Зв’язок між розв’язком неоднорідної і відповідної однорідної системи рівнянь.

Нехай задано неоднорідну систему

, (1)

Означення. Відповідною однорідною системою називається система

, (2)

з тими ж самими коефіцієнтами .

Звя’язок між розв’язками системи (1) та (2) описується наступними теоремами.

Теорема 1. Сума розв’язків неоднорідної і відповідної однорідної системи лінійних алгебраїчних рівнянь є розв’язком неоднорідної системи.

Теорема 2. Різниця двох розв’язків неоднорідної системи є розв’язком відповідної однорідної системи.

Доведення теореми 1. Нехай () – розв’язок системи (1), () – розв’язок системи (2). Треба довести, що - розв’язок системи (1).

За означенням розв’язку маємо систему правильних числових рівностей

, () (3)

, () (4)

Підставимо в ліву частину системи (1) замість .

()

Перша властивість доведена.

 

Доведення теореми 2. Нехай (), () – розв’язки системи (1). Розглянемо упорядкований набір . Ми повинні довести, що це розв’язок системи (2).

За означенням розв’язку маємо системи правильних числових рівностей:

, (), (3)

, (). (3’)

Підставимо в ліву частину рівнянь системи (2) замість числа відповідно і обчислимо її.

.

Таким чином, одержуємо правильних числових рівностей.

Твердження. З цих двох теорем випливає такий алгоритм розв’язування неоднорідної системи рівнянь: множину всіх розв’язків можна одержати додавання до кожного розв’язку множини розв’язків однорідної системи одного розв’язку (окремого) неоднорідної системи.

Доведенння твердження.

Нехай Н= – множина розв’язків системи (1),

– множина розв’язків системи (2).

Нехай - окремий розв’язок системи (1).

Розглянемо суму з будь-яким розв’язком однорідної системи.

+ = ** є Н - розв’язок системи (1).

Виникає питання, може система (1) має інші розв’язки, що отримуються за іншим алгоритмом? Доведемо, що цього не може бути.

2) Нехай є Н. Доведемо, що можна одержати додаванням до якогось розв’язку з множини Q. Розглянемо різницю ( - ). Тоді за теоремою 2, це розв’язок системи (2), тобто ( - ) = * є Q. Отже .

Алгебра матриць

 

Розглянемо спочатку квадратні матриці одного і того ж n- го порядку. Для матриць введено три операції:

1) множиння матриць;

2) додавання матриць;

3) множиння матриці на число.

Множиння матриць.

Означення. Добутком матриць А і В називається матриця С того ж самого порядку, що матриці А та В, елементи якої утворюються за таким законом:

елемент розташованний в і-тому рядку та к-му стовпцю матриці С дорівнює сумі добутків елементів і-того рядка матриці А на відповідні елементти к-того стовпця матриці В.

А= , В=

.

Закони множення.

1. Множення матриць, взагалі кажучі, не комутативне. Для того, щоб в цьому переконатись,досить знайти дві матриці А і В, для яких А×В ¹ В×А.

А= , В= .

А×В = = ,

 

В×А = = .

З наведеного прикладу бачимо, що А×В ¹ В×А. При цьому ми виходили з такого означення рівних матриць.

Означення. Матриці А і В називаються рівними, якщо на одних і тих самих місцях знаходяться рівні елементи.

Теорема. Множення матриць підпорядковується асоціативному закону.

Тобто ми повинні довести, що для будь-яких матриць А, В і С має місце рівність

(А × В) × С = А × (В × С).

Нехай

А=(), В=(). А × В = D = ()

 

(А × В) × С = C ×D = F (), (В × С) = Р ()

А × (В × С) = А× Р = Т ().

В цих позначеннях треба довести, що F = Т, тобто ( = 1,2,…, )

Обчислимо

, (1)

, (2)

Підставимо (2) в (1), отримаємо

(3)

Преходимо до обчислення .

(4)

(5)

Підставимо (5) в (4), отримаємо

(6)

Порівнюючи (3) і (6), приходимо до висавку, що , що й треба було довести.

Хоча множення матриць, взагалі кажучі, некомутативне, існує матриця, яка комутує з будь-якою матрицею А, і більш того, в добутку з даною матрицею не змінює цю матрицю А. Це так звана одинична матриця:

Е = .

Ця матриця має такі властивості:

1) А × Е = А, " А

2) Е × А = А, " А,

а звідси випливає, що А × Е = Е × А.

Доведемо другу властивість.

 

Е × А = × =

 

= = А.

 

Так само доводиться перша властивість, тобто безпосереднім множенням.

Теорема. .

Доведеня. Нехай задано матриці А і В, а С – добуток цих матриць. Треба довести, що

det C = det A ×det B.

Для доведення побудуємо визначник d порядку 2n:

 

d = .

 

Застосуємо до перших n рядків цього визначника теорему Лапласа

d = det A ×det B (, тобто

d = det A ×det B (1)

Перетворимо визначник d за допомогою восьмої властивості визначників. До (n+1) стовпчика додамо перший стовпець помножений на , другий – на , n-ий – на .

Аналогічно зробимо з (n+2)-им стовпцем, (2n)-им стовпцем. В правому нижньому куті отримаємо нульовий блок порядку n. А правий верхній кут, тоді перетворюється в елементи матриці С.

 

 

Застосуємо до цього визначника теорему Лапласа.

d = det C .

Користуючись формулою суми 2n членів арифметичної прогресії, маємо

d = det C , det C = det A × det B.

Вправа. Довести самостійно єдиність одиничної матриці (скористатись методикою доведення єдиності нульового вектора будь-якого лінійного простору).