Визначники 2-го і 3-го порядків

Визначники 2-го і 3-го порядків

Визначником матриці другого порядку називається число, яке розраховується за формулою

Визначником матриці третього порядку називається число, яке обчислюється за формулою

 

За допомогою схеми можна запам'ятати формулу обчислення визначника третього порядку: визначник складається із шести доданків, кожен доданок формули являє собою добуток трьох елементів матриці, вибраних по одному з кожного рядка та кожного стовпчика та позначених на схемі однаковим кольором. Зі знаком "+" беруться три добутки, отримані з лівого малюнку, зі знаком - отримані з правого малюнку. Таке правило обчислення визначників третього порядку називається правилом трикутників.

 

Правило Крамера

Метод Крамера (Крамера правило) — спосіб розв'язання квадратних систем лінійних алгебраїчних рівнянь із ненульовим визначником основної матриці (при цьому для таких рівнянь розв'язок існує і є єдиним). Метод було створено Габріелем Крамером у 1750 році.

Для системи n лінійних рівнянь з n невідомими (над довільним полем)

з визначником матриці системи , що не рівний нулю, розв'язок записується у такому вигляді:

(i-й стовпчик матриці системи замінюється стовпчиком вільних членів).
Іншим чином правило Крамера формулюється так: для будь-яких коефіцієнтів c₁, c₂, …, c_n виконується рівність:

У такій формі формула Крамера справедлива без припущення, що не рівне нулю, не треба навіть, аби коефіцієнти системи були елементами цілісного кільця (визначник системи навіть може бути дільником нуля у кільці коефіцієнтів). Також можна вважати, що або набори та , або набір складаються не з елементів кільця коефіциєнтів системи, а деякого модуля над цим кільцем.

 

Властивості визначників.

1.Визначник не змінюється при транспонуванні матриці. Отже при обчисленні визначника його рядки та стовпчики є рівноправними.

2. Якщо визначник містить нульовий рядок (стовпчик), то він дорівнює нулю.

3.Якщо всі елементи рядка (стовпчика) визначника мають спільний множник, то цей множник можна винести за знак визначника.

4. При перестановці двох довільних рядків (стовпчиків) визначника, визначник змінює знак на протилежний.

5. Якщо визначник містить два однакових рядки (стовпчики), то він дорівнює нулю.

6. Якщо визначник містить два пропорційних рядки (стовпчики), то він дорівнює нулю.

7. Сума добутків елементів одного рядка (стовпчика) визначника на алгебраїчні доповнення до елементів іншого рядка (стовпчика) цього визначника дорівнює нулю.

8. Визначник добутку матриць дорівнює добутку визначників цих матриць: . З цієї властивості слідує, що хоча A∙B≠B∙A, але

9. Визначник не зміниться, якщо до елементів довільного його рядка (стовпчика) додати відповідні елементи іншого його рядка (стовпчика), помножені на довільне число.

Зауваження. Остання властивість використовується для спрощення елементів визначника перед використанням теореми Лапласа.

Лінійна залежність векторів.

Набір векторів називається лінійно незалежним, якщо , та лінійно залежним, якщо , де не всі числа дорівнюють нулю.

Набір векторів – лінійно залежний, якщо хоча б один із векорів набору є лінійною комбінацією інших, тобто розкладається за іншими.

Властивості лінійно залежних та лінійно незалежних наборів векторів.

1. Якщо набір векторів містить нульовий вектор, то цей набір - лінійно залежний.

2. Якщо набір векторів містить лінійно залежну підсистему, то весь набір - лінійно залежний.

3. Якщо набір векторів лінійно незалежний, то будь-яка його підсистема - лінійно незалежна.

На практиці для перевірки лінійної залежності або незалежності набору векторів використовують таку схему, яку ми проілюструємо на прикладі.

 

 

Ранг матриці.

Мінором порядку k, що побудований за елементами матриці,

називається визначник, складений з її елементів, що розташовані на перетині k її фіксованих рядків та k фіксованих стовпчиків.

