Застосування теорії визначників до лінійних систем алгебраїчних рівнянь. Теорема Крамера та лема до неї

Лема. Нехай задано визначник d n-го порядку. Сума добутків елементів і-го рядка на алгебраїчні доповнення до відповідних елементів j-го рядка дорівнює 0.

Доведення.

Нехай задано довільний визначник:

Доведемо, що

Для доведення побудуємо допоміжний визначник, який буде відрізнятися від визначника d лише одним рядком.

 

 

Цей визначник за властивістю 4 дорівнює 0.

Застосуємо до j-го рядка визначника наслідок з теореми Лапласа.

Залишилось довести, що . Ці рівності випливають з того, що при побудові алгебраїчних доповнень до елементів j-го рядка цей рядок викреслюється, а визначники d і d₁ відрізняються лише j-тим рядком.

Означення. Визначником системи називається визначник складений з коефіцієнтів при невідомих.

Теорема Крамера. Нехай задано систему n алгебраїчних рівнянь з n невідомими, визначник якої не нульовий. Тоді невідома x_k дорівнює дробу, знаменником якого є визначник системи, а чисельником також є визначник, який можна отримати з визначника системи заміною k-го стовпця стовпцем вільних членів.

Доведення. Розглянемо систему

(1)
з визначником системи

 

(2)

 

Помножимо обидві частини 1-го рівняння на А_1k, 2-го на А_2k, n-го на А_nk.

Тоді отримаємо

 

k=1,2,…,n (3)

 

Введемо в розгляд деякий визначник.

 

 

Застосуємо до k-го рядка цього визначника наслідок теореми Лапласа

Застосуємо лему, тоді з рівності (3) маємо

Отже

Теорему Крамера доведено.

Векторний простір

Подальше вивчення векторного простору.

У довільному векторному просторі означення лінійно залежних і лінійно незалежних систем векторів, а тому і максимально лінійно незалежних систем і базису, переносяться один до одного з геометричного простору. В цьому курсі розглядаються лінійні простори, базиси яких містять скінчену кількість векторів.

Теорема. Будь-який вектор лінійного(векторного) простору єдиним чином розкладається за базисом.

Доведення.

Нехай задано довільний векторний простір V і його базис . Розглянемо довільний вектор , що належить V.

 

1. Доведення можливості розкладання.

Розглянемо систему – лінійно залежну за означенням базису. Тоді існують числа , серед яких . Доведемо, що саме .

Припустимо, що . Тоді .

Це означає, що вектори базису лінійно залежні, що суперечить означенню. Отже і виконується .

З рівності випливає можливість доведення, адже:

 

2. Доведення єдиності розкладання.

Припустимо, що існує вектор , для якого існує декілька різних розкладань:

 

(1)

(2)

 

Для визначеності нехай . Помножимо рівність (2) на -1 і додамо до (1).

Отже, ми отримали, що базисні вектори є лінійно залежними, що суперечить означенню базиса.

Теорему доведено.

Означення. Коефіцієнти розкладання вектора за базисом називаються його координатами у даному базисі.

Вправа. Довести, що:

Координати вектора суми двох векторів дорівнюють сумі відповідних координат.

Координати добутку вектора на число можна отримати множенням його координат на це число.

Означення. Лінійний простір називається n-вимірним, якщо в ньому існує n лінійно незалежних векторів, а будь-яка система з n+1 вектора лінійно залежна.

З'ясуємо вимірність арифметичного простору.

Доведемо таку теорему.

Теорема. При система векторів

арифметичного простору лінійно залежна.

Доведення.

Розглянемо рівність (*) з означення лінійно залежної і лінійно незалежної системи:

З'ясуємо, при яких вона виконується:

З цієї векторної рівності отримаємо п-числових різностей.

 

 

Отримали систему n-рівнянь з s-невідомими. Ця система завжди сумісна тому що вона має принаймні один нульовий розв'язок.

Але за допомогою елементарних перетворень вона зводиться до кінцевого вигляду, де кількість рівнянь менша за кількість невідомих.

Повертаючись до рівності (*) приходимо до висновку що рівність (*) виконується коли принаймі одне з -тих не дорівнює нулю, тому -лінійно залежні.

Наслідок. Будь-яка система з n + 1 вектора з п-компонентами є лінійно-залежна. Це негайно випливає, якщо з покласти .

З цього випливає, що вимірність арифметичного простору не більш ніж: п. Для того, щоб довести, що вимірність дорівнює n треба знайти принаймні одну лінійно незалежну систему векторів, що містить n-векторів.

Такою системою векторів є наприклад:

 

Доведемо, що вони лінійно незалежні. Складемо рівність (*).

(*)

З цього випливає

Тобто (*) виконується лише один раз при , тому система векторів є лінійно незалежною.

Отже, ми довели, що арифметичний простір є n-вимірним (n – кількість компонент вектора).

Зауваження. Поняття вимірності лінійного простору можна ввести і за таким означенням.

Означення. Вимірністю лінійного простору називається кількість векторів, що входять до базису.

Для того щоб це означення було корректним треба було б довести, що усі базиси даного простору містять однакову кількість векторів (насправді, це так).

Позначимо n-вимірний довільний векторний простір через Vⁿ.

Введемо поняття підпростору даного простору Vⁿ.

Означення. Підмножина лінійного простору Vⁿ називається підпростором даного простору, якщо є само простором відносно операцій, визначених в Vⁿ.

Безпосередньо з означення лінійного простору випливає, що для того щоб переконатися, що підмножина є підпростором, треба перевірити виконання десятьох умов. Дві з них стосуються визначеності операцій (додавання та множення на число), 8 умов – аксіоми, і описують властивості цих операцій. Насправді, треба перевірити виконання лише двох умов, а саме, визначеність операцій в .

Доведемо це. Нехай в визначені ті ж операції що і в Vⁿ, тобто:

Якщо ,то

а) ;

б) .

Зрозуміло, оскільки всі елементи множини належать Vⁿ, то з цього негайно випливає виконання аксіом 1), 2), 5), 6), 7), 8).

Доведемо, що виконується умова – аксіома 3), 4), тобто що . Наспправді, нехай , оскільки , то при , а при .