Поняття базису простору і площини

Означення. Максимальною лінійно незалежною системою векторів простору (площини) називається така лінійно незалежна система векторів, приєднання до якої будь-якого вектору простору (площини) приводить до лінійно залежної системи.

Означення. Базисом називається упорядкована максимальна лінійно незалежна система векторів простору(площини).

З попереднього випливає, що базисом площини є будь-яка упорядкована система двох неколінеарних векторів, а базисом простору – будь-яка упорядкована трійка некомпланарних векторів.

Теорема. Будь-який вектор площини(простору) можна розкласти і при тому єдиним чином за векторами базису.

Доведення.

Доведемо цю теорему в просторі.

Розглянемо базисні вектори . Візьмемо довільний вектор .

Зауважимо, що можливість розкладання доведено у теоремі 4 про геометричний зміст лінійної залежності.

Тож маємо .

Доведемо єдиність розкладання.

Припустимо супротивне, що для має місце ще одне розкладання.

.

Зауважимо, що оскільки розкладання відрізняються, то різними є принаймні одна пара коефіцієнтів c_i, d_i. Припустимо (для визначеності), що .

Тоді отримуємо:

Оскільки , то отримано рівність , що стверджує про лінійну залежність векторів базису. Отримано суперечність до означення базису.

Теорему доведено.

Означення. Координатами вектора у заданому базисі називаються коефіцієнти розкладання цього вектора за векторами базису.

Афінна система координат.

Розглянемо площину або простір.

Означення. Афінною системою координат називається система, що складається з точки, яку називають початком системи координат, і базису (для площини), (для простору).

Означення. Радіус-вектором точки називається вектор, початком якого є початок системи координат, а кінцем - дана точка.

Означення. Афінними координатами точки називаються координати її радіус-вектора у даній афінній системі координат.

Твердження. Нехай задано вектор , причому точка А в деякій афінній системі координат має координати , а точка B у цій же системі – . Тоді координатами вектора є .

Доведення.

У афінній системі координат задані координати точки А, отже:

Отримали, що має координати .

Теорему доведено.

Прямокутна декартова система координат є окремим випадком афінної системи координат. При цьому базисні вектори взаємно перпендикулярні і мають одиничну довжину. Вони позначаються:

 

Додатковий матеріал з векторної алгебри

Для оволодіння рештою інформації з векторної алгебри пропонується написання реферату за наступною схемою.

Схема написання теоретичної частини

I. Скалярний добуток

1. Скалярна проекція вектора на вісь.

Почнемо з допоміжного поняття величини напрямленого відрізку.

Розглянемо вісь u і напрямлені відрізки на осі u.

Означення 1. Величиною напрямленого відрізку називається число, що позначається :

Розглянемо тепер вектори, що не обов’язково належать осі u.

B

A

 

 

Означення 2. Векторною проекцією вектора AB на вісь u називається вектор , де ортогональна проекція точки A, – отрогональна проекція точки B.

Позначимо векторну проекцію

Означення 3. Скалярною проекцією вектора на вісь u називається величина його векторної проекції

.

Теорема 1. Скалярна проекція вектора на вісь дорівнює добутку довжини цього вектора на косинус кута між вектором та віссю.

Доведення. (навести доведення)

Для доведення властивостей скалярних проекцій векторів корисною є теорема про геометричний зміст декартових прямокутних координат.

Теорема 2. Декартові прямокутні координати є проекціями вектора на відповідні координатні осі.

Скалярна проекція має такі властивості.

Теорема 3. Скалярна проекція суми двох векторів дорівнює сумі скалярних проекцій цих векторів

.

Доведення. (навести доведення)

Теорема 4. Скалярна проекція добутку вектора на число дорівнює добутку цього числа на скалярну проекцію вектора

.

2. Поняття скалярного добутку.

Означення 3. Скалярним добутком двох векторів і називається число , що дорівнює добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними.

Останню рівність можна записати у вигляді

або

Звідси випливає інше означення скалярного добутку.

Означення 4. Скалярним добутком векторів та називається добуток довжини одного з векторів на скалярну проекцію другого вектора на напрямок першого.

3. Алгебраїчні та геометричні властивості скалярного добутку

Доведемо, що скалярний добуток має такі алгебраїчні властивості:

1) (властивість симетрії)

2) (дистрибутивність)

3)

4)

(навести доведення перелічених властивостей).

Зауваження. З властивостей 3) та 1) випливає, що .

Зі скалярним добутком пов’язана така геометрична властивість:

Для того щоб вектори були ортогональними (перпендикулярними) необхідно і достатньо, щоб їх скалярний добуток дорівнював нулю (навести доведення необхідності і достатності умови).

 

4. Вираз скалярного добутку через координати векторів

Означення. Базис простору (площини) називається ортонормованим, якщо він складається з попарно ортогональних векторів, довжина яких дорівнює одиниці.

Нехай в просторі введено ортонормований базис , тобто

нехай далі вектори і мають координати , відповідно.

Теорема. Скалярний добуток в ортонормованому базисі дорівнює сумі добутків відповідних координат векторів і , тобто