Рангом матриці А називається порядок максимального ненульо-вого мінору, що побудований за її елементами, а будь-який такий мінор називається базисним мінором матриці та позначається М_б. Зауважимо, що у матриці А базисний мінор може бути не один. Ранг матриці А позначається через r(А).

З означення випливає:

1) 0 ≤ r(А) ≤ min {m, n};

2) r(А) = 0 <=> А = 0 (тобто матриця А - нульова);

3) якщо матриця А - квадратна порядку n, то r (А) = n <=> |А| ≠ 0.

 

Системи лінійних рівнянь.

Система т лінійних рівнянь із п невідомими записується у вигляді:

Де x₁, x₂,…, x_n невідомі системи, a_ij - коефіцієнт при невідомій x_j в і-му рівнянні, b_i, - вільний коефіцієнт в і-му рівнянні.

Матрицею СЛР називається матриця коефіцієнтів при неві­домих, тобто

Вектором, невідомих називається вектор , вектором вільних членів називається вектор

Розширеною матрицею СЛР називається матриця

Очевидно, між системами лінійних трицями існує взаємно однозначна відповідність (тобто за системою однозначно виписується розширена матриця, та за розширеною мат­рицею однозначно виписується система).

За допомогою введених понять СЛР можна подати у такому матричному вигляді:

Тут ліва частина є матричним добутком матриці А розмірності тхn та матриці-стовпчика розмірності n х 1, а рівність означає рівність двох матриць розмірності т х 1.

Очевидно, виконуючи операцію множення матриць, отримаємо початкову СЛР.

Однорідною називається система лінійних рівнянь, що має нульо­вий стовпчик вільних членів,

Неоднорідною називається система лінійних рівнянь, хоча б один елемент стовпчика вільних членів якої є ненульовим.

Розв'язком, системи лінійних рівнянь, що містить n невідомих, називається впорядкований набір з n дійсних чисел - n-вимірний ве­ктор , при підстановці яких у кожне рівняння системи за­мість відповідних змінних всі рівняння перетворюються на числові тотожності.

За множиною розв'язків системи поділяють на такі види.

Система лінійних рівнянь називається сумісною, якщо має хоча б один розв'язок, та несумісною, якщо розв'язків не має.

Сумісна система лінійних рівнянь називається визначеною, якщо має єдиний розв'язок, та невизначеною, якщо розв'язків більше одного.

Зауваження. Очевидно, однорідна СЛР завжди сумісна, оскільки нульовий вектор завжди є її розв'язком.

Алгоритм методу.

І етап (прямий хід методу): кількість кроків збігається з кількіс­тю змінних системи (стовпчиків матриці системи).

й крок. Виключаємо змінну х₁ з усіх рівнянь, крім першого. Для цьо­го в першому стовпчику розширеної матриці шукають ненульовий (веду­чий) елемент, переставляють його рядок на перше місце та за допомогою елементарних перетворень над всіма наступними рядками та цим фіксо­ваним роблять нулі під ведучим елементом.

1- й крок. Виключаємо змінну х₂ з усіх рівнянь, крім перших двох.

Для цього у другому стовпчику отриманої матриці, починаючи з дру­гого місця, шукають ненульовий (ведучий) елемент.

Якщо такий є: переставляють його рядок на друге місце та за допомо­гою елементарних перетворень над всіма наступними рядками та цим фіксованим роблять нулі під ведучим елементом.

Якщо такого немає, змінну х₂ вважають вільною.

к -й крок. У к- му стовпчику попередньої матриці шукають ненульо­вий (ведучий) елемент.

Якщо попередня змінна вільна, то з того ж місця, що й на поперед­ньому кроці.

Інакше - з наступного місця.

Якщо такий елемент є: переставляють його рядок на те місце, по­чинаючи з якого шукали ведучий елемент, та за допомогою елемента­рних перетворень над всіма наступними рядками та цим фіксованим роблять нулі під ведучим елементом.

Якщо такого немає, змінну х_к вважають вільною.

Таким чином, проходимо всі стовпчики матриці системи А. Після чого матриця набуває східчастого вигляду.

