочатку диференціювали друге рівняння системи) можна, наприклад, позначивши:

Після цього перевіряють рівності: і , справедливість яких доводить тотожність відповідей.

 

Контрольні запитання

1. Дати означення диференціального рівняння, порядку, розв'язку диференціального рівняння, інтегральної кривої.

2. Визначити різні форми диференціального рівняння першого порядку. Сформулювати задачу Коші для диференціального рівняння першого порядку. Сформулювати означення загального і частинного розв'язку (та інтегралу) диференціального рівняння.

3. Що означає вислів "диференціальне рівняння інтегрується у квадратурах"?

4. Дати означення диференціального рівняння з відокремлюваними змінними та визначити особливості його розв'язування.

5. Яке диференціальне рівняння першого порядку називається однорідним? Яку підстановку треба використати для його розв'язування?

6. Які диференціальні рівняння зводяться до однорідного диференціального рівняння першого порядку?

7. У чому полягає метод Бернуллі розв'язування лінійного диференціального рівняння першого порядку?

8. Які диференціальні рівняння зводяться до лінійних першого порядку?

9. Яке диференціальне рівняння є рівнянням у повних диференціалах? Які особливості його розв'язування.

10. Сформулювати основні поняття і означення для диференціальних рівнянь вищих порядків.

11. Які диференціальні рівняння го порядку інтегруються у квадратурах? Які диференціальні рівняння допускають пониження порядку?

12. Сформулювати теорему про структуру загального розв'язку лінійного однорідного та неоднорідного диференціального рівняння другого порядку?

13. У чому полягає метод варіації довільних сталих?

14. Записати формули розв'язків лінійного однорідного диференціального рівняння другого порядку із сталими коефіцієнтами.

15. Як розв'язувати лінійні неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку із сталими коефіцієнтами та спеціальною правою частиною?

16. У чому полягає метод виключення змінної при розв'язуванні нормальних систем диференціальних рівнянь?

Список рекомендованої літератури

1. Дубовик В.П. Вища математика: навч. посiбник / В.П. Дубовик, І.І. Юрик. – К.: Вища шк., 2004. – С. 421– 493.

2. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. – М.: Наука, 1982. – 576 с.

3. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. – М.: Наука, 1982. – 332 с.

4. Самойленко А.М. Диференціальні рівняння / А.М. Самойленко, М.О. Перестюк, І.О. Парасюк. – К.: Либідь, 1994. – 360 с.

5. Шестаков А.А. Курс высшей математики: Учеб. для студентов втузов / А.А. Шестаков, И.А. Малышева, Д.П. Полозков; под ред. А.А. Шеста-кова. – М.: Высш. шк., 1987. – С.125–230.

6. Шкіль М.І. Вища математика / М.І. Шкіль, Т.В. Колесник. – К: Вища шк., 1986. – С.183–299.

7. Шкіль М.І. Звичайні диференціальні рівняня / М.І. Шкіль, М.А. Сотни-ченко. – К: Вища шк., 1992. – 303 с.

8. Вища математика. Збірник задач: навч. посібник / [Дубовик В.П., Юрик І.І., Вовкодав І.П. та ін.]; за ред. В.П. Дубовика, І.І. Юрика. – К.: АСК, 2001. – 480с.

9. Гудименко Ф.С. Збірник задач з вищої математики: Учб. посібник для студентів природничих факультетів університетів / Ф.С. Гудименко, Д.М. Борисенко, В.О. Волкова та ін.; за ред. Ф.С. Гудименка. – К.: Вид-во Київського університету, 1967. – 352 с.



Поделиться:


Последнее изменение этой страницы: 2016-06-23; просмотров: 544; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 54.211.203.45 (0.081 с.)