Теорема об изменении количества движения механической системы.

Количество движения системы, как векторная величина, определяется формулами (4.12) и (4.13).

Теорема. Производная от количества движения системы по времени равна геометрической сумме всех действующих на нее внешних сил.

(4.26)

В проекциях декартовые оси получим скалярные уравнения.

(4.27)

Можно записать векторное

(4.28)

и скалярные уравнения

(4.29)

Которые выражают теорему об изменении количества движения системы в интегральной форме: изменение количества движения системы за некоторый промежуток времени равно сумме импульсов за тот же промежуток времени. При решении задач чаще используются уравнения (4.27)

Закон сохранения количества движения

1. Если в уравнении (4.26) , то . Следовательно, если сумма внешних сил равна нулю, то вектор количества движения будет постоянен (постоянны и модуль и направление).
2. Если сумма проекций внешних сил на какую-нибудь ось равна нулю, то проекция количества движения на эту ось есть величина постоянная, т.е. из равенств (4.27) при следует . При этом порядок системы дифференциальных уравнений снижается на единицу. Отметим, что теоремы о движении центра масс системы и об изменении количества движения удобно использовать при исследовании поступательных движениях механических систем, в частности твердых тел.

Теорема об изменении кинетического момента

Теорема об изменении момента количества движения точки относительно центра: производная по времени от момента количества движения точки относительно неподвижного центра равна векторному моменту, действующей на точку силы относительно того же центра.

или (4.30)

Сравнивая (4.23) и (4.30), видим, что моменты векторов и связаны такой же зависимостью, какой связаны сами векторы и (рис. 4.1). Если спроектировать равенство на ось , проходящую через центр О, то получим

(4.31)

Это равенство выражает теорему момента количества движения точки относительно оси.

 

Рис. 4.1.

Теорема об изменении главного момента количества движения или кинетического момента механической системы относительно центра: производная по времени от кинетического момента системы относительно некоторого неподвижного центра равно сумме моментов всех внешних сил относительно того же центра.

(4.32)

Если спроектировать выражение (4.32) на ось , проходящей через центр О, то получим равенство, характеризующее теорему об изменении кинетического момента относительно оси.

(4.33)

Подставляя (4.10) в равенство (4.33) можно записать дифференциальное уравнение вращающегося твердого тела (колес, осей, валов, роторов и т.д.) в трех формах.

(4.34)

(4.35)

(4.36)

Таким образом, теорему об изменении кинетического момента целесообразно использовать для исследования весьма распространенного в технике движения твердого тела, его вращения вокруг неподвижной оси.

 

 

Закон сохранения кинетического момента системы

1. Пусть в выражении (4.32) .

Тогда из уравнения (4.32) следует, что , т.е. если сумма моментов всех приложенных к системе вешних сил относительно данного центра равно нулю, то кинетический момент системы относительно этого центра будет численно и по направлению будет постоянен.

2. Если , то . Таким образом, если сумма моментов действующих на систему внешних сил относительно некоторой оси равна нулю, то кинетический момент системы относительно этой оси будет величиной постоянной.

Эти результаты выражают собой закон сохранения кинетического момента.

В случае вращающегося твердого тела из равенства (4.34) следует, что, если , то . Отсюда приходим к следующим выводам:

Если система неизменяема (абсолютно твердое тело), то , следовательно, и и твердое тело вращается вокруг неподвижной оси с постоянной угловой скоростью.

Если система изменяема, то . При увеличении (тогда отдельные элементы системы удаляются от оси вращения) угловая скорость уменьшается, т.к. , а при уменьшении увеличивается, таким образом, в случае изменяемой системы с помощью внутренних сил можно изменить угловую скорость.

Вторая задача Д2 контрольной работы посвящена теореме об изменении кинетического момента системы относительно оси.

 

Задача Д2

Однородная горизонтальная платформа (круглая радиуса R или прямоугольная со сторонами R и 2R, где R = 1,2м) массой кг вращается с угловой скоростью вокруг вертикальной оси z, отстоящей от центра масс C платформы на расстоянии OC = b (рис. Д2,0 – Д2,9, табл. Д2); размеры для всех прямоугольных платформ показаны на рис. Д2,0а (вид сверху).

В момент времени по желобу платформы начинает двигаться (под действием внутренних сил) груз D массой кг по закону , где s выражено в метрах, t - в секундах. Одновременно на платформы начинает действовать пара сил с моментом M (задан в ньютонометрах; при M < 0 его направление противоположно показанному на рисунках).

Определить, пренебрегая массой вала, зависимость т.е. угловую скорость платформы, как функцию времени.

