Матрица. Линейные операции с матрицами. Умножение матриц, обратная матрица.

Матрица – таблица чисел, состоящая из m строк и n столбцов

Под линейными операциями над матрицами понимают: сложение матриц, умножение матриц на любое действительное число. Для данных операций справедливо 8 аксиом:

1) A+B=B+A

2) A+(B+C)=(A+B)+C

3) A+θ=A

4) A+(-A)= θ

5) 1*A=A

6)

7) α(A+B)=αA+Αb

8) (α+β)A=αA+Βa

Умножение матриц. Для перемножения матриц необходимо чтобы кол-во столбцов у 1й матрицы = кол-ву строк у 2й матрицы. Матрица-строка умножается на матрицу столбец. Свойства умножения матриц:

1)A*B≠B*A 2) A*E(1я матрица)=E*A=A

3)A*(BC)=(AB)*C 4) A*(B+C)=AB+AC

5) (A+B)*C=AC+BC (матрицы умножаются строго по порядку)

Обратные матрицы. Обр. матр. Называется вырожденной, если ее определитель равен 0, в противном случае невырожденной. Если С=AB и определитель С=0, то матрица С-вырожденная и хотя бы одна из А и B тоже вырожденная. B – обратная матрица к А, если справедливо равенство AB=BA=E и обозначается . Теорема о существовании обратной матрицы. Если матрица А невырожденная, то у нее существует обратная матрица, которая находится по формуле Матрица получается из матрицы А заменой каждого элемента матрицы А его алгебраическим дополнением. Теорема о единственности обратной матрицы. Если матрица обратима, то у нее существует только 1 обратная матрица. Док-во: предоложим, что у матрицы А есть 2 обратных матрицы B,C. Тогда т.к. B – обратная к А, следовательно AB=BA=E, но с другой стороны AC=CA=E Рассмотрим матрицу B=BE по 5 свойству умножения матриц B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C,что противоречит свойству, следовательно B=C. Свойства обратных матриц: 1) Док-во: Докажем, что * ‑ обратная к (AB) (AB)()=A(B ) =AE =E()(AB)= ( A)B= EB= B=E Следовательно – обратная к (AB)

2) 3) | |= 4) определитель транспонированной матрицы |()|=

 

6. Элемнтарные преобразования матриц. Приведение к ступенчатому виду.

Эл. Преобразования: 1) перестановка местами любых 2х строк или столбцов матрицы. 2) Умножение любой строки или столбца на любое действ. Число не равное 0. В результате преобразований получается новая матрица эквивалентная данной, причем их определители равны.

Метод гаусса, ранг матрицы. Матрица А порядка MxN называется ступенчатой, если для любых Аij=0 при i>j, для любых i>r, для любых Aii≠0 при i≤r и r≥1, r≤min(m,n) Amxn= rg=1 Любую прямоугольную матрицу можно привести к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований путем перестановки любых 2х строк, умножения любой строки на число или сложения любых 2х строк. Способ приведения любой прямоугольной матрицы к ступенчатой форме-метод Гаусса.

 

7. Пространство арифметических векторов (линейное пространство).

Множество элементов x,y,z…. L называется линейным пространством, если для любых элементов x и y из L и для любых α R определены операции сложения элементов и умножение элементов на число такие что:

1) X+Y=Z L(действит числа) 2) α*X=y L Примеры линейных пространств:

1) Множество действ чисел 2) множество геометрических векторов 3) множество матриц одного порядка 4) множество многочленов какой-либо степени и т.д.

N-мерным арифметическим вектором называется упорядоченная совокупность n-чисел(действит) и записывается =(x1,x2,…,xn) Для арифметических векторов справедливы операции сложения векторов и умножение вектора на число и аналогичные операции с векторами. Геометрические векторы можно рассматривать, как трехмерные арифметические вектора, а пространство геометрических векторов можно рассматривать, как пространство 3х мерных арифметических векторов.

Рассмотрим линейное пространство L для него справедливы 8 аксиом, удовлетворяющие введенным в пространстве L операций сложения элементов и умножения элементов на число.

1) x+y=y+x 2) x+(y+z)=(x+y)+z 3) x+θ=x 4) x L, (-x) L 5) 1*x=x 6) 7) Элементы линейного пространства принято называть векторами. Пространство- векторное линейное пространство.

