Поняття лінійно залежних і лінійно незалежних систем векторів.

Означення. Лінійною комбінацією векторів називається вектор де p_i - будь-які числа.

Означення 1. Система векторів називається лінійно залежною, якщо принаймні один з векторів цієї системи є лінійною комбінацією інших.

Інакше кажучи, .

Означення 2. Система векторів називається лінійно залежною, якщо існують числа , серед яких принаймні одне , що виконується рівність:

.

Теорема. При перше і друге означення лінійно залежної системи еквівалентні.

Доведення.

Нехай система векторів лінійно залежна за означенням 1.Треба довести, що вона лінійно залежна у сенсі означення 2.

Скористаємось означенням 1. Тоді виконується (1):

.

Додамо до обох частин даної рівності вектор протилежний до :

Внаслідок комутативності і означення нульового вектора маємо:

Тобто , що виконується і рівність і система лінійно залежна за означенням 2.

 

Нехай тепер система векторів лінійно залежна за означенням 2:

().

Треба довести, що .

Додамо вектор до лівої та правої частини даної рівності:

Відомо, що , тоді помноживши обидві частини рівності на маємо:

Тобто система є лінійно залежною за означенням 1.

Теорему доведено.

Зауваження. При , означення 1 лінійної залежності втрачає сенс, тоді як за означенням 2 рівність при стає , тобто . Маємо, що система з одного вектора лінійно залежна тоді і тільки тоді, коли цей вектор нульовий.

Теорема. Якщо у системі векторів є лінійно залежна підсистема, то і вся система лінійно залежна.

Доведення.

Нехай задана система . Візьмемо її підсистему. Не зменшуючи загальності міркувань вважатимемо, що підсистема – лінійно залежна. Тоді : .

Запишемо рівність в такому виді:

Тоді такі, що .

Система лінійно залежна за означенням 2.

Теорему доведено.

Означення. Система векторів називається лінійно незалежною, якщо рівність виконується тоді і тільки тоді, коли .

З вище доведеної теореми випливає, що якщо система лінійно незалежна, то всі її підсистеми також лінійно незалежні.

Геометрична інтерпретація поняття лінійної залежності.

З’ясуємо геометричний зміст поняття лінійної залежності.

Теорема 1. Для того, щоб система з одного вектора була лінійно залежною, необхідно і достатньо, щоб цей вектор був нульовим.

Теорему 1 було обґрунтовано у зауваженні попереднього параграфу.

Теорема 2. Необхідною і достатньою умовою лінійної залежності двох векторів є їх колінеарність.

Доведення.

Необхідність. Припустимо, що вектори утворюють лінійно залежну систему.

Доведемо, що вектори колінеарні.

Отже один з векторів є лінійною комбінацією. Нехай це (для визначеності). Тоді , тобто вектори колінеарні.

Достатність. Припустимо, що . Покажемо, що система лінійно залежна.

Можливі випадки:

1) Принаймні один з векторів нульовий. Тоді твердження очевидне, тому що в системі міститься лінійно залежна підсистема.

2) Обидва вектори ненульові.

Для доведення потрібна така лема.

Лема. Якщо і , то : .

Дійсно, якщо , то , якщо , то .

Згідно із лемою маємо, що . Таким чином система лінійно залежна.

Теорему доведено.

Теорема 3. Необхідною і достатньою умовою лінійної залежності трьох векторів є їх компланарність.

Доведення.

Необхідність. Припустимо, що вектори утворюють лінійно залежну систему. Покажемо, що вони компланарні.

Якщо серед векторів системи пара колінеарних, то очевидно, що вони є компланарними. Нехай тоді вектори попарно неколінеарні. Тоді за означенням 1 лінійної залежності існує вектор (наприклад, ), що є лінійною комбінацією інших .

Візьмемо точку А і прикладемо до неї вектори . Побудуємо паралелограм зі сторонами .

 

 

A

C

D

B

 

 

(для визначеності )

 

 

Тоді з попередньої рівності випливає, що – сторони і діагональ паралелограма. Отже ці вектори компланарні. Оскільки , то вектори також компланарні.

Достатність. Припустимо, що – компланарні. Покажемо, що вони лінійно залежні.

Якщо серед векторів системи пара колінеарних, то в системі є лінійно залежна підсистема і тому вся система залежна. Нехай тоді вектори попарно неколінеарні.

Прикладемо вектори до однієї точки А і побудуємо паралелограм ABDC з діагоналлю і сторонами, що знаходяться на прямих, на яких знаходяться вектори . Тоді .

Оскільки , то . Тоді , тобто є лінійною комбінацією і . Отже вектори лінійно залежні за першим означенням.

Теорему доведено.

Теорема 4. Довільні чотири вектори геометричного простору лінійно залежні.

Доведення.

Нехай маємо систему . Якщо серед них є трійка компланарних, то вони очевидно лінійно залежні. Нехай такої трійки немає.

Візьмемо точку А і прикладемо до неї дані вектори. Побудуємо паралеліпіпед, діагональ якого є , а ребра знаходяться на прямих, що містять вектори .

D1

C1

B1

B

D

A

C

A1

 

 

За означенням додавання векторів маємо . Оскільки , маємо .

Тоді , а тому – лінійно залежна.

Теорему доведено.

Зауваження. Мимохідь ми довели таке важливе твердження: будь-який вектор у просторі можна розкласти за трійкою некомпланарних векторів.