Скалярное произведение векторов. Векторное произведение векторов. Смешанное произведение векторов.

Геометрические векторы.

Рассмотри на плоскости 2 точки А и Б. По соединяющему их от резку можно двигаться в обе стороны. Если А – начало, а Б – конец, получим направленный отрезок АБ, иначе БА. Определение – геометрический вектор – направленный отрезок который можно перемещать параллельно самому себе. Если у вектора совпадает начало и конец, то вектор 0й. Длинной вектора вектора будем называть величину соответствующей направлению отрезка или расстояния между нач. и конечными точками вектора и обозначается – модуль(AB). Если длинна вектора равна 1му, то вектор-единичный. 2 вектора равны, если они лежат на одной или на параллельных прямых, направленных в одну сторону и их длинны равны. 1й вектор имеющий одинаковое направление с векротом АБ – орт вектора АБ. Орт = (вектор АБ/длину вектора). Угол между векторами А и Б – угол С причем 0<C< , при условии что А и Б имеют общее начало.

 

Скалярное произведение векторов. Векторное произведение векторов. Смешанное произведение векторов.

Скалярное произведение векторов – число которое находится по формуле |a|*|b|* cos(c), с – угол между векторами. Скалярное произведение (А,Б)=|а|*пр.а Б. = |Б|* пр.б. А.

Свойства скалярного произведения:

1) (а,б)=(б,а) тк cos(-c) = cos(c);

2) (а,б+с)= (а,б)+(а,с)

3) (α*а,б)=(а, α*б)= α(а,б)

4) (а,а)=|a|*|a| * cos(0) = |a|^2

5) Скалярное произведение |a|*|a|=0 только тогда, когда вектор а =0

6) Для того чтобы векторы а и б были ортогональны достаточно, чтобы их векторное произведение равнялось 0.

Скалярное произведение векторов в координатной форме

А{x1,y1,z1} B{x2,y2,z2}

(a,b)= x1x2+y1y2+z1z2

Док-во: рассмотрим 2 вектора в базисе ijk. А=x1i+y1j+z1k, b=x2i+y2j+z2k

(А,B) = (x1i+y1j+z1k, x2i+y2j+z2k)=x1x2(I,j) + x1y1(I,j)+x1z2(I,k)+y1x2(j,i)+y1y2(j,j)+y1z2(j,k)+z1x2(k,i)+z1y2(k,j)+z1z2(k1,k2) т.к i,j,k попарно ортогональны векторное произведение I,j,k = 0, а векторное произведение ijk вектора самого на себя = 1 получаем

(а,б)=x1x2+y1y2+z1z2

Векторное произведение векторов. В векторном произведении [a,b]=с

Такой что 1) |c|=|a|*|b|*sin(), 2) вектор с ортогонален плоскости в которой лежат вектора а и б. 3) вектора а,б,с расположены таким образом, что из конца вектора с кратчайший поворот от вектора а к б виден против часовой стрелки.(правая тройка векторов)

Свойства векторного произведения:

1) [a,b]=-[b,a]

2) [a,b+c]=[a,b]+[a,c]

3) [a+b,c]=[a,c]+[b,c]

4) [ ]= α[a,b]

5) [a,a]=0

Необходимость и достаточность условия коллинеарности векторов для того, чтобы а||б необходимо и достаточно, чтобы векторное произведение было равно 0. А||B если их координаты пропорциональны .

Геометрический смысл векторного произведения. |[a,b]|= площади параллелограмма, построенного на векторах а и б. Векторное произведение в координатной форме.

А={x1,y1,z1} b={x2,y2,z2}

[a,b]= = определитель 3-го порядка вычисл. По формуле:

I*| | - J*| | + K*| | Получаем определители 2-го порядка, которые вычисляются по формуле (y1*z2-z1*y2) получаем [a,b]={x3,y3,z3}

Доказательство теоремы.