II етап. Аналіз множини розв'язків СЛР.

Якщо остання матриця І етапу містить нульовий рядок, якому від­повідає ненульовий вільний член, то СЛР - несумісна, оскільки такий рядок відповідає рівнянню 0∙X₁+ 0∙X₂+...+ 0∙X_n = b, Ь ≠ 0. У проти­лежному випадку СЛР - сумісна.

Для сумісної СЛР: якщо вона містить вільні змінні, то система невизначена, інакше система визначена.

Ш етап. Зворотній хід методу (виконується лише для сумісних СЛР).

1. За останньою матрицею перетворень І етапу виписується відпо­відна СЛР (еквівалентна початковій за теоремою).

2. Надаючи вільним змінним (якщо такі є) довільних значень, їх переносять у праву частину кожного рівняння (матриця з базисних змінних стає верхньотрикутною, отже невиродженою).

3. Починаючи з останнього рівняння, знаходять відповідні значен­ня базисних змінних.

4. Виписується розв'язок СЛР (у вигляді вектора).

 

Обернена матриця

Нагадаємо, що оберненою до матриці А називається матриця А^-1, яка задовольняє співвідношення

А^-1∙А = А∙А^-1 = Е, де Е - одинична матриця, обернена матриця може існувати лише для квадратних матриць, але не кожна квадратна матриця має обернену.

Якщо визначник матриці А не дорівнює нулю, ця матриця називається невиродженою, інакше матриця А називається виродженою.

Теорема (необхідна та достатня умова існування оберненої матриці). Обернена до матриці А матриця
А^-1 існує, причому єдина тоді й тільки тоді, коли матриця А є невиродженою. При цьому

де матриця складається з алгебраїчних доповнень до кожного елементу матриці А^T і називається приєднаною.

 

Границя функції.

Нехай функція визначена на деякій підмножині множини дійсних чисел ,і – гранична точка множини . Нагадаємо, що у будь-якому –околі граничної точки міститься нескінченне число точок множини , проте сама точка може й не належати .

Визначення 1. (Гейне ). Число називається границею функції при (або в точці ), якщо для довільної послідовності , збіжної до , відповідна послідовність значень функції збіжна до .

Якщо число A– границя функції в точці , то пишуть або при .

Нехай функція має границю , тоді вона, очевидно, єдина. Це випливає з того, що збіжна послідовність може мати лише одну границю (див. гл.5, §1).

Визначення 2. (Коші). Число A називається границею функції при (або в точці ), якщо для будь-якого можна знайти таке число , що при всіх , які задовольняють нерівність

виконується нерівність

Визначення границі функції в точці за Гейне і за Коші еквівалентні.

 

13.Чудові границі

Перша чудова границя та її наслідки. Друга чудова границя та її наслідки.

 

 

Неперервність функції

 

Точки розриву

Похідна функції.

Похідною функції в точці називається границя відношення приросту функції до приросту аргументу, коли приріст аргументу прямує до нуля.

Похідна може позначатись

 

Правила диференціювання

Нехай функції мають у певній точці похідні , .

1. Похідна від суми (різниці) двох функцій:

2. Похідна від добутку двох функцій:

3. Похідна від частки двох функцій:

4. Похідна складної функції: якщо

 

17.Таблиця похідних 

 

Диференціал

 

19.Похідні вищих порядків, диференціали.

Нехай функція у = f(х) визначена та має похідну першого порядку на інтервалі (а,Ь). Тоді її похідна у' = f '(х) також буде функцією, що визначена на інтервалі (а,Ь). Якщо ця функція сама є диференційованою в деякій точці х інтервалу (а,Ь), тобто має в цій точці похідну, то вказана похідна називається другою похідною або похідною 2-го порядку і позначається

.

Аналогічно можна ввести поняття третьої похідної, потім четвертої і т.д.

