Плоскопараллельное движение твердого тела

Плоскопараллельным (или плоским) называется такое движение твердого тела, при котором все его точки перемещаются параллельно некоторой неподвижной плоскости (плоскости П, рис. 3.15).

Плоскопараллельное движение – основа кинематики плоских механизмов.

 

 

Уравнение плоскопараллельного движения

Рассмотрим сечение S тела плоскостью Oxy, параллельной неподвижной плоскости П (рис. 3.15).

Рис. 3.15

При плоском движении все точки тела, лежащие на прямой АА¢, перпендикулярной к сечение S и, следовательно, к плоскости П, движутся тождественно. Поэтому исследование плоскопараллельного движения твердого тела сводится к изучению движения сечения S в плоскости Оху. Плоскость Оху совмещают с плоскостью рисунка, а вместо всего твердого тела изображают его сечение S, которое называют плоской фигурой. Положение плоской фигуры S в плоскости Оху можно определить положением лежащего на ней некоторого отрезка АВ (рис. 3.16).

 

Положение же отрезка АВ определяется координатами х_А, у_А точки А и углом j, который отрезок АВ образует с осью Ох. Точку А называют полюсом. В качестве полюса можно выбрать любую точку плоской фигуры. При движении тела величины х_А, у_А, j будут изменяться. Выражения

x_A = f₁(t), y_A = f₂(t), j = f₃(t) (3.35)

Рис. 3.16

в любой момент времени определяют положение тела в пространстве при его плоском движении.

Зависимости (3.35), определяющие закон происходящего движения, называются уравнениями плоскопараллельного движения твердого тела. Плоское движение тела есть результат сложения двух его движений: поступательного и вращательного. Поступательная часть движения описывается первыми двумя уравнениями (3.35), т.е. уравнениями движения точки, выбранной в качестве полюса, а вращение вокруг полюса – третьим уравнением. Причем вращательная часть плоского движения инвариантна относительно выбора полюса, т.е. не зависит от выбора полюса, а поступательная часть – зависит.

Основными кинематическими характеристиками плоского движения являются скорость и ускорение поступательного движения, равные скорости и ускорения полюса а также угловая скорость и угловое ускорение вращения вокруг полюса, которые в любой момент времени можно определить по уравнениям (3.35).

Существуют три метода кинематического исследования плоского движения твердого тела.

1 Аналитический метод базируется на составлении и исследовании уравнений плоскопараллельного движения (3.35).

2 Графический метод или метод диаграмм основан на графическом дифференцировании.

3 Графоаналитические методы, которые широко используются при решении конкретных задач.

Ниже более подробно рассмотрим графоаналитические методы.

 

 

3.4.2 Графоаналитические методы определения

Скоростей точек плоской фигуры

Графоаналитический метод определения скоростей основан на теореме, определяющий закон распределения скоростей: при плоскопараллельном движении твердого тела скорость любой его точки равна векторной сумме скорости полюса и скорости во вращательном движении вокруг полюса (рис. 3.17).

(3.36)

где v_A – скорость полюса, v_BA = w×AB;

Рис. 3.17

– скорость точки В во вращательном движении вокруг полюса А. Формула (3.36) отражает отмеченный выше факт о том, что плоскопараллельное движение тела слагается из поступательного движения, при котором все точки тела движутся со скоростью полюса и из вращательного движения вокруг этого полюса со скоростью

При плоском движении тела движение любой его точки В относительно принятой системы отсчета можно рассмотреть как сложное движение с абсолютной скоростью Поступательную часть плоского движения можно рассмотреть как переносное движение со скоростью а вращательное движение вокруг полюса – как относительное движение со скоростью Тогда формула (3.36) приобретает вид

(3.36¢)

Рис. 3.18

Полезной для решения практических задач является теорема о проекциях скоростей двух точек тела: проекции векторов скоростей двух точек твердого тела на прямую, соединяющую эти точки равны (рис. 3.18).

или v_A×cos a = v_B×cos b (3.37)