Предположим противное: векторы попарно ортогональны, но они линейно зависимы. Тогда один из векторов линейно выражается через остальные. Например, пусть это первый вектор: , (ясно, что речь идет о ненулевых векторах). Тогда , для всех j = 2, 3, …, k, т.е. . Полученное противоречие доказывает теорему.

Определение. Система векторов из пространства Rⁿ называется ортонормированной, если векторы системы попарно ортогональны и имеют единичную длину.

Определение. Базис пространства Rⁿ называется ортонормированным базисом, если образующие его векторы попарно ортогональны и имеют единичную длину.

В пространстве Rⁿ в естественном скалярном произведении естественный базис — ортонормированный базис.

 

 

Билет №11

Билет №12

Билет №13

Свойства решений линейной системы. Нейтральная совместность единой системы. Совместность единой системы.

Если вектор x является решением однородной системы A·x = 0, то вектор α x также является решением этой системы. Здесь α — произвольное число.

Если векторы x и y являются решениями однородной системы A·x = 0, то вектор x + y также является решением этой системы.

Если вектор x является решением однородной системы A·x = 0, а вектор и y — решение неоднородной системы A·x = b, то вектор x + y является решением неоднородной системы A·x = b.

Если векторы x и y являются решениями неоднородной системы A·x = b, то вектор x − y является решением однородной системы A·x = 0.

Множество решений однородной линейной системы относительно n неизвестных является линейным подпространством пространства Rn. Размерность этого подпространства равна n − r, где r − ранг матрицы системы A.

 

Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы системы равен рангу матрицы системы.

Это утверждение называют теоремой Кронекера-Капелли.

Система линейных алгебраических уравнений

очевидно несовместна.

Ранги расширенной матрицы системы матрицы системы не равны, rank Ap = 2, rank A = 1, rank Ap ≠ rank A:

 

 

Билет №14

Билет №15

Билет №16

Линейный оператор в (В линейном пространстве). Матрица линейного пространства

Линейные операторы. Матрица линейного оператора. Примеры линейных операторов.

Определение. Если каждому элементу ставится в соответствие единственный элемент , то говорят, что в пространстве Rⁿ задан оператор, действующий в пространстве Rⁿ.

Результат действия оператора A на элемент обозначают .

Если элементы и связаны соотношением , то называют образом элемента ; элемент — прообразом элемента .

Множество элементов пространства Rⁿ, для которых определено действие оператора A, называют областью определения оператора A и обозначают D ( A).

Множество элементов пространства Rⁿ, которые являются образами элементов из области определения D ( A) оператора A, называют образом оператора A и обозначают Im(A). Если , то .

Ядром оператора называется множество элементов пространства Rⁿ, образом которых является нуле

нулевой элемент. Ядро оператора обозначают Ker(A): .

 

Определение. Оператор A, действующий в пространстве Rⁿ называется линейным оператором, если для любых из Rⁿ и для любого числа α справедливо:

и .

Определение. Матрица, столбцами которой являются координаты образов соответствующих базисных векторов некоторого базиса в Rⁿ —

называется матрицей линейного оператора

Билет №17

Действия с линейными операторами и их матрицами

 

Рассмотрим линейный оператор , действующий в конечномерном линейном пространстве . Доказано, что образ линейного оператора линейное пространство. Размерность образа линейного оператора называется рангом оператора, обозначается .

Ядром линейного оператора называется множество элементов из , образом которых является нулевой элемент. Ядро оператора обозначают : . Ядро линейного оператора линейное пространство; размерность ядра линейного оператора называется дефектом оператора, обозначается : .

Для линейного оператора, действующего в n-мерном линейном пространстве , справедливы следующие утверждения:

сумма ранга и дефекта оператора равно размерности пространства, в котором действует оператор: ;

ранг оператора равен рангу его матрицы;

ядро оператора совпадает с множеством решений линейной однородной системы с матрицей , размерность пространства решений этой системы равна дефекту оператора, а ее фундаментальная система решений образует базис в ядре оператора;

столбцы, входящие в базисный минор матрицы оператора образуют базис в образе оператора.

Сформулированные утверждения позволяют описать структуру образа и ядра линейного оператора, заданного матрицей, используя язык матричных преобразований и общей теории линейных систем.