 

8. Линейная зависимость. Базис. Линейное пространство в (линейного пространства)

Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов. Опр. Система векторов (e1,e2,…ek) L называется линейно зависимой, если найдутся числа α1,α2,…αk R действительные, причем не все равные 0, чтобы выполнялось равенство(α1e1+α2e2+…+αkek=0) Если же данное равенство выполняется, когда α1,α2,…αk=0, тогда система векторов e1,e2,…ek называется линейно независимой. Опр. Если произвольный вектор X из L можно записать в виде равенства x=x1e1+x2e2+…+xken, где Xk R то говорят, что x является линейной комбинацией векторов (e1,e2,…ek) L

Теорема необходимое и достаточное условие линейной зависимости системы векторов. Для того, чтобы система векторов (e1,e2,…ek) L была линейно зависимой необходимо и достаточно, чтобы хотя бы 1 из векторов системы можно было бы представить в виде линейной комбинации остальных векторов этой системы. Доказательство. Необходимость. Пусть (e1,e2,…ek) линейно зависимые. Докажем, что при этом хотя бы 1 из векторов можно представить в виде линейной комбинации остальных векторов этой системы. Из определения ЛЗ системы следует что Ǝ α1,α2,…αk R И все α≠0 α1e1+α2e2+…+αkek=0|÷αk, которая не равна 0. Достаточность: Пусть 1 из векоров системы можно представить в виде лин. Комбинации остальных векторов системы. Тогда докажем, что система линейно зависимая. Пусть для определения ek является линейной комбинацией остальных векторов системы. Тогда для него найдутся числа ek=

+ (‑ 1)*ek= А значит αk=-1≠0 А это значит, что не все α1, α2, αk равны 0. Это значит что система линейно зависимая ч.т.д.

Свойства линейно зависимых и линейно независимых систем векторов:

1) Любая система содержащая линейно зависимая. 2) любая система содержащая 2 равных вектора линейно зависимая. 3) Любая система, содержащая 2 взаимно противоположных вектора линейно зависимая.

Базис линейного пространства. Опред. Линейное пространство L называется n-мерным, если в нем существует линейно-независимые системы n векторов, а любая система состоящая из n+1 вектора линейно зависимая. В этом случае число n называется размерностью линейного пространства L и обозначается dimL=n или . Базисом линейного пространства L называется любая система из n линейно-независимых векторов пространства L, причем любой вектор x принадлежащий пространству L может быть представлен в виде линейной комбинации базисных векторов, т.е. если система векторов (e1,e2,…,en) из L образует базис пространства L, то любой вектор x из L можно представить в виде =α1e1+ α2e2+ α3e3+….+ αnen ‑‑‑‑‑‑ является разложение вектора x по базису e1,e2,en, а действительные числа α1, α2,… αn называются координатами вектора x в базисе e1,e2,….,en.

Теорема в n мерном пространстве L существует базис из n векторов. Без док-ва. Рассмотрим арифметическое пространство e1(1,0,0,…,0) e2 (0,1,0,…0) e3 (0,0,1,..,0) en (0,0,0,…,0,1) Данная система линейно независимая, т.к. чтобы α1e1+ α2e2+ α3e3=0 равенство выполнялось каждое α должно быть равно 0. Причем любой вектор x принадлежащий пространству можно представить в виде линейной комбинации (e1,e2,…,en) т.к. вектор x=(x1,x2,x3…xn)=(x1e1,x2e2,x3e3,…,xnen) из определения операций сложения векторов и умножения вектора на число. Поэтому система векторов e1,e2,…,en образует базис в пространстве en, который будем называть естественным базисом пространства , а действительные числа x1,x2,…,xn координатами вектора x в естественном базисе.

Теорема о единственности разложения вектора по базису. Если система векторов e1,e2,…,en образует базис в пространстве может быть единственным образом представлен в виде x=(c1e1+c2e2+c3e3..+..cnen) где все с принадлежат R. Док-во от противного. Пусть существует 2 различных вектора x по базису en. x =(c1e1+c2e2+c3e3..+..cnen) x=(b1e1+b2e2+b3e3..+..bnen) bi=ci Причем все Сn=Bn, Приравниваем уравнения и получается (c1-b1)e1+(c2-b2)+..+(cn-bn)en=вектор 0. Но т.к. система векторов en образует базис в системе векторов то по определению базиса en, система линейно независимая следовательно равенство выполняется только тогда, когда система линейно зависимая, следовательно разложение вектора по базису единственно. Ч.т.д.

Подпространство линейного пространства Множество L элементов из называется линейным подпространством линейного пространства , если для любых векторов x,y L и для любых α R выполняется условие 1) x+y L 2)αx≤L Другими словами множество L из является линейным подпространством линейного пространства L, если множество L само является линейным пространством, относительно лин. Операций введенных в линейном пространстве Пример. Рассмотрим множество L, арифметических векторов пространства таких, что последняя координата векторов равна 0. Для любых x(x1,x2,…,xn-1,0) L . Для любых x,y L и для любых α R. 1) x+y=(x1+y1,x2+y2,…,xn-1+yn-1,0) 2)αx=(αx1, αx2,…, αxn-1,0) L Следовательно L-лин. Подпространство линейного пространства . Линейное пространство само является линейным подпространством линейного пространства .