IV. Подвійний векторний добуток.

1. Поняття подвійного векторного добутку.

Означення. Подвійним векторним добутком трьох векторів називається векторний добуток двох векторів вектора і вектора : .

Алгебраїчні властивості подвійного векторного добутку є наслідками алгебраїчних властивостей векторного добутку.

Існує зв’язок між подвійним векторним добутком і лінійними операціями над векторами. Цей зв’язок здійснюється за формулою

Доведення. (Довести цю формулу)

Поняття лінійного простору.

Означення 1. Г оворитимемо, що у множині М визначена внутрішня бінарна алгебраїчна операція, якщо будь-якій упорядкованій парі елементів за деяким правилом ставиться у відповідність однозначно визначений елемент zϵM.

Означення 2. Говоритимемо, що в множині M визначена зовнішня операція над множиною P, якщо будь-якій парі елементів ставиться у відповідність однозначно визначений елемент множини М.

Операція додавання векторів (геометричних) відноситься до внутрішніх операцій і операція множення геометричного вектора на число є прикладом зовнішньої операції, визначеної в множині геометричних векторів над множиною дійсних чисел.

Означення 3. Векторним або лінійним простором називається непорожня множина V, в якій визначено дві операції над множиною дійсних чисел: внутрішня, що умовно називається додаванням, і зовнішня, що умовно називається множенням на дійсне число, і виконується 8 умов:

1. – комутативність додавання.

2. – асоціативність додавання.

3. ( x).

4. – для довільного елемента існує протилежний до нього.

5. – серед множини дійсних чисел є таке, що не змінює у добутку вектор.

6.

7.

8.

Означення 4. Елементи множини V, що є векторним простором, називаються векторами.

Приклад 1. Всі геометричні вектори простору (площини) утворюють векторний простір відносно традиційних операцій додавання геометричних векторів і множення вектора на число. Дійсно, виконання всіх вимог означення 3 було обґрунтовано у векторній алгебрі.

Приклад 2. (арифметичний простір)

За множину V візьмемо множину всіх упорядкованих чисел.

Числа назвемо компонентами вектора.

Cумою векторів і назвемо вектор, утворений сумою відповідних компонент: .

Добутком вектора на число назвемо вектор .

Можна показати за означенням, що арифметичний простір є лінійним простором.

Контрприклад. За множину Vвізьмемо ту ж саму множину, що у прикладі 2. Операцію додавання введемо за тим же правилом. Операцію множення на число введемо іншим чином, а саме: добутком вектора на число назвемо вектор .

В цій множині не виконується лише вимога 7.

Бачимо, , отже ця множина не є лінійним простором.

Приклад 3. Розглянемо множину многочленів степеня не вищого за .

Операції додавання многочленів та множення на число вводиться традиційним способом.

Легко перевірити виконання всіх вимог означення, тому дана множина є векторним простором відносно введених операцій.

Контрприклад. Розглянемо множину многочленів лише -го степеня, тобто таких, коефіцієнт при старшому члені яких ненульовий.

У цьому випадку множина не є векторним простором, тому що в цій множині не визначена операція додавання.

Дійсно, наведемо два многочленів, сума яких не є многочленом -го степеня:

Наприклад, сума та є многочленом 1-го степеня.

Приклад 4. Розглянемо множину всіх функцій, що визначені на проміжку . Додавання і множення функцій на число введемо традиційним способом, як у математичному аналізі. При цьому також виконуються всі вимоги означення векторного простору, тому дана множина відносно введених операцій є векторним простором.

Приклад 5. Розглянемо множину всіх функцій, що є неперервними на проміжку . Додавання і множення функцій на число введемо традиційним способом, як у математичному аналізі. Легко переконатися, що при цьому виконуються всі інші 8 вимог означення векторного простору. Тому множина таких функцій відносно введених операцій є векторним простором.

 

Найпростіші властивості векторного простору.

Властивість 1. У довільному векторному просторі існує лише один нульовий вектор.

Доведення.

Припустимо, що знайшовся такий векторний простір V, у якому декілька різних нульових елементів: і .

Розглянемо суму .

За означенням нульового вектора : .

За означенням нульового вектора : .

Згідно із припущенням, і є різними векторами. Прийшли до суперечності до означення внутрішньої операції.

Властивість доведено.

Властивість 2. У довільному векторному просторі для кожного вектора існує лише єдиний протилежний.

Доведення.

Припустимо, що у деякому векторному просторі Vзнайшовся вектор , для якого є декілька різних протилежних елементів: та .

Розглянемо суму . Скористуємось також асоціативністю додавання.

За означенням протилежного вектора :

За означенням протилежного вектора :

Згідно із припущенням, та є різними векторами. Прийшли до суперечності до означення внутрішньої операції.

Властивість доведено.

Надалі для зручності позначатимемо операції додавання і множення у векторному просторі як "+" і " ", маючи на увазі абстрактні операції " " і " ".