Заглавная страница
Избранные статьи
Случайная статья
Познавательные статьи
Новые добавления
Обратная связь

ТОП 10 на сайте

Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации

Техника нижней прямой подачи мяча.

Франко-прусская война (причины и последствия)

Организация работы процедурного кабинета

Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний

Коммуникативные барьеры и пути их преодоления

Обработка изделий медицинского назначения многократного применения

Образцы текста публицистического стиля

Четыре типа изменения баланса

Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву

Мы поможем в написании ваших работ!

ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Влияние общества на человека

Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации

Практические работы по географии для 6 класса

Организация работы процедурного кабинета

Изменения в неживой природе осенью

Уборка процедурного кабинета

Сольфеджио. Все правила по сольфеджио

Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления

Главная Избранные Случайная статья Познавательные Новые добавления Обратная связь FAQ

Національний університет біоресурсів і природокористування України

Стр 1 из 7Следующая ⇒

Національний університет біоресурсів і природокористування України

Ніжинський агротехнічний інститут

Кафедра природничо-фундаментальних дисциплін

Муквич М.М.

ЗВИЧАЙНІ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ

Навчальний посібник з дисципліни

"Вища математика"

для самостійної роботи студентів

Технічних напрямів підготовки

Ніжин –2013

УДК 517.9 (073)

Рекомендовано до друку Вченою Радою

Ніжинського агротехнічного інституту

Національного університету біоресурсів і природокористування України

Протокол №9 від 26.06.2013 р.

Рецензенти:

В.М. Лось, к. ф.-м. наук, доцент, завідувач кафедри вищої та прикладної математики Чернігівського державного технологічного університету

Н.В. Майбородіна, к. ф.-м. наук, старший викладач кафедри природничо-фундаментальних дисциплін Ніжинського агротехнічного інституту

Муквич М.М.

Звичайні диференціальні рівняння: навчальний посібник з дисципліни "Вища математика" для самостійної роботи студентів технічних напрямів підготовки / Муквич М.М. – Ніжин: Видавець ПП Лисенко М.М, 2013. – 92 с.

У навчальному посібнику наведено короткі теоретичні відомості розділу «Диференціальні рівняння» з дисципліни "Вища математика", індивідуальні контрольні завдання та зразки їх розв’язань. До індивідуальних контрольних завдань подано відповіді.

Для самостійної роботи студентів напрямів підготовки:

6.100101 «Енергетика та електротехнічні системи в агропромисловому комплексі» та 6.100102 «Процеси, машини та обладнання агропромислового виробництва».

ВСТУП

Звичайні диференціальні рівняння широко застосовуються у дисциплінах професійної підготовки майбутніх інженерів-електриків та інженерів-механіків агропромислового виробництва.

Тому метою даного навчального посібника є створення сприятливих умов для самостійного формування в студентів навичок до використання відповідних математичних методів у технічних розрахунках та дослідженнях.

У навчальному виданні розглянуто контрольні завдання згідно тем індивідуальних (розрахунково-графічних) завдань, наведених у програмах з навчальної дисципліни «Вища математика», для підготовки фахівців ОКР «бакалавр» напрямів підготовки:

6.100101 «Енергетика та електротехнічні системи в агропромисловому комплексі» у вищих навчальних закладах II – IV рівнів акредитації Міністерства аграрної політики України (автори Ю.Б. Гнучій, Н.Г. Батечко, О.Ю. Дюженкова, Р.Ф. Овчар, О.І. Завгородній. – Київ: Аграрна освіта, 2010);

6.100102 «Процеси, машини та обладнання агропромислового виробництва» у вищих навчальних закладах II – IV рівнів акредитації Міністерства аграрної політики України (автори Ю.Б. Гнучій, Н.Г. Батеч-ко, О.Ю. Дюженкова, Р.Ф. Овчар, О.І. Завгородній, В.І. Кравець. – Київ: Аграрна освіта, 2010).

Найбільш важливі терміни та умови прикладів посібника виділено курсивом. Терміни, які означуються при вивченні даних розділів дисципліни, виділено напівжирним курсивом.

