Лінійні неоднорідні диф. рівняння другого порядку із сталими коефіцієнтами. Рівняння зі спеціальною правою частиною

 

Розглянемо лінійне неоднорідне диф. рівняння другого порядку із сталими коефіцієнтами: (1.46) де і сталі числа, задана неперервна на проміжку функція. За теоремою (1.38) загальний розв’язок даного рівняння дорівнює: , де частинний розв’язок рівняння (1.46), загальний розв’язок відповідного однорідного рівняння. Знаходження загального розв'язку відповідного однорідного рівняння (1.41) за формулами (1.43–1.45), зазвичай, не викликає труднощів. Частинний розв'язок завжди можна знайти методом варіації довільних сталих (1.39–1.40). Але для рівнянь із спеціальною правою частиною частинний розв'язок можна знайти простіше, не використовуючи операцію інтегрування.   Нехай права частина диф. рівняння (1.46) має вигляд: (1.47) де дійсне число, многочлен степеня . Тоді частинний розв'язок заданого рівняння шукають у вигляді: (1.48) де многочлен з невизначеними коефіцієнтами того ж самого степеня, що й многочлен число коренів характеристичного рівняння відповідного однорід-ного диф. рівняння (1.41), які дорівнюють Якщо не є коренем характеристичного рівняння, то приймають

Для заданого диф. рівняння (1.46) пошук частинного розв'язку у вигляді(1.48)має три випадки. 1. Число у спеціальній правій частині рівняння (1.47) не є коренемхарактеристичного рівняння відповідного однорідного диф. рівняння (1.41), тобто і,томуу формулі (1.48): . Тоді частинний розв'язок заданого рівняння (1.46) шукають у вигляді: (1.49) де многочлен з невизначеними коефі-цієнтами того ж самого степеня, що й многочлен 2. Число є простим коренем характеристичного рівняння відповідного однорідного диф. рівняння (1.41), тобто або , при , томуу формулі (1.48): . Тоді частинний розв'язок заданого рівняння (1.46) шукають у вигляді: (1.50)   3. Число є двократним коренем характеристичного рівняння відповідного однорідного диф. рівняння (1.41), тобто , томуу формулі (1.48): . Частинний розв'язок заданого рівняння (1.46) має вигляд: (1.51)   Якщо права частина (1.47) має вигляд тобто тоді у формулах (1.49–1.51): невідоме число.   Невідомі коефіцієнти многочлена знаходять методом невизначених коефіцієнтів, підставивши у задане диф. рівняння (1.46).

Розв'язати диференціальне рівняння:

Розв'язання.

За теоремою (1.38) загальний розв'язок заданого рівняння дорівнює:

,

де частинний розв’язок заданого диф. рівняння,

загальний розв’язок відповідного однорідного рівняння.

Розглянемо відповідне однорідне диф. рівняння:

характеристичне рівняння;

За формулою (1.45) загальний розв'язок відповідного однорідного диф. рівняння дорівнює:

де довільні сталі.

Спеціальна права частина заданого рівняння має вигляд (1.47):

де

тобто число не є коренем характеристичного рівняння відповідного однорідного диф. рівняння, тоді, згідно (1.49), частинний розв'язок заданого диф. рівняння дорівнює:

де невідомі коефіцієнти, які необхідно знайти.

Для позначення невідомих коефіцієнтів многочлена , при невисоких його степенях, зазвичай, використо-вують змінні

Підставимо у задане диф. рівняння:

Прирівняємо коефіцієнти: звідки

Тому тоді

Відповідь. де довільні сталі.

Розв'язати диференціальне рівняння:

Розв'язання.

За теоремою (1.38) загальний розв'язок заданого рівняння дорівнює:

,

де частинний розв’язок заданого диф. рівняння,

загальний розв’язок відповідного однорідного рівняння.

Розглянемо відповідне однорідне диф. рівняння:

характеристичне рівняння.

За теоремою Вієта:

За формулою (1.43) загальний розв'язок відповідного однорідного диф. рівняння дорівнює:

де довільні сталі.