На всех рисунках груз D показан в положении, при котором s > 0 (когда s < 0, груз находится по другую сторону от точки А). Изображая чертеж решаемой задачи, провести ось z на заданном расстоянии OC = b от центра C.

Указания. Задача Д2 – на применение теоремы об изменении кинетического момента системы. При применении теоремы к системе, состоящей из платформы и груза, кинетический момент системы относительно оси z определяется как сумма моментов платформы и груза. При этом следует учесть, что абсолютная скорость груза складывается из относительной и переносной скоростей, т.е. . Поэтому и количество движения этого груза . Тогда можно воспользоваться теоремой Вариньона (статика), согласно которой ; эти моменты вычисляются так же, как моменты сил. Подробнее ход решения разъяснен в примере Д2.

При решении задачи полезно изобразить на вспомогательном чертеже вид на платформу сверху (с конца z), как это сделано на рис. Д2,0,а – Д2,9, а.

Момент инерции пластины с массой m относительно оси Cz, перпендикулярной пластине и проходящей через ее центр масс, равен: для прямоугольной пластины со сторонами и

;

Для круглой пластины радиуса R

 

Таблица Д2

Номер условия	b	s = F(t)	M
	R R/2 R R/2 R R/2 R R/2 R R/2	-0.4 0.6 0.8 10 t 0.4 -0.5t -0.6t 0.8t 0.4 0.5	4t -6 -8t -9 6 -10 12

 

	Рис. Д2.0		Рис. Д2.0а

 

 

 

	Рис. Д2.1		Рис. Д2.1а

 

 

 

	Рис. Д2.2		Рис. Д2.2а

 

 

	Рис. Д2.3		Рис. Д2.3а

	Рис. Д2.4
		Рис. Д2.4а

		Рис. Д2.5а
	Рис. Д2.5

	Рис. Д2.6		Рис. Д2.6а

	Рис. Д2.7		Рис. Д2.7а

	Рис. Д2.8		Рис. Д2.8а

	Рис. Д2.9		Рис. Д2.9а

	Рис. Д2

Пример Д2. Однородная горизонтальная платформа (прямоуголь­ная со сторонами 2l и l), имеющая массу жестко скреплена с вертикальным валом и вращается вместе с ним вокруг оси z с угло­вой скоростью (рис. Д2а ). В момент времени на вал начинает действовать вращающий момент М, направленный противо­положно ; одновременно груз D массой , находящийся в желобе АВ в точке С, начинает двигаться по желобу (под действием внутрен­них сил) по закону s = CD = F(t).

Дано: m₁ = 16 кг, т₂ = 10 кг, l = 0,5 м, = 2 , s = 0,4t² (s — в метрах, t — в секундах), М = kt, где k =6 Нм/с. Опре­делить: — закон изменения угловой скорости платформы.

Решение. Рассмотрим механическую систему, состоящую из плат­формы и груза D. Для определения w применим теорему об изменении кинетического момента системы относительно оси z:

(1)

Изобразим действующие на систему внешние силы: силы тяжести реакции и вращающий момент M. Так как силы и параллельны оси z, а реакции и эту ось пересекают, то их моменты относительно оси z равны нулю. Тогда, считая для момента положительным направление (т. е. против хода часовой стрелки), получим и уравнение (1) примет такой вид:

(2)

Умножая обе части этого уравнения на dt и интегрируя, получим

(3)

Для рассматриваемой механической системы

(4)

где и — кинетические моменты платформы и груза D соот­ветственно.

Так как платформа вращается вокруг оси z, то . Значение I_zнайдем по теореме Гюйгенса: ( — момент инерции относительно оси , параллельной оси z и проходящей через центр С платформы).

Но, как известно,

Тогда

Следовательно,

(5)

Для определения обратимся к рис. Д5, б и рассмотрим движение груза D как сложное, считая его движение по платформе относительным, а вращение самой платформы вокруг оси z переносным движением. Тогда абсолютная скорость груза . Так как груз D движется по закону s = CD = 0,4t², то ; изоб­ражаем вектор на рис. Д2 б с учетом знака s (при s < 0 направле­ние было бы противоположным). Затем, учитывая направление о, изображаем вектор численно . Тогда, по теореме Вариньона,

(6)

Но на рис. Д2 б видно, что OD² . Подставляя эту величину в равенство (6), а затем значения и из (б) и (5) в равенство (4), получим с учетом данных задачи

(7)

Тогда уравнение (3), где k = 6, примет вид

(8)

Постоянную интегрирования определяем по начальным условиям: при , . Получим = = 16,34. При этом значении из уравнения (8) находим искомую зависимость от t. Ответ: , где t — в секундах, — в .