Початок і кінець наведеного розв’язку завдання в навчальному посібнику позначено символами та відповідно.

Диференціальні рівняння першого порядку та деякі види

Диференціальних рівнянь вищих порядків.

Диференціальні рівняння першого порядку

З відокремлюваними змінними

Рівняння виду

(1.5)

де і задані і неперервні на деякому інтервалі функції, нази-вається диференціальним рівнянням з відокремлюваними змінними.

Щоб розв'язати це диф. рівняння відокремимо його змінні, записавши його у вигляді рівності диференціалів. Для цього замінимо в рівнянні на тоді отримаємо:

Домножимо обидві частини диф. рівняння на

Вважаючи, що у даному рівнянні поділимо обидві його частини на

(1.5

)

Рівняння (1.5 ), записане у вигляді рівності двох диференціалів, називається диференціальним рівнянням з відокремленими змінними.

Із останньої рівності отримаємо загальний інтеграл диференціаль-ного рівняння (1.5):

де довільна стала.

Якщо дане рівняння містить початкову умову

, то необхідно знайти конкретне значення

підставивши в загальний інтеграл

замість

та

(тобто розв'язати задачу Коші).

Розв'язати диференціальне рівняння: ;

Розв'язання.

Щоб класифікувати дане диф. рівняння запишемо його у нормальній формі (1.2): ; диф. рівняння з відокремлю-ваними змінними (1.5), бо

Відокремимо змінні та зведемо дане рівняння до вигляду (1.5 ).

Замінимо в рівнянні на тоді отримаємо:

Домножимо обидві частини диф. рівняння на

Вважаючи, що у даному рівнянні поділимо обидві його частини на

де довільна стала.

Для знаходження невизначених інтегралів використаємо формулу №4 таблиці (3). Тоді для спрощення виразу загального інтегралу виконують заміну:

звідки

загальний розв'язок диф. рівняння.

Розв'яжемо задачу Коші, використавши початкову умову:

Знайдемо підставивши в загальний розв'язок число 3 замість і число 1 замість звідки

Відповідь. частинний розв'язок диф. рівняння

При відокремленні змінних диф. рівняння (1.5) отримали його у диференціальній формі (стр. 9):

У загальному випадку диф. рівняння з відокремлюваними змінними, записане у диференціальній формі, має вигляд:

(1.6)

Для відокремлення змінних у цьому рівнянні досить обидві його частини поділити на вираз

Розв'язати диференціальне рівняння:

Розв'язання.

;

Отримали диф. рівняння (1.6) з відокремлюваними змінними.

звідки .

Поділимо обидві частини рівняння на вираз Після скорочення отримаємо диференціальне рівняння, змінні якого – відокремлені:

де довільна стала.

Використаємо формули №4 та №1 таблиці (3) невизначених інтегралів.

звідки

загальний інтеграл.

Використаємо початкову умову

звідки

Відповідь. частинний інтеграл.

Диференціальне рівняння виду:

(1.7)

де задані числа, зводиться до рівняння з відокремленими змінними (1.5) за допомогою заміни:

(1.7

)

Диференціюючи вираз (1.7 ) по отримаємо:

звідки отримаємо диф. рівняння з відок-ремлюваними змінними.

Розв'язати диференціальне рівняння:

Розв'язання.

Маємо диференціальне рівняння виду (1.7).

Уведемо заміну: , тоді задане рівняння має вигляд

Диференціюємо заміну по змінній або

Підставивши в останню рівність вираз отримаємо:

Звідси

Використавши формулу №15 таблиці (3) невизначених інтегралів, отримаємо:

Відповідь.

Інтегрується в квадратурах.

Загальний розв'язок рівняння (1.27) знаходять за допомогою інтегрувань:

.........

Розв'язати диференціальне рівняння:

Розв'язання.

загальний розв’язок рівняння.