Похідною п-го порядку називається похідна від похідної (n-І)-го порядку і позначається

Правило Лопіталя

Правило Лопіталя для розкриття невизначеностей типу полягає в такому: якщо функції f(х) і g(х) нескінченно малі або не­скінченно великі при х → а, диференційовані в околі точки х=а,g(x)≠0в околі цієї точки, існує , то існує і справедлива рівність

Приклади

Правило Лопіталя може застосовуватись послідовно декілька разів, якщо відношення похідних знову приводить до невизначеності, а са­мі похідні задовольняють умовам застосування правила Лопіталя.

Розкриття невизначеностей типу 0∙∞ і ∞-∞ проводять за допомо­гою тотожних перетворень, що приводять ці невизначеності до ви­ гляду , а потім застосовують таблицю еквівалентних нескін­ченно малих величин і правило Лопіталя.

Розкриття невизначеностей типу ∞⁰, 0⁰, 1^∞ проводять із попере­днім перетворенням степенево-показникового виразу за основною логарифмічною тотожністю

У результаті цих дій отримаємо (формальний запис):

Екстремум функції.

Функція f(х) називається зростаючою на інтервалі (а, Ь), якщо зцього інтервалу, таких, що , виконується умова .

Якщо при виконується умова , то функція на­зивається спадною.

Якщо на (а,Ь), то функція на цьому інтервалі зростає. Якщо на (а,Ь), то функція на цьому інтервалі спадає.

Точка х₀ називається точкою локального максимуму (мінімуму) функції у = f(х), якщо є найбільшим (найменшим) значенням

функції в деякому околі цієї точки. Точки локального максимуму і мі­німуму функції називаються точками екстремуму цієї функції.

 

 

Функції багатьох змінних.

Як відомо, будь-який упорядкований набір з n дійсних чисел х₁…,х_n позначається (х₁,…,х_n) або М(х₁,…,х_n) і називається точкою n -вимірного арифметичного простору Rⁿ; числа х₁,…,х_n називаються координатами точки М(х₁,…,х_n). Відстань між точками М(х₁,…,х_n) і М^/(х^/₁,…,х^/_n) визначається за формулою

Нехай D Rⁿ – довільна множина n -вимірного арифметичного простору. Якщо кожній точці М(х₁,…,х_n) D поставлено у відповідність деяке цілком визначене дійсне число f(M)= f(х₁,…,х_n), то кажуть, що на множині D задана числова функція f: Rⁿ R від n змінних х₁…,х_n. Множина D називається областю визначення, а множина - множиною значень функції f. Зокрема, при n = 2 функцію двох змінних z = f(x,y),(x,y) D можна розглядати як функцію точок площини в тривимірному просторі з фіксованою системою координат О_xyz. Графіком цієї функції називається множина точок

яка визначає, взагалі кажучи, деяку поверхню в R³.

Нехай (х⁰₁,…,х⁰_k,…x⁰_n) – довільна фіксована точка в області визначення функції u = f(х₁,…,х_n). Надаючи значенню змінної х_k приросту , розглянемо границю

.

Ця границя називається частинною похідною 1-го порядку функції по змінній x_k в точці (x⁰₁,…,x⁰_n) і позначається або Похідні другого порядку позначаються так:

Аналогічно визначаються і позначаються частинні похідні порядку вищого, ніж другий.

Функція u=f(M) називається диференційовною в точці М₀, якщо скрізь в околі цієї точки певний приріст функції можна подати у вигляді

де A₁,…A_n – числа, не залежні від .

Диференціалом 1-го порядку du функції називається вираз

Диференціал k -го порядку функції , де х₁…х_n – незалежні змінні, символічно записуються у вигляді формули

яка формально розкривається за біномним законом.