 

 

Билет №18

Преобразование координат вектора и матрицы линейного оператора. Их свойства и вычисления.

Пусть в -мерном линейном пространстве выбран базис , который мы будем для удобства называть "старый" и другой базис , который мы будем называть "новый". Возьмем призвольный вектор из . Его координатный столбец в старом базисе обозначим , а в новом -- . Нам нужно выяснить, как связаны друг с другом координаты в старом и в новом базисе. Для этого нам сначала нужно "связать" друг с другом старый и новый базисы. Запишем разложения новых базисных векторов по старому базису

Составим матрицу, столбцами которой служат координатные столбцы векторов нового базиса

Эта матрица называется матрицей перехода от старого базиса к новому.

Изменение матрицы линейного преобразования при изменении базиса

В предыдущем разделе мы установили, что как только в линейном пространстве выбран базис, то каждому линейному преобразованию соответствует матрица этого преобразования. Однако если выбрать в пространстве другой базис, то матрица преобразования, как правило, станет другой. Выясним, как эти матрицы связаны между собой.

Пусть -- -мерное линейное пространство, и -- два базиса в этом пространстве. Первый из них назовем "старым", а второй -- "новым". Пусть -- матрица перехода 19.1.4 а от старого базиса к новому.

Предложение 19.1 Пусть -- линейное преобразование пространства , и -- матрицы этого преобразования в старом и новом базисе соответственно. Тогда

Доказательство. Пусть -- произвольный вектор пространства , -- его образ, то есть . Пусть и -- координатные столбцы векторов и в старом базисе, а , -- в новом. Тогда в силу формулы (19.3) . По предложению 18.5 имеем , . Подставим эти выражения в предыдущую формулу, получаем . Откуда . С другой стороны, в силу формулы (19.3) в новом базисе . Сравнивая это равенство с предыдущим, получаем .

Определение 19.2 Две квадратных матрицы и одного порядка называются подобными, если существует такая невырожденная матрица , что .

Следствие 19.1 Матрицы одного линейного преобразования, соответствующие разным базисам, подобны друг другу, и наоборот, если матрицы подобны, то они являются матрицами одного и того же преобразования в разных базисах.

 

Билет №19.

Собственные значения и собственные векторы линейного оператора. Их свойства и вычисление.

Определение. Пусть A — линейный оператор, действующий в линейном пространстве Rⁿ. Число называется собственным значением, а ненулевой вектор из Rⁿ — соответствующим собственным вектором линейного оператора A, если они связаны между собой соотношением. .

По теореме о связи координат образа и прообраза имеем: , где E — единичная матрица, а — нулевой вектор Rⁿ.

Это означает, что собственный вектор оператора является ненулевым решением линейной однородной системы . Ненулевое решение однородной системы (система нетривиально совместна), существует тогда и только тогда, когда определитель матрицы системы равен нулю: . Следовательно, собственные значения линейного оператора могут быть вычислены как корни уравнения , а собственные векторы — как решения соответствующих однородных систем.

Легко видеть, что определитель — многочлен n- й степени относительно .

Определение. Уравнение называется характеристическим уравнением оператора, а многочлен — характеристическим многочленом оператора.

Примеры.

1. Нулевой оператор : , матрица нулевого оператора — нулевая матрица соответствующего порядка, т.е. т.е. — единственное собственное значение нулевого оператора, а соответствующие собственные векторы — все ненулевые векторы пространства Rⁿ.

Свойства собственных векторов

Для собственных значений и собственных векторов линейного оператора справедливы следующие утверждения:

1) характеристический многочлен оператора, действующего в Rⁿ является многочленом n -й степени относительно ;

2) линейный оператор, действующий в Rⁿ, имеет не более n различных собственных значений;

3) собственные векторы оператора определяются с точностью до постоянного сомножителя; поэтому принять вычислять собственные векторы единичной длины — орты собственных векторов;

докажем, что если — собственный вектор линейного оператора A, отвечающий собственному значению , то для любого отличного от нуля числа вектор ()— собственный вектор оператора A, отвечающий собственному значению : ;

4) корни характеристического многочлена не зависят от базиса;

5) собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям, линейно независимы.