Значення довільних сталих знайдемо, використовуючи задані початкові умови

тоді, підставивши у першу рівність значення отримаємо:

звідки

Врахувавши, що отримаємо:

тоді маємо рівняння: звідки

Врахувавши, що отримаємо:

тоді, підставивши в останню рівність отримаємо:

звідки

Відповідь. частинний розв'язок.

Диференціальне рівняння виду

яке можна розв'язати відносно

(1.28)

Інтегрується в квадратурах.

Використовуючи заміну отримаємо рівняння

звідки . Після цього рівняння (1.28) розв'язують аналогічно до диференціального рівняння (1.27), інтегруючи раз:

(1.28^*)

При цьому загальний розв'язок диф. рівняння (1.28) отримують у параметричній формі:

Розв'язати диференціальне рівняння:

Розв'язання.

Записавши дане рівняння у вигляді , отримаємо рівняння (1.28).

Нехай , тоді останню рівність запишемо у вигляді:

звідки

Задано рівняння другого порядку, тобто тоді, використовуючи залежність (1.28^*), отримаємо:

Відповідь.

Основні означення

Диференціальне рівняння виду:

(1.31)

де задані функції, називається лінійним диференціальним рівнянням го порядку.

Функції називаються коефіцієнтами даного рівняння, функція вільний член диф. рівняння (1.31). Вважатимемо вказані функції – неперервними на деякому інтервалі

Якщо , то рівняння (1.31) називають лінійним неоднорідним диференціальним рівнянням го порядку.

Якщо , то диф. рівняння (1.31) називають лінійним однорідним диференціальним рівнянням го порядку.

, бо інакше рівняння (1.31) не є диф. рівнянням го порядку. Поділимо обидві частини рівняння (1.31) на , тоді отримаємо лінійне диф. рівняння виду:

(1.32)

де

Лінійне диференціальне рівняння го порядку (1.32) має за теоремою Коші (стр. 36) єдиний розв'язок, який задовольняє початкові умови (1.24):

Список рекомендованої літератури

1. Дубовик В.П. Вища математика: навч. посiбник / В.П. Дубовик, І.І. Юрик. – К.: Вища шк., 2004. – С. 421– 493.

2. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. – М.: Наука, 1982. – 576 с.

3. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. – М.: Наука, 1982. – 332 с.

4. Самойленко А.М. Диференціальні рівняння / А.М. Самойленко, М.О. Перестюк, І.О. Парасюк. – К.: Либідь, 1994. – 360 с.

5. Шестаков А.А. Курс высшей математики: Учеб. для студентов втузов / А.А. Шестаков, И.А. Малышева, Д.П. Полозков; под ред. А.А. Шеста-кова. – М.: Высш. шк., 1987. – С.125–230.

6. Шкіль М.І. Вища математика / М.І. Шкіль, Т.В. Колесник. – К: Вища шк., 1986. – С.183–299.

7. Шкіль М.І. Звичайні диференціальні рівняня / М.І. Шкіль, М.А. Сотни-ченко. – К: Вища шк., 1992. – 303 с.

8. Вища математика. Збірник задач: навч. посібник / [Дубовик В.П., Юрик І.І., Вовкодав І.П. та ін.]; за ред. В.П. Дубовика, І.І. Юрика. – К.: АСК, 2001. – 480с.

9. Гудименко Ф.С. Збірник задач з вищої математики: Учб. посібник для студентів природничих факультетів університетів / Ф.С. Гудименко, Д.М. Борисенко, В.О. Волкова та ін.; за ред. Ф.С. Гудименка. – К.: Вид-во Київського університету, 1967. – 352 с.

ІМЕННИЙ ПОКАЖЧИК

Абель Нільс Хенрік (1802–1829) – норвезький математик

Бернуллі Йоган (1667–1748) – швейцарський математик

Бернуллі Якоб (1654–1705) – швейцарський математик, родоначальник династії

видатних учених математиків і механіків

Вронський Юзеф (1776–1853) – польський математик

Ейлер Леонард (1707–1783) – швейцарський математик, механік, фізик

Коші Огюстен Луї (1789–1857) – французський математик

Крамер Габриель (1704–1752) – швейцарський математик

Лагранж Жозеф (1736–1813) – французський математик

Ріккаті Джакопо Франческо (1676–1754) – італійський математик

ПРЕДМЕТНИЙ ПОКАЖЧИК

В изначник Вронського (вронскіан) – стр. 45;

Д иференціальне рівняння – стр. 4;

– Бернуллі – стр. 28;

– в частинних похідних – стр. 4;

– допускає пониження порядку – стр. 40; 41;

– звичайне – стр. 4;

– з відокремлюваними змінними – стр. 9; 11.