Спеціальна права частина заданого рівняння має вигляд (1.47):

де

тобто число є простим коренем характеристичного рівняння відповідного однорідного диф. рівняння, тоді, згідно (1.50), частинний розв'язок заданого диф. рівняння дорівнює:

де невідомий коефіцієнт, який необхідно знайти. Диференціюємо вираз частинного розв'язку

Частинний розв'язок перетворює задане рівняння у правильну рівність відносно Підставимо знайдені вирази , у задане рівняння замість відповідно:

Поділивши обидві частини рівності на отримаємо:

звідси,

тоді загальний розв'язок заданого рівняння дорівнює:

де довільні сталі.

 

звідки

Диференціюємо вираз загального розв'язку заданого рівняння:

звідки

додавши почленно рівняння системи, отримаємо:

Виразимо із першого рівняння системи:

Підставивши значення у загальний розв'язок , отримаємо частинний розв'язок заданого рівняння:

Відповідь.

 

 

Зразки виконання контрольного завдання №4.

Розв'язати диференціальне рівняння:

Розв'язання.

За теоремою (1.38) загальний розв'язок заданого рівняння дорівнює:

,

де частинний розв’язок заданого диф. рівняння,

загальний розв’язок відповідного однорідного рівняння.

Розглянемо відповідне однорідне диф. рівняння:

характеристичне рівняння;

тобто

За формулою (1.44) загальний розв'язок заданого диф. рівняння дорівнює:

де довільні сталі.

Спеціальна права частина заданого рівняння має вигляд (1.47):

де

і тобто число не є коренем характеристичного рівняння відповідного однорідного диф. рівняння, тоді, згідно (1.49), частинний розв'язок заданого диф. рівняння дорівнює:

де невідомі коефіцієнти, які необхідно знайти. Для цього знайдемо:

Частинний розв'язок перетворює задане рівняння у правильну рівність відносно Підставимо знайдені вирази , у задане рівняння замість відповідно:

Поділивши обидві частини рівності на отримаємо:

Використовуючи метод невизначених коефіцієнтів, отримаємо:

Звідси, тоді

де довільні сталі.

Відповідь.

 

Розв'язати диференціальне рівняння:

Розв'язання.

За теоремою (1.38) загальний розв'язок заданого рівняння дорівнює:

,

де частинний розв’язок заданого диф. рівняння,

загальний розв’язок відповідного однорідного рівняння.

Розглянемо відповідне однорідне диф. рівняння:

характеристичне рівняння;

За формулою (1.45) загальний розв'язок заданого диф. рівняння дорівнює:

де довільні сталі.

Спеціальна права частина заданого рівняння має вигляд (1.47):

де

, тобто число є двократним коренем характеристичного рівняння відповідного однорідного диф. рівняння, тоді, згідно (1.51), частинний розв'язок заданого диф. рівняння дорівнює:

де невідомі коефі-цієнти, які необхідно знайти.

Підставимо знайдені вирази , у задане рівняння замість відповідно:

Поділивши обидві частини рівності на отримаємо:

У лівій частині рівності згрупуємо вирази за степенями многочлена:

Прирівняємо коефіцієнти у лівій і правій частині рівності при однакових степенях (метод невизначених коефіцієнтів):

Звідси, тоді

де довільні сталі.

Відповідь.

 

 

Нехай права частина диф. рівняння (1.46) (де і сталі числа) має вигляд: (1.52) де і дійсні числа, многочлен степеня , многочлен степеня . Тоді частинний розв'язок заданого рівняння (1.46) шукають у вигляді: (1.53) де і многочлени степеня з невизначеними коефіцієнтами; найвищий степінь многочленів та ; число коренів характеристичного рівняння відповідного однорід-ного диф. рівняння (1.41), які дорівнюють   Функція (1.47) є окремим випадком спеціальної правої частини (1.52) і утворюється з неї при   Якщо права частина диф. рівняння (1.46) є сумою декількох різних за будовою функцій виду (1.47) або (1.52), то для знаходження частинного розв'язку необхідно використати теорему про накладання розв'язків (стр.49).   Зокрема, якщо права частина диф. рівняння (1.46) має вигляд: (1.54) де і відомі дійсні числа, то частинний розв'язок заданого рівняння шукають у вигляді: (1.55) і невідомі коефіцієнти; число коренів характеристичного рівняння, які дорівнюють .