 

 

Поверхности 2-го порядка

 

 

Геометрические векторы.

Рассмотри на плоскости 2 точки А и Б. По соединяющему их от резку можно двигаться в обе стороны. Если А – начало, а Б – конец, получим направленный отрезок АБ, иначе БА. Определение – геометрический вектор – направленный отрезок который можно перемещать параллельно самому себе. Если у вектора совпадает начало и конец, то вектор 0й. Длинной вектора вектора будем называть величину соответствующей направлению отрезка или расстояния между нач. и конечными точками вектора и обозначается – модуль(AB). Если длинна вектора равна 1му, то вектор-единичный. 2 вектора равны, если они лежат на одной или на параллельных прямых, направленных в одну сторону и их длинны равны. 1й вектор имеющий одинаковое направление с векротом АБ – орт вектора АБ. Орт = (вектор АБ/длину вектора). Угол между векторами А и Б – угол С причем 0<C< , при условии что А и Б имеют общее начало.

 

Скалярное произведение векторов. Векторное произведение векторов. Смешанное произведение векторов.

Скалярное произведение векторов – число которое находится по формуле |a|*|b|* cos(c), с – угол между векторами. Скалярное произведение (А,Б)=|а|*пр.а Б. = |Б|* пр.б. А.

Свойства скалярного произведения:

1) (а,б)=(б,а) тк cos(-c) = cos(c);

2) (а,б+с)= (а,б)+(а,с)

3) (α*а,б)=(а, α*б)= α(а,б)

4) (а,а)=|a|*|a| * cos(0) = |a|^2

5) Скалярное произведение |a|*|a|=0 только тогда, когда вектор а =0

6) Для того чтобы векторы а и б были ортогональны достаточно, чтобы их векторное произведение равнялось 0.

Скалярное произведение векторов в координатной форме

А{x1,y1,z1} B{x2,y2,z2}

(a,b)= x1x2+y1y2+z1z2

Док-во: рассмотрим 2 вектора в базисе ijk. А=x1i+y1j+z1k, b=x2i+y2j+z2k

(А,B) = (x1i+y1j+z1k, x2i+y2j+z2k)=x1x2(I,j) + x1y1(I,j)+x1z2(I,k)+y1x2(j,i)+y1y2(j,j)+y1z2(j,k)+z1x2(k,i)+z1y2(k,j)+z1z2(k1,k2) т.к i,j,k попарно ортогональны векторное произведение I,j,k = 0, а векторное произведение ijk вектора самого на себя = 1 получаем

(а,б)=x1x2+y1y2+z1z2

Векторное произведение векторов. В векторном произведении [a,b]=с

Такой что 1) |c|=|a|*|b|*sin(), 2) вектор с ортогонален плоскости в которой лежат вектора а и б. 3) вектора а,б,с расположены таким образом, что из конца вектора с кратчайший поворот от вектора а к б виден против часовой стрелки.(правая тройка векторов)

Свойства векторного произведения:

1) [a,b]=-[b,a]

2) [a,b+c]=[a,b]+[a,c]

3) [a+b,c]=[a,c]+[b,c]

4) [ ]= α[a,b]

5) [a,a]=0

Необходимость и достаточность условия коллинеарности векторов для того, чтобы а||б необходимо и достаточно, чтобы векторное произведение было равно 0. А||B если их координаты пропорциональны .

Геометрический смысл векторного произведения. |[a,b]|= площади параллелограмма, построенного на векторах а и б. Векторное произведение в координатной форме.

А={x1,y1,z1} b={x2,y2,z2}

[a,b]= = определитель 3-го порядка вычисл. По формуле:

I*| | - J*| | + K*| | Получаем определители 2-го порядка, которые вычисляются по формуле (y1*z2-z1*y2) получаем [a,b]={x3,y3,z3}