– інтегрується в квадратурах – cтр. 8;

– лінійне (першого порядку)– стр. 22;

– лінійне ( порядку)– стр. 43; 66;

– лінійне неоднорідне другого порядку із сталими

коефіцієнтами – стр. 53;

– лінійне однорідне другого порядку із сталими

коефіцієнтами – стр. 50;

– неявне (першого порядку)– стр. 5;

– неявне ( го порядку)– стр. 35;

– нерозв'язне відносно похідної (першого порядку) –

стр. 5;

– нормальне або явне ( го порядку)– стр. 35;

– однорідне (першого порядку) – стр. 13;

– першого порядку – стр. 5;

– Ріккаті – стр. 28;

– у повних диференціалах – стр. 39;

– у нормальній формі (першого порядку)– стр. 5;

– го порядку – стр. 35;

З агальний інтеграл диф. рівняння першого порядку – стр. 8;

загальний розв'язок диф. рівняння першого порядку – стр. 8;

задача Коші – стр.7;36;

І зокліна – стр.8;

інтегральна крива диференціального рівняння – стр. 4; 35;

інтегрувальний множник – стр. 31;

Л інійно залежні функції – стр.44;

лінійно незалежні функції – стр.45;

лінійне неоднорідне диф. рівняння го порядку – стр. 43; 66;

– другого порядку – стр. 47;

– другого порядку із сталими

коефіцієнтами – стр. 53;

лінійне однорідне диф. рівняння го порядку – стр. 43; 66;

– другого порядку – стр. 44;

– другого порядку із сталими

коефіцієнтами – стр. 50;

М етод Бернуллі інтегрування лінійного диф. рівняння го порядку –

стр. 23;

– варіації довільних сталих (Лагранжа) – стр. 47;

– виключення змінної – стр. 69;

Н ормальна система диференціальних рівнянь – стр. 68;

О днорідна функція го виміру – стр. 13;

– нульового виміру – стр. 13;

особлива інтегральна крива – стр.7;

– точка – стр.7;

особливий розв'язок диференціального рівняння – стр.7;

П оле напрямів – стр.8;

порядок диференціального рівняння – стр. 4;

початкова умова розв'язку – стр. 7; 36;

Р озв'язок диференціального рівняння – стр. 4; 35;

– загальний – стр.8; 36;

– частинний – стр.8;36;

С пеціальна права частина лінійного неоднорідного диф. рівняння

другого порядку із сталими коефіцієнтам – стр. 53;

Т еорема Коші (про існування і єдиність розв'язку диференціального

рівняння першого порядку) – стр.6;

– Коші (про існування і єдиність розв'язку диференціального

рівняння го порядку) – стр.36;

– про накладання розв'язків – стр. 47;

– про структуру загального розв’язку лінійного однорідного диф.

рівняння другого порядку – стр. 45;

– про структуру загального розв’язку лінійного неоднорідного диф.

рівняння другого порядку – стр. 49;

Ф ормула Абеля – стр. 46; 66;

Х арактеристичне рівняння – стр. 50;

Ч астинний інтеграл диф. рівняння першого порядку – стр. 8;

частинний розв'язок диф. рівняння першого порядку – стр. 8;

ДОДАТКИ

Таблиця 1.

Диференціювання функцій

Правила диференціювання. Якщо функції диференційовні в точці , тоді виконуються рівності: де 5. Похідна складеної функції:
Диференціал функції знаходять за формулою:

Таблиця похідних
де
де
де
де
	Похідні гіперболічних функцій