Градієнт функції - це вектор, що визначається формулою grad Він визначає напрямок найшвидшого зростання функції

Прикладом функцій багатьох змінних в економіці э виробничі функції

 

 

Частинні похідні

 

 

Умовний екстремум

 

32. Найбільше та найменше значення функції в замкненій області

 

33. Первісна функція та невизначений інтеграл

Таблиця інтегралів

 

35. Основні методи інтегрування: метод підстановки, інтегрування частинами

36. Інтегрування раціональних дробів

 

 

Визначений інтеграл

Означення: Якщо існує скінченна границя інтегральних сум S_n при l_і­­à0 і не залежить ні від способу розбиття [a;b] на частини Dх_і, ні від вибору точок x_і, то ця границя називається визначеним інтегралом від ф-ії f(x) на проміжку [a;b] і позначається:

За означенням, визначений інтеграл – число, яке залежить від типу ф-ії f(x) та проміжку [a;b]; він не залежить від того, якою буквою позначена змінна інтегрування. Визначений інтеграл — в математичному аналізі це інтеграл функції з вказаною областю інтегрування. Визначений інтеграл є неперервним функціоналом, лінійним по підінтегральним функціям і адитивним по області інтегрування. У найпростішому випадку область інтегрування — це відрізок числової осі. Геометричний зміст визначеного інтеграла — це площа криволінійної фігури (криволінійної трапеції), обмеженої віссю абсцис, двома вертикалями на краях відрізка і кривою графіка функції.

Ф-ія, для якої на інтервалі існує визначений інтеграл називається інтегровною.

Формула Ньютона-Лейбніца

Теорема (Ньютона-Лейбніца): Якщо ф-ія f(x) – неперервна для xÎ [a;b], то визначений інтеграл від ф-ії f(x) на проміжку [a;b] дорівнює приросту первісної ф-ії f(x) на цьому проміжку, тобто:

де F’(x)=f(x)

Зв’язок між визначеним та невизначеним інтегралами можна представити такою рівністю:

Наслідок: Для обчислення визначеного інтеграла достатньо знайти одну із первісних підінтегральної ф-ії і виконати над нею подвійну підстановку.

Невласні інтеграли

Нехай f(x) інтегровна для будь-якого скінченного b Î[a;+¥), так що існує.

Означення: Границя при bà+¥ називається невласним інтегралом від ф-ії не нескінченному проміжку [a;+¥) і позначається:

Якщо ця границя скінченна, то невластивий інтеграл називається збіжним, а якщо не існує (в тому числі нескінченна), – розбіжним.

Вважаючи, що f(x) – інтегровна для скінченних a та b, формули для обчислення невластивих інтегралів на нескінченному проміжку мають вигляд:

де с=const.

Теорема: Якщо при x ³ a має місце нерівність 0£f(x)£g(x) то із збіжності інтеграла виходить збіжність інтеграла , або із розбіжності випливає розбіжність .

Метод Бернуллі

За методом Бернуллі шукають загальний розв’язок лінійного неоднорідного рівняння у вигляді , де - невідомі диференційовані функції. Враховуючи співвідношення , рівняння перетворюється у наступне: , звідки

,(1)

Шукають як розв’язок рівняння з відокремленими змінними , звідки . Обирають значення довільної сталої та повертаються до рівняння (1), підставивши в нього знайдену функцію , тоді , звідки . Остаточно, враховуючи , одержують загальний розв’язок .

Необхідна ознака збіжності.

Теорема: Якщо ряд

збіжний, то:

Доведення: Оскільки ряд збіжний, то:

поряд з цією рівністю для збіжного ряду можна записати:

Ця ознака є лише необхідною умовою збіжності. Якщо вона не виконується, то ряд розбіжний, якщо виконується, то ряд може бути як збіжним, так і розбіжним.

Функціональні ряди.

Означення: Ряд вигляду U₁(x)+U₂(x)+…+U_n(x)+…, де членами рядуU_n(x) є ф-ції від аргументу х, називається функціональним рядом. При х=х₀ функціональний ряд перетворюється на на числовий ряд.

Означення: Всі значення аргументу х, при яких функціональний ряд збігається, називаються областю збіжності функціонального ряду.

Степеневі ряди:

Означення: Функціональний ряд вигляду a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ+… називається степеневим рядом, його загальний член U_n(x)=a_nxⁿ, а числа а₀,а₁,а_2,...,а_n,... – називають коефіцієнтами степеневого ряду. Степеневий ряд можна записати як:

Степеневий ряд може мати вигляд: a₀+a₁₍x-с)+a₂₍x-с)²+…+a_n(x-с)ⁿ+… Такий ряд за допомогою заміни х-с=у зводиться до звичайного степеневого ряду.

 

 

51. Знакозмінні ряди.

Функціональні ряди.

Вираз називається функціональним рядом. Приклад При одних значеннях ряд може сходитися, для інших значень - розходитися.При кожному конкретному значенні із області визначення D функціональний ряд перетворюється на числовий. Якщо для є D числовий ряд збігається, то кажуть, що функціональний ряд збігається в точці , а саму точку називають точкою збіжності. Множина всіх значень змінної , при яких функціональний ряд збігається називається областю збіжності ряду.

Ознака Вайєрштраса. Функціональний ряд вигляду абсолютно і рівномірно збіжний на проміжк , якщо існує знакододатний збіжний числовий ряд такий, що для всіх виконується умова

Теорема Абеля. Якщо степеневий ряд збігається в точці , то він збігається абсолютно в інтервалі Якщо степеневий ряд розбіжний в точці , то він буде розбіжний для всіх , що задовольняють умову

Число називають радіусом збіжності степеневого ряду, а проміжок - інтервалом збіжності (областю збіжності).Якщо всі коефіцієнти ряду ненульові, то радіус збіжності рівний наступній границі при умові, що вона існує (скінченна чи нескінченна).Для рядів вигляду

радіус збіжності визначається за формулою , проте інтервал збіжності з нерівності Теорема не дає відповіді про збіжність на кінцях інтервалу, тому їх слід перевіряти окремо за відомими ознаками збіжності.

 

53. Степеневі ряди.

 

 

Визначники 2-го і 3-го порядків

Визначником матриці другого порядку називається число, яке розраховується за формулою

Визначником матриці третього порядку називається число, яке обчислюється за формулою

 

За допомогою схеми можна запам'ятати формулу обчислення визначника третього порядку: визначник складається із шести доданків, кожен доданок формули являє собою добуток трьох елементів матриці, вибраних по одному з кожного рядка та кожного стовпчика та позначених на схемі однаковим кольором. Зі знаком "+" беруться три добутки, отримані з лівого малюнку, зі знаком - отримані з правого малюнку. Таке правило обчислення визначників третього порядку називається правилом трикутників.

 

Правило Крамера

Метод Крамера (Крамера правило) — спосіб розв'язання квадратних систем лінійних алгебраїчних рівнянь із ненульовим визначником основної матриці (при цьому для таких рівнянь розв'язок існує і є єдиним). Метод було створено Габріелем Крамером у 1750 році.

Для системи n лінійних рівнянь з n невідомими (над довільним полем)

з визначником матриці системи , що не рівний нулю, розв'язок записується у такому вигляді:

(i-й стовпчик матриці системи замінюється стовпчиком вільних членів).
Іншим чином правило Крамера формулюється так: для будь-яких коефіцієнтів c₁, c₂, …, c_n виконується рівність:

У такій формі формула Крамера справедлива без припущення, що не рівне нулю, не треба навіть, аби коефіцієнти системи були елементами цілісного кільця (визначник системи навіть може бути дільником нуля у кільці коефіцієнтів). Також можна вважати, що або набори та , або набір складаються не з елементів кільця коефіциєнтів системи, а деякого модуля над цим кільцем.

 

Властивості визначників.

1.Визначник не змінюється при транспонуванні матриці. Отже при обчисленні визначника його рядки та стовпчики є рівноправними.

2. Якщо визначник містить нульовий рядок (стовпчик), то він дорівнює нулю.

3.Якщо всі елементи рядка (стовпчика) визначника мають спільний множник, то цей множник можна винести за знак визначника.

4. При перестановці двох довільних рядків (стовпчиків) визначника, визначник змінює знак на протилежний.

5. Якщо визначник містить два однакових рядки (стовпчики), то він дорівнює нулю.

6. Якщо визначник містить два пропорційних рядки (стовпчики), то він дорівнює нулю.

7. Сума добутків елементів одного рядка (стовпчика) визначника на алгебраїчні доповнення до елементів іншого рядка (стовпчика) цього визначника дорівнює нулю.