Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь FAQ Написать работу КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Поняття і властивості визначника n-го порядкуСодержание книги
Поиск на нашем сайте
На практичних заняттях було введено поняття визначника другого і третього порядків. Це були числа, отримані за певними законами з таких таблиць- матриць другого і третього порядків відповідно: s w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> Визначник другого порядка – це число, що позначається і яке дорівнює алгебраїчній сумі , аналогічно визначник третього порядку: Ми хочемо узагальнити це поняття, тобто отримати визначник -го порядку таким чином, що з нього при та отримати попереднє. Аналіз обчислення визначників другого і третього порядків приводить до доцільності такого означення: Означення. Визначником -го порядку, що відповідає матриці: називається алгебраїчна сума доданків, кожний з яких є добутком елементів, взятих по одному з кожного рядка і кожного стовпця матриці, причому зі знаком "+", якщо підстановка складена з перших і других індексів, парна і зі знаком "–", якщо вона непарна. Отже визначник -го порядку складається з доданків вигляду , де – кількість інверсій у перестановці α1,α2,…,αn. Для визначника вводять позначення: Властивість 1. Визначник не зміниться, якщо його рядки зробити відповідними стовпцями. Розглянемо визначник d.
Стверджується, що Розглянемо загальний член визначника d: Це перетворення, при якому всі рядки стають відповідними стовбцями, називається транспонуванням. Властивість 2. Якщо в визначнику поміняти місцями будь які 2 рядки, то знак визначника зміниться на протилежний. Доведення за схемою властивості 1. Насправді, нехай у визначнику міняються місцями i-ий та j-ий рядки, , а всі інші рядки залишаються на місці. Ми отримаємо визначник :
.
Якщо (1) є членом визначника , то всі його елементи і у визначнику залишаються, очевидно, в різних рядках і різних стовпцях. Таким чином, визначники d та d1 складаються з одних і тих же членів. Члену (1) у визначнику відповідає підстановка (2), а у визначнику - підстановка (3). Підстановку (2) можна одержати з підстановки (1) однією транспозицією в верхньому рядку, тобто вона має протилежну парність. Звідси випливає, що всі члени визначника d входять до визначника d1 і відрізняються лише знаком. Властивість 3. Якщо в визначнику є нульовий рядок, то визначник дорівнює 0. Нехай усі елементи і-го рядка визначника є нулями За означенням визначник n-го порядку це алгебраїчна сума n доданків, кожний з яких є добутком n елементів, узятих по одному з кожного рядка й кожного стовпця матриці і т.д. Отже, у кожний член визначника повинен увійти множником один елемент з і-ого рядка, тому в нашому випадку всі члени визначника дорівнюють нулю. Що й треба було довести. Властивість 4. Якщо в визначнику є 2 рівних рядка, то визначник дорівнює 0. Доведення. Нехай у визначнику d рівні між собою і-рядок і j=рядок Нехай d = k d1 – визначник d, в якому поміняли і з j рядок. Тоді за властивістю 2: d1=-k Але насправді нічого не змінилось, оскільки, i та j рядки рівні d1=d=k ⟹ -k=k Звідси, 2k=0, k=0. Властивість 5. Якщо всі елементи деякого рядка помножити на число r, то визначник зміниться в r разів. Доведення за схемою властивості 1. Цю ж властивість можна сформулювати у вигляді: якщо рядок визначника містить постійний множник, то його можна винести за знак визначника. Розглянемо визначник d: Нехай на r помножені всі елементи і-ого рядка. Кожний член визначника містить рівно один елемент із і-ого рядка, тому всілякий член отримує множник r, тобто сам визначник множиться на r. Властивість 6. Якщо у визначнику є два пропорційні рядки, то визначник = 0. Доведення проводиться з використанням властивості 5 і властивості 4. Насправді, нехай елементи j-ого рядка визначника відмінюються від відповідних елементів і-ого рядка одним і тим самим множником r.
Виносячи спільний множник r із j-ого рядка за знак визначника, ми отримуємо визначник з двома однаковими рядками, який дорівнює нулю за властивістю 4. Властивість 4 (а також властивість 3 при ) є, очевидно, окремим випадком властивості 6 (при r = 1 і r = 0). Властивість 7. Якщо кожний елемент і-рядка визначників є сумою 2-ох доданків, то такий визначник можна подати як суму двох визначників, у яких всі рядки, за винятком і-ого такі ж, як у початковому. і-й рядок першого визначника складається з перших доданків, і-ий рядок другого визначника складається з других доданків.
Доведення за схемою доведення властивості 1. Дійсно, всілякий член заданого визначника можна подати у вигляді: Збираючи разом перші доданки цих сум (з тими ж знаками, які мали відповідні члени в заданому визначнику) ми отримаємо, очевидно, визначник n-го порядку, що відмінюється від заданого визначника лише тим, що в і-ому рядку замість елементів стоять елементи . Відповідно другі доданки складають визначник, в і-ому рядку якого стоять елементи . Властивість 8. Якщо до і-ого рядка визначника додати j-ий рядок, в подумках помножений на деяке число, то визначник не зміниться. Доведення. Нехай до і-го рядка визначника d додається j-ий рядок, помножений на k, тобто в новому визначнику всілякий елемент і-го рядка має вигляд . Тоді на підставі властивості 7 цей визначник дорівнює сумі двох визначників, з яких перший є d, а другий містить пропорційні рядки і тому дорівнює 0. Властивість 9. Якщо в визначнику присутній рядок, що є лінійною комбінацією інших рядків, то визначник дорівнює 0. Доведення. Нехай, наприклад, і-ий рядок буде лінійною комбінацією s інших рядків
Застосовуючи властивість 7, ми подамо наш визначник у вигляді суми визначників, у кожному з яких і-ий рядок буде пропорційним до одного з інших рядків. За властивістю 6 усі ці визначники дорівнюють нулю, дорівнює нулю, отже і заданий визначник теж. Ця властивість є узагальненням властивості 6, причому вона дає найзагальніший випадок рівності визначника нулю. Зауваження. Завдяки властивості 1 все, що було формульовано для рядків є правильним і для стовпців, тому властивість 1 називається властивістю рівноправності рядків і стовпців.
|
||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-04-08; просмотров: 721; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.225.234.164 (0.006 с.) |