 

Розв'язати диференціальне рівняння:

Розв'язання.

Загальний розв'язок заданого рівняння дорівнює: ,

де частинний розв’язок заданого диф. рівняння,

загальний розв’язок відповідного однорідного рівняння.

відповідне однорідне диф. рівняння;

характеристичне рівняння.

За формулою (1.44) загальний розв'язок відповідного однорідного диф. рівняння дорівнює:

де довільні сталі.

Спеціальна права частина заданого рівняння має вигляд (1.52):

де

тоді у виразі (1.53): Тому частинний розв'язок заданого диф. рівняння, згідно (1.53), дорівнює:

де і невідомі многочлени степеня , які необхідно знайти. Для цього диференціюємо вираз частинного розв'язку за правилом похідної добутку:

Підставимо знайдені вирази , у задане рівняння замість відповідно:

Поділимо обидві частини рівності на розкриємо дужки і зведемо подібні доданки при і

Прирівняємо коефіцієнти при і

тому

Тоді частинний розв'язок дорівнює:

Запишемо загальний розв'язок заданого рівняння:

де довільні сталі.

Відповідь.

 

Зразок виконання контрольного завдання №4.

Розв'язати диференціальне рівняння:

Розв'язання.

За теоремою (1.38) загальний розв'язок заданого рівняння дорівнює:

,

де частинний розв’язок заданого диф. рівняння,

загальний розв’язок відповідного однорідного рівняння.

Розглянемо відповідне однорідне диф. рівняння: характеристичне рівняння.

За формулою (1.43) загальний розв'язок відповідного однорідного диф. рівняння дорівнює:

де довільні сталі.

Спеціальна права частина заданого рівняння має вигляд (1.54):

де

комплексне число, тому і звідки Тоді, згідно (1.55) при , частинний розв'язок заданого диф. рівняння дорівнює:

де і невідомі коефіцієнти, які необхідно знайти. Для цього диференціюємо вираз частинного розв'язку

Підставимо знайдені вирази , у задане рівняння замість відповідно:

 

Прирівняємо коефіцієнти при і

домножимо почленно перше рівняння системи на число 3, друге – на число (–5) і додамо рівняння:

звідки

Підставимо у перше рівняння системи:

Звідси, частинний розв'язок дорівнює:

Запишемо загальний розв'язок заданого рівняння:

де довільні сталі.

Відповідь.

 

 

Контрольні завдання №4 містять вправи на використання спеціальної правої частини виду: (1.49), (1.50), (1.51), (1.52), (1.54).

2.6. Лінійні диференціальні рівняння го порядку із сталими коефіцієнтами

Розглянемо лінійне однорідне диференціальне рівняння го порядку із сталими коефіцієнтами:

(1.55)

де сталі дійсні числа.

Характеристичним для диф. рівняння (1.55) називається алгебраїчне рівняння го порядку:

(1.56)

яке, як відомо, має коренів:

 

1) Кожному простому кореню рівняння (1.56) відповідає частинний розв’язок диф. рівняння (1.55), а кожному кореню кратності відповідає частинних розв’язків виду:

2) Кожній порі простих комплексно-спряжених коренів рівняння (1.55) відповідає два частинних розв’язки і диф. рівняння (1.55), а кожній парі комплексно- спряжених коренів кратності відповідає частинних розв’язків виду:

3) Позначивши знайдені лінійно-незалежні частинні розв'язки через , загальний розв'язок однорідного диф. рівняння (1.55) знаходиться за формулою:

,

(1.57)

де довільні сталі.

 

Диференціальне рівняння виду:

(1.58)

є лінійним неоднорідним диференціальним рівнянням го порядку із сталими коефіцієнтами.

Загальний розв'язок диф. рівняння (1.58) знаходять аналогічно до розв'язку лінійного неоднорідного диф. рівняння другого порядку з сталими коефіцієнтами.

 

Розв'язати диференціальне рівняння:

Розв'язання.

характеристичне рівняння;

або

або

За теоремою (стр. 66) знайденим кореням характеристичного рівняння відповідають частинні розв'язки:

Загальний розв'язок заданого рівняння знаходимо за формулою (1.57):

де довільні сталі.

Відповідь.