Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь FAQ Написать работу КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Тригонометрична форма комплексного числа. Операції множення та ділення в тригонометричній формі.Содержание книги
Поиск на нашем сайте
Нехай задано комплексне число a = (a, b) = a + b×і, де a і b – декартові прямокутні координати точки a, що зображає комплексне число. Введемо полярну систему координат таким чином, щоб полюс її збігався з початком декартової системи, а полярна вісь – з вісью 0х. Нехай точка a має полярні координати a (r,j). Використовуючи зв¢язок між декартовою і полярною системами, маємо a = a + bi = r×cosj + r×sinj Звідси a = r (cosj + isinj), отримана форма запису комплесного числа називається тригонометричною формою, r – модуль комплексного числа a (r = ½a½), j - аргумент к a (j = arg a). Таким чином ми довели, що будь-яке комплексне число можна записати в тригонометричній формі.
Розглянемо операції множення та ділення в тригонометричній формі. Нехай задно два комплексних числа в тригонометрчній формі a = r1 (cos + i sin ) b = r2 (cos + i sin ). Треба одержати a× b = r (cos j + i sin j). Для того, щоб це зробити перейдемо від тригонометричної фори до агебраїчної і перемножимо. a× b = ( cos + sin ) () = = , тобто a×b = (cos( + )+i×sin( + )). Звідси випливає: r=r1r2, r=|a× b|, r1=|a|, r2=|b|, |a× b|=|a|×|b|. j = + , j = arg (ab), = arg a, = arg b, arg (ab) = arg a + arg b. Таким чином ми одержали, що 1) модуль добутку двох комплексних чисел дорівнює добутку модулів. 2) аргумент добутку двох чисел дорівнює сумі аргументів. Підсумовуючи це, маємо Правило: Для того, щоб перемножити два числа в тригонометричній формі, треба перемножити їх модулі і додати аргументи. Розглянемо частку двох комплексних чисел в тригонометричній формі Домножимо чисельник і знаменник на Отже, отримали правило , arg () = × = arg a - arg b.
Операції піднесення до степеня Поняття цілого степеня комплексного числа вводиться так само як і для дійсного числа. Нагадаємо, що при . Домовились вважати . Для введення існують два шляхи. 1) , де 2) Для корректності введеного поняття треба виконати вправу: 1) Довести 2) Довести при . 1. Розглянемо спочатку операцію піднесення в алгебраїчній формі. Нехай задано число . Оскільки з попередніх означень випливає, що піднесення до цілого степеня зводиться до піднесення до натурального степеня, то можна скористатися формулою Бінома Ньютона: Розглянемо таблицю множення числа і з цього випливає Використовуючи таблицю множення та виділяючи дійсну та уявну частину, отримаємо
2. Розглянемо операцію піднесення до степеню, коли задано в тригонометричній формі. Використовуючи правило множення комплексних чисел в тригонометричній формі, маємо .
Застосуємо отримані рівності (1) і (2) для знаходження розкладання і через і . Окремі випадки цих формул при n=2,3 відомі зі шкільного курсу. Застосуємо до числа формулу (2). В тригонометричній формі (3) Застосуємо формулу (1) при , отримаємо
Порівнюючи в формулах (3) і (4) дійсні та уявні частини, отримаємо (4)
Операція здобуття кореня n-ого степеня з комплексного числа Нехай задане комплексне число . Означення Коренем n-ого (n≥2) степеня з комплексного числа називається комплексне число таке, що . Нехай число задано в алгебраїчній формі . Шукатимемо також в алгебраїчній формі . Розглянемо найпростіший випадок n=1. Тоді за попереднім означенням треба знайти дійсні числа с і d такі що Тобто, Порівнюючи дійсні та уявні частини, отримаємо дійсну нелінійну систему рівнянь.
Більш складна система виникає, якщо таким шляхом вилучати корені степеня n≥3. Розглянемо це питання для комплексного числа заданого в тригонометричній формі . Шукатимемо також в тригонометричній формі . За означенням, користуючись формулою Муавра, маємо . З цієї рівності випливає Звідси випливає (арифметичний корінь), . Отже Насправді, щоб отримати всі корені достатньо змінювати . Нехай . Доведемо, що збігатиметься з одним з коренів . Поділимо к на n: . Тоді Скористаємося періодичністю тригонометричних функцій, тоді Отже, отримали формули Зауваження В шкільному курсі символ вживався лише для арифметичних коренів. Тепер ми вживатимемо цей символ в більш широкому сенсі.
|
||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-04-08; просмотров: 689; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.191.84.179 (0.